时间：2023-05-29 18:21:38
《正数和负数》是学生由小学进入初中后上的第一堂数学课的内容。本节课开宗明义地指出数的产生和发展离不开生活和生产的需要，通过生产和生活中的具体例子，把数系扩充到了有理数。学生能从已有的认知出发，在一系列与生产、生活息息相关的问题中，复习和巩固小学数系扩充的历程，建立新数系又一次扩充的新理念，形成小学数学与初中数学良性的衔接关系，这样既符合学生在现阶段的认知特点，也为学生的后续学习以及后一阶段进行数系的继续扩充奠定了理论和实践基础。引入负数后，生产和生活中的一些具体事件能够很好地运用数学来进行描述，说明了引入数学符号的必要性，它可以使问题的阐述更简明、更深入。
学情分析
七年级的学生随着知识储备的增加，对新鲜知识充满了好奇心和求知欲望，具有对未知领域探索的能力。同时，他们在小学阶段已经有了当数不够用时，引入新数（正分数）的经历，并且也有用数学符号（字母）表示数（算术数或非负有理数）的基础。但是，对从具有相反意义的量引入负数，并用来表示实际问题还是不太习惯，因此在教学中，我们从具体的事例出发，引导学生正确认识正数和负数表示量的意义，让他们通过思考、探究、归纳，主动地进行学习。
教学目标
知识与技能目标：回顾正数和0是怎样产生的，在具体的生活情境中感受负数的必要性;了解什么是正数和负数;能正确地读写正数和负数;学会用正、负数表示生活中相反意义的量。
过程与方法目标：结合现实情境理解负数的具体含义，感受分类思想，学会用正、负数表示生活中相反意义的量。
情感态度与价值观目标：了解数产生的历史，感受正、负数与生活的联系，享受学习的乐趣，培养数感与符号感。
教学环境与准备
根据这节课内容的特点和学生认知的实际情况，我们选择利用微课程教学，借助CS、屏幕录像等技术呈现生活中诸多具有相反意义量的实际情境，让学生通过这些情境学会用正、负数描述具有相反意义的量，感受用正、负数描述相反意义的量所带来的便捷。鲜活的动画效果和图片展示，以及片段式的微视频，能直观地引导学生认识负数及互为相反意义的量，从而起到突出重点、分散难点的作用。
教学过程
1.复习回顾，前测练习，了解微课程学习的大致流程
学生行为：独立完成前测练习，了解微课程学习流程图，思考并找出本节课学习内容的切入点，初步感知负数与具有相反意义的量之间的联系。对于个别学习有困难的学生，“四人小组”会给予指导。
教师行为：边巡视边搜集学情，引导学生发现负数的引入以及日常生活中具有相反意义的量与负数的关系。
设计意图：与传统的教学模式不同，微课程教学是把教授的课程用数字化手段形成一个个微小的几分钟视频录像，让学生不再单一地听教师讲课。其最大好处是可以让学生不受时间和地点的限制，在任何时点、任何地点进行反复地观看。
2.观看微视频，交流展示，精讲点拨
（1）观看微视频，交流学习心得
学生行为：观看微视频后，各小组成员在中心成员的带领下交流学习心得，并探讨微视频中的每个学习任务和学习体会。重点交流如下几个问题：①小学中自然数和0是怎么产生的？整数和分数又是怎么产生的？②北京冬季里某天的温度为-3℃～3℃，它的确切含义是什么？这一天北京的温差是多少？③在有三个队参加的足球比赛中，红队胜黄队（4：1），黄队胜蓝队（1：0），蓝队胜红队（1：0），三个队的净胜球数分别是2、-2、0，如何确定排名顺序？④2006年我国花生产量比上年增长1.8%，油菜籽产量比上年增长-2.7%，这里的增长-2.7%代表什么意思？
组内交流结束后，选几个代表进行全班展示，只展示对重点问题的看法。在任务的交流展示过程中，教师应重点关注：①学生能否把实际问题准确地转化为数学问题。②学生在思考问题时能否注重数形结合思想的应用。③学生在探究问题的过程中，能否经历独立思考、认真倾听、获得信息、梳理归纳的过程，使解决问题的方法更准确。
教师行为：①边巡视边观察、记录各组学生的表现，对于学习能力较为薄弱的学习小组，参与他们的讨论，在其需要的时候给予指导。学生交流结束后召集学科中心组成员，让他们反馈学生们的主要问题是什么，以便进一步确定精讲点拨的内容与方向。②通过微视频让学生体验负数的起源以及日常生活中具有相反意义的量如何利用负数来表示。
设计意图：本微课程的设计是基于概念教学为主导的新授课，微视频借助SmoothDraw和屏幕录像等技术呈现正数和负数这一情境，通过一张张图片概括出数的发展与现实生活的关系，再通过飞机与潜水艇的动画，以及生活中的温度、收入支出、产量增长等情境激发学生的学习兴趣和探究欲望，感知负数的存在与必要，渗透数学来源于生活的思想。
（2）通过微视频，进行例题精讲
学生行为：观看微视频，通过教师示范讲解，逐步感知利用负数的相关知识来解决生活中与负数有关的实际问题。
教师行为：通过微视频，结合数位板进行例题精讲。然后引导学生进行归纳，归纳结束后投影知识结构图。
设计意图：借助问题串，结合数位板来引导学生自主建构正数与负数的知识;借助SmoothDraw软件的操作，将例题直接以图层形式呈现，将简要的分析用符号语言和图形标注提示出来，以便学生边思考边学习;为了逐步示范解题规范过程，使用数位板边讲解边书写，以动态的显示效果强化数学解题的严谨性，从而引导学生感受分类思想，拓展对数的认识。
3.分层练习，巩固提高，借助多媒体实时解决问题
学生行为：课上，通过设置基础训练和提高训练进行分层练习，让不同层次的学生都能够得到相应的发展;课后，通过扫描学灵网二维码或者输入学灵网网址（xling.xn）登录学灵网在线测评系统（评价管理）进行测评，测评结果会即时出现，学生可根据测评结果在课后进行有针对性的复习和补充。
教师行为：通过学灵网在线测评系统，不仅可以让学生进行分层练习，并针对练习结果进行实时评价和反馈，而且针对学生在学习过程中产生的问题，也可以通过学灵网的“问答管理”栏目进行指导，或通过学灵网的“话题管理”“笔记管理”等栏目进行在线研讨。学生也可以通过QQ群或者微信群在同伴之间互助解决。
设计意图：微课程教学与传统教学最显著的不同之处是可以不受时间和地点的限制，因此，评价体系也可以充分借助微课程的这一特点进行变革和创新尝试，可以在任何时点、任何地点借助多媒体，针对不同层次的学生进行分层训练和自动化评价，这是微课程的最大好处。同时，“多元评价”的做法尊重了学生的个体差异，大大调动了学生主动学习的积极性。
设计亮点
本教学设计是在第十三届NOC活动的网络教研团队赛项中要求以“微课程”为主要模式的教学设计。和以往相比，这次比赛将“自主学习任务单”调整为“微课程设计文稿”、“教学课件”调整为“微课视频”，同时增加了“微课程实施方案”。
在完成“微课程设计文稿”“微课视频”和“微课程实施方案”后，我们一方面不断反思、自查，另一方面认真研读其他团队的评价，使我们的设计呈现出这样一些亮点：
1.丰富对话，让文本学习走向深刻
传统教学更多体现的是学生与教师、学生与文本之间的对话，而我们的“微课视频”和“微课程实施方案”则让学生从更广阔的视角出发，进行多元对话，从文本到作者，再从作者到教科书编者，学生的自主学习在递进中走向深刻。
2.渗透方法，让自主探究走向明晰
新课标中曾强调，阅读教学要培养学生自主学习的意识和习惯，引导学生掌握数学学习的方法。因此在“微课程实施方案”中，我们力求实现过程和方法的统一。
建构主义理论认为，让学生在实践过程中掌握方法，更有利于方法的内化。从整体上看，我们的“微课程实施方案”渗透了多元对话这一方法;从细节上看，我们的设计强化了“数学与生活的密切联系”这一理念。这些方法的积累，会进一步提升学生的自主学习效果。 本文由WWw.dYlw.net提供，第一论 文 网专业和以及发表论文服务，欢迎光临dYLW.neT
3.倡导合作，让感悟体验走向丰富
实践证明，合作学习有利于学生自主学习习惯和能力的养成。在“微课程实施方案”中，我们将学习的重难点放手交给学生自主思考，并鼓励他们与同伴合作交流。同伴的智慧共享，让个体的独特感悟走向丰富。
负数不一定都是有理数。只要能够化成分数的数都是有理数,不能化成分数的数都是无理数。无限不循环的小数都是无理数,无限不循环的小数也有负数，所以负数不一定都是有理数。
有理数是整数(正整数、0、负整数)和分数的统称，是整数和分数的集合。整数也可看做是分母为一的分数。不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。无限不循环的小数都是无理数,无限不循环的小数也有负数，所以负数不一定都是有理数。
负数是有理数。有理数是整数(正整数、0、负整数)和分数的统称，是整数和分数的集合。负数是数学术语，比0小的数叫做负数，负数与正数表示意义相反的量。负数用负号“-”和一个正数标记，如2，代表的就是2的相反数。于是，任何正数前加上负号便成了负数。一个负数是其绝对值的相反数。
负数都比零小，则负数都比正数小。零既不是正数，也不是负数。负数中没有最小的数，也没有最大的数。去除负数前的负号等于这个负数的绝对值。负数的平方根用虚数单位“i”表示。最大的负整数为：-1。没有最小的负数。
（来源：文章屋网 ）
一、精心选一选（每小题3分，共24分）1．在下列各数中，﹣3.8，+5，0，﹣ ， ，﹣4，中，属于负数的个数为（）A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个2．下列叙述正确的是（）A． 正数和分数统称有理数B． 0是整数但不是正数C． ﹣ 是负分数，1.5不是正分数D． 既不是正数，又不是负数，这样的数一定不是有理数3．下面表示数轴的图中，画得正确的是（） A． B． C． D． 4．下列比较大小的题目中，正确的题目个数是（）（1）﹣5＞﹣4；3＞0＞﹣4；（3）﹣ ＞ ；（4）﹣ ＞﹣ ．A． 1 B． 2 C． 3 D． 45．下列各式中，等号不成立是（）A． ︳﹣9|=9 B． ︳﹣9|=︳+9| C． ﹣︳﹣9|=9 D． ﹣︳﹣9|=﹣︳ +9|6．|x﹣1|+|y+3|=0，则y﹣x﹣ 的值是（） A． ﹣4 B． ﹣2 C． ﹣1 D． 17．某店一周经营情况记录（记盈利为正）+113，+87，﹣55，﹣35，+80，+90，则该店一周经营情况（）A． 盈利280元 B． 亏损280元 C． 盈利260元 D． 亏损2608．两个有 理数和为0，积为负，则这两个数的 关系是（ ）A． 两个数均为0 B． 两个数中一个为0C． 两数互为相反数 D． 两数互为相反数，但不为0二、专心填一填（每题3分， 共24分）9．潜艇所在的高度是﹣100m，一条鲨鱼在潜艇上方30m处，则鲨鱼的高度记作．10．﹣ 的倒数是，绝对值等于 的数是，﹣（ ）的相反数是．11．相反数等于本身的有理数是；倒数等于本身的数是．12．绝对值小于5的整数有个．13．把（﹣4）﹣（﹣6）﹣（+8）写成 省略加号的和的形式为．14．在﹣1，﹣2，2三个数中，任取两个数相乘，最小的积是，的积是．15．数轴上A点表示的数是2，那么同一数轴上与A点相距3个单位长度的点表示的数是．16．用“＞”、“＜”、“=” 号填空；（1）﹣0.021； ；（3）﹣（﹣ ）﹣[+（﹣0.75）]；（4）﹣ 3.14．三、细心算一算（17-20题每小题26分，21、22每题5分，共26分）17．（1）（﹣4.6）+（﹣8.4）（﹣5）﹣5（3）3×[（﹣2）﹣10]（4）23+（﹣17）+6+（﹣22）（5）（﹣5.3）+（﹣3.2）﹣（﹣2.5）﹣（+4.8）（6）（+ ）+（+17）+（﹣1 ）+（+7） +（﹣2 ）+（﹣ ）四、认真解一解.18．把下列各数在数轴上表示出来，并用“＞”号把它们连接起来．﹣3，1 ，﹣4.5，0，3．19．把下列各数填在相应的大括号里：+2，﹣3，0，﹣3 ，π，﹣1.414，17， ．负数集合：{ …}；正整数集合：{ …}；负分数集合：{ …}；有理数集合：{ …}．20．已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，e=﹣（﹣2014），求20 13a+2013b﹣ 的值．21．已知|x﹣4|+|5﹣y|=0，求 （x+y）的值．22．已知10箱苹果，以每箱10千克为标准，超过10千克的数记为正数，不足10千克的数记为负数，称重记录如下：+0.2，﹣0.2，+0.7，﹣0.3，﹣0.4，0，﹣0.1，+0.5，﹣0.2，﹣0.5．求12箱苹果的总重量．23．柳州出租车司机小李，一天下午以白沙客站为出发点，在南北走向的跃进路上营运，如果规定向北为正，向南为负，他这天下午行车里 程（单位：千米）如下：+15，﹣2，+5，﹣13，+10，﹣7，﹣8，+12，+4（1）将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车时的出发白沙客站多远？在白沙客站的什么方向？若每千米的价格为3.5元，这天下午小李的营业额是多少？河南省鹤壁市黎阳中学2014～2015学年 度七年级上学期月考数学试卷参 考答案与试题解析一、精心选一选（每小题3分，共24分）1．在下列各数中，﹣3.8，+5，0，﹣ ， ，﹣4，中，属于负数的个数为（）A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个考点： 正数和负数．专题： 推理填空题．分析： 根据正负数的定义便可直接解答，即大于0的数为正数，小于0的数为负数，0既不是正数也不是负数．解答： 解：根据负数的定义可知，在这一组数中为负数的有：﹣3.8，﹣ ，﹣4，故选：B．点评： 此题考查的知识点是正数和负数，解答此题的关键是正确理解正、负数的概念，区分正、负数的关键就是看它的值是大于0还是小于0，不能只看前面是否有负号．2．下列叙述正确的是（）A． 正数和分数统称有理数B． 0是整数但不是正数C． ﹣ 是负分数，1.5不是正分数D． 既不是正数，又不是负数，这样的数一定不是有理数考点： 有理数．分析： 根据有理数的定义，可判断A，根据零的意义，可判断B、D，根据分数的定义，可判断C．解答： 解：A、整数和分数统称有理数，故A错误；B、0是整数单但不是正数，故B错误；C、﹣ 是负分数，1.5是正分数，故C错误；D、0既不是正数也不是负数，0是有理数，故D错误；故选：B．点评： 本题考查了有理数，利用了有理数的定义，注意0不是整数也不是负数，0是有理数．3．下面表示数轴的图中，画得正确的是（） A． B． C． D． 考点： 数轴．分析： 数轴就 是规定了原点、正方向和单位长度的直线，依据定义即可作出判断．解答： 解：A、缺少正方向，故错误；B、单位长度不统一，故错误；C、正确；D、没有原点，故错误．故选C．点评： 数轴有三要素：原点、正方向和单位长度，三者必须同时具备．4．下列比较大小的题目中，正确的题目个数是（）（1）﹣5＞﹣4；3＞0＞﹣4；（3）﹣ ＞ ；（4）﹣ ＞﹣ ．A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点： 有理数大小比较．分析： （1）根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可判断（1）；根据正数大于零，零大于负数，可判断；（3）根据正数大于负数，可判断（3）；（4）根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可判断（4）．解答： 解：（1）|﹣5|＞|﹣4|，﹣5＜﹣4，故（1）错误；3＞0＞﹣4，故正确； （3）正数大于负数，故（3）错误；（4）|﹣ |＜|﹣ |﹣ ＞﹣ ，故（4）正确；故选：B．点评： 本题考查了有理数比较大小，正数大于零，零大于负数，注意两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小．5．下列各式中，等号不成立是（）A． ︳﹣9|=9 B． ︳﹣9|=︳+9| C． ﹣︳﹣9|=9 D． ﹣︳﹣9|=﹣︳+9|考点： 绝对值．分析： 根据绝对值的性质对四个选项依次计算即可：如果用字母a表 示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．解答： 解：A、|﹣9|=9，故等号成立；B、|﹣9|=|+9|=9，故等号成立；C、﹣|﹣9|=﹣9，故等号不成立；D、﹣﹣9|=﹣+9|=﹣9，故等号成立．故选C．点评： 本题考查了绝对值的性质，解题时熟练掌握性质是关键，此题比较简单，易于掌握．6．|x﹣1|+|y+3|=0，则y﹣x﹣ 的值是（） A． ﹣4 B． ﹣2 C． ﹣1 D． 1考点： 非负数的性质：绝对值．专题： 计算题．分析： 本题可根据非负数的性质“两个非负数相加和为0，这两个非负数的值都为0”解出x、y的值，再把x、y的值代入y﹣x﹣ 中即可．解答： 解：|x﹣1|+|3+y|=0，x﹣1=0，3+y=0，解得y=﹣3，x=1，y﹣x﹣ =﹣3﹣1﹣ =﹣4 ．故选A．点评： 本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．7．某店一周经营情况记录（记盈利为正）+113，+87，﹣55，﹣35，+80，+90，则该店一周经营情况（）A． 盈利280元 B． 亏损280元 C． 盈利260元 D． 亏损260考点： 正数和负数．分析： 可以求出这七个数的和，看其结果即可判断．解答： 解 ：因为113+87﹣55﹣35+80+90=280，所以可知一周盈利280元，故选：A．点评： 本题主要考查有理数的加法减运算，正确理解正负数的意义 是解题的关键．8．两个有理数和为0，积为负，则这两个数的关系是（）A． 两个数均为0 B． 两个数中一个为0C． 两数互为相反数 D． 两数互为相反数，但不为0考点： 有理数的乘法；有理数的加法．分析： 根据有理数的乘法运算法则和有理数的加法运算法则判断即可．解答： 解：两个有理数和为0，积为负，这两个数的关系是两数互为相反数，但不为0．故选D．点评： 本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，熟记运算法则是解题的关键．二、专心填一填（每题3分，共24分）9．潜艇所在的高度是﹣100m，一条鲨鱼在潜艇上方30m处，则鲨鱼的高度记作 ﹣70米 ．考点： 正数和负数．分析： 潜艇所在高度是﹣100米，如果一条鲨鱼在艇上方30m处，根据有理数的加法法则即可求出鲨鱼所在高度．解答： 解：潜艇所在高度是﹣100米，鲨鱼在潜艇上方30m处，鲨鱼所在高度为﹣100+30=﹣70米．故答案为：﹣70米．点评： 此题主要考查了正负数能够表示具有相反意义的量、有理数的加法等知识，解题关键是正确理解题意，根据题意列出算式解决问题．10．﹣ 的倒数是 ﹣ ，绝对值等于 的数是 ，﹣（ ）的相反数是 ．考点： 倒数；相反数；绝 对值．分析： 根据乘积为1的两个数互 为倒数，可得一个数的倒数．解答： 解：﹣ 的倒数 是﹣ ，绝对值等于 的数是 ，﹣（ ）的相反数是 ，故答案为：﹣ ， ， ．点评： 本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．11．相反数等于本身的有 理数是 0 ；倒数等于本身的数是 ±1 ．考点： 倒数；相反数．专题： 推理填空题．分析： 根据①相反数的定义：只有符号不同的两个数叫互为相反数，0的相反数是0；②倒数的定义：乘积是1的两个数叫互为倒数；进行解答．解答： 解：根据相反数的定义，得相反数等于本身的数是0；根据倒数的定义，得倒数等于本身的数是±1；故答案为：0，±1．点评： 本题考查的是相反数、倒数的定义，难度不大，关键正确理解掌握其意义．12．绝对值小于5的整数有 9 个．考点： 绝对值．分析： 求绝对值小于5的整数，即求绝对值等于0，1，2，3，4的整数，可以结合数轴，得出到原点的距离等 于0，1，2，3，4的整数；解答： 解：根据绝对值的定义，则绝对值小于5的整数是0，±1，±2，±3，±4，共9个，绝对值小于6的负整数有﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，﹣5，共5个．故答案为9；点评： 本题主要考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，比较简单．13．把（﹣4）﹣（﹣6）﹣（+8）写成省略加号的和的形式为 ﹣4+6﹣8 ．考点： 有理数的减法．分析： 根据相反数的定义和有理数的加法运算省略加号的方法解答．解答： 解：（﹣4）﹣（﹣6）﹣（+8）写成省略加号的和的形式为﹣4+6﹣8．故答案为：﹣4+6﹣8．点评： 本题考查了有理数的减法，有理数的加法省略加号的方法，是基础题，需熟记．14．在﹣1，﹣2，2三个数中，任取两个数相乘，最小的积是 ﹣4 ，的积是 2 ．考点： 有理数的乘法．分析： 根据有理数的乘法运算法则和有理数的大小比较列式计算即可得解．解答： 解：最小的积=﹣2×2=﹣4，的积=（﹣1）×（﹣2）=2．故答案为：﹣4；2．点评： 本题考查了有理数的乘法，有理数的大小比较，正确列出算式是解题的关键．15．数轴上A点表示的数是2，那么同一数轴上与A点相距3个单位长度的点表示的数是 ﹣1或5 ．考点： 数轴 ．分析： 设与A点相距3个单位长度的点表示的数是x，再根据数轴上两点间的距离公式求出x的值即可．解答： 解：设该点表示的数是x，则|2﹣x|=3，解得x=﹣1或x=5．故答案为：﹣1或5．点评： 本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键． 16．用“＞”、“＜”、“=”号填空；（1）﹣0.02 ＜ 1； ＞ ；（3）﹣（﹣ ） = ﹣[+（﹣0.75）]；（4）﹣ ＜ 3.14．考点： 有理数大小比较．分析： （1）（4）根据正数大于负数可直接比较大小，（3）先把分数化为小数的形式再比较大小．解答： 解：（1）﹣0.02＜1； =0.8， =0.75， ；（3）﹣（﹣ ）= =0.75，﹣[+（﹣0.75）]=﹣（﹣0.75）=0.75，﹣（﹣ ）=﹣[+（﹣0.75）]；（4）﹣ ＜3.14．点评： 本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是把每个数化为统一的形式，再比较大小．三、细心算一算（17-20题每小 题26分，21、22每题5分，共26分）17．（1）（﹣4.6）+（﹣8.4）（﹣5）﹣5（3）3×[（﹣2）﹣10]（4）23+（﹣17）+6+（﹣22）（5）（﹣5.3）+（﹣3.2）﹣（﹣2.5）﹣（+4.8）（6）（+ ）+ （+17）+（﹣1 ）+（+7）+（﹣2 ）+（﹣ ）考点： 有理数的混合运算．专题： 计算题．分析： （1）原式利用同号两数相加的法则计算即可得到结果；原式利 用减法法则计算即可得 到结果；（3）原式先计算括号中的运算，再计算乘法运算即可得到结果；（4）原式结合后，相加即可得到结果；（5）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果；（6）原式结合后，相加即可得到结果．解答： 解：（1）原式=﹣13；原式=﹣10；（3）原式=3×（﹣12）=﹣36；（4）原式=23+6﹣22﹣17=29﹣39=﹣10；（5）原式=﹣5.3﹣3.2+2.5﹣4.8=﹣13.3+2.5=﹣10.8；（6）原式= ﹣ +17+7﹣1 ﹣2 =24﹣3 =20 ．点评： 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题 的关键．四、认真解一解.18．把下列各数在数轴上表示出来，并用“＞”号把它们连接起来．﹣3，1 ，﹣4.5，0，3．考点： 有理数大小比较；数轴．分析： 数轴上的点与实数是一一对应的关系，数轴上的点比较大小的方法是：左边的数总是小于右边的数．解答： 解：先将各数在数轴上标出来用“＞”号把它们连接起来：3＞1 ＞0＞﹣3＞﹣4.5．点评： 主要考查了有理数大小的比较，利用数轴上的点与实数是一一对应的关系，要注意数轴上的点比较大小的方法是左边的数总是小于右边的数．19．把下列各数填在相应的大括号里：+2，﹣3，0，﹣3 ，π，﹣1.414，17， ．负数集合：{ …}；正整数集合：{ …}；负分数集合：{ …}；有理数集合：{ …}．考点： 有理数．分析： 根据小于零的数是负数，可得负数集合；根据大于零的整数是正整数，可得正整数集合；根据小于零的分数是负分数，可得负分数集合；根据有理数是有限小数或无限循环小数，可得有理数集合．解答： 解：负数集合：{﹣3，﹣3 ，﹣1.414…}；正整数集合：{2，17…}；负分数集合：{﹣3 ，﹣1.414…}；有理数集合：{+2，﹣3，0，﹣3 ，﹣1.414，17， …}．点评： 本题考查了有理数 ，利用了有理数的分类．20．已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，e=﹣（﹣2014），求2013a+2013b﹣ 的值．考点： 代数式求值；相反数；倒数．分析： 根据互为负数的两个数的和等于0可得a+b=0，互为倒数的两个数的乘积是1可得cd=1，再求出e，然后代入代数式进行计算即可得解．解答： 解：a与b互为相反数，a+b=0，c与d互为倒数，cd=1，又e=﹣（﹣2014）=2014，2013a+2013b﹣ =﹣ =﹣2014．点评： 本题考查了代数式求值，主要利用了相反数的定义，倒数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．21．已知|x﹣4|+|5﹣y|=0，求 （x+y）的值．考点： 非负数的性质：绝对值．分析： 根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．解答： 解：根据题意得，x﹣4=0，5﹣y=0，解得x=4，y=5，所以， （x+y）= ×（4+5）= ．点评： 本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．22．已知10箱苹果，以每箱10千克为标准，超过10千克的数记为正数，不足10千克的数记为负数，称重记录如下：+0.2，﹣0.2，+0.7，﹣0.3，﹣0.4，0，﹣0.1，+0.5，﹣0.2，﹣0.5．求12箱苹果的总重量．考点： 正数和负数．分析： 可以先求出这10箱比标准多或少重量，再加上10箱的标准重量即可．解答： 解：因为0.2﹣0.2+0.7﹣0.3﹣0.4+0﹣0.1+0.5﹣0.2﹣0.5=﹣0.3所以12箱总重量为：10×10+（﹣0.3）=99.7（千克），答：12箱苹果的总重量为99.7千克．点评： 本题主要考查有理数的加减混合运算，正确利用运算律及有理数的运算法则是解题的关键．23．柳州出租车司机小李，一天下午以白沙客站为出发点，在南北走向的跃进路上营运，如果规定向北为正，向南为负，他这天下午行车里程（单位：千米）如下：+15，﹣2，+5，﹣13，+10，﹣7，﹣8，+12，+4（1）将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车时的出发白沙客站多远？在白沙客站的什么方向？若每千米的价格为3.5元，这天下午小李的营业额是多少？考点： 正数和负数．分析： （1）把这9个数加起来计算出其他结果，看其正负判断位置即可，求出绝对值的和，再乘价格即可．解答： 解：（1）15﹣2+5﹣13+10﹣7﹣8+12+4=16，所以可知距出发白沙站16千米，在白沙客站的北方；|+15|+|﹣2|+|+5|+|﹣13|+|+10|+|﹣7|+|﹣8|+|+12|+|+4|=15+2+5+13+10+7+8+12+4=76，76×3.5=268（元），所以这天下午小李的营业额为268元．点评： 本题主要考查有理数的加减运算，灵活运用运算律和正确掌握运算的法则是解题的关键．
一、精心选一选（每小题3分，共24分）1．在下列各数中，﹣3.8，+5，0，﹣ ， ，﹣4，中，属于负数的个数为（） A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个 2．下列叙述正确的是（） A． 正数和分数统称有理数 B． 0是整数但不是正数 C． ﹣ 是负分数，1.5不是正分数 D． 既不是正数，又不是负数，这样的数一定不是有理数 3．下面表示数轴的图中，画得正确的是（） A． B． C． D． 4．下列比较大小的题目中，正确的题目个数是（）（1）﹣5＞﹣4；3＞0＞﹣4；（3）﹣ ＞ ；（4）﹣ ＞﹣ ． A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 5．下列各式中，等号不成立是（） A． ︳﹣9|=9 B． ︳﹣9|=︳+9| C． ﹣︳﹣9|=9 D． ﹣︳﹣9|=﹣︳ +9| 6．|x﹣1|+|y+3|=0，则y﹣x﹣ 的值是（） A． ﹣4 B． ﹣2 C． ﹣1 D． 1 7．某店一周经营情况记录（记盈利为正）+113，+87，﹣55，﹣35，+80，+90，则该店一周经营情况（） A． 盈利280元 B． 亏损280元 C． 盈利260元 D． 亏损260 8．两个有 理数和为0，积为负，则这两个数的 关系是（ ） A． 两个数均为0 B． 两个数中一个为0 C． 两数互为相反数 D． 两数互为相反数，但不为0二、专心填一填（每题3分， 共24分）9．潜艇所在的高度是﹣100m，一条鲨鱼在潜艇上方30m处，则鲨鱼的高度记作． 10．﹣ 的倒数是，绝对值等于 的数是，﹣（ ）的相反数是． 11．相反数等于本身的有理数是；倒数等于本身的数是． 12．绝对值小于5的整数有个． 13．把（﹣4）﹣（﹣6）﹣（+8）写成 省略加号的和的形式为． 14．在﹣1，﹣2，2三个数中，任取两个数相乘，最小的积是，的积是． 15．数轴上A点表示的数是2，那么同一数轴上与A点相距3个单位长度的点表示的数是． 16．用“＞”、“＜”、“=” 号填空；（1）﹣0.021； ；（3）﹣（﹣ ）﹣[+（﹣0.75）]；（4）﹣ 3.14．三、细心算一算（17-20题每小题26分，21、22每题5分，共26分）17．（1）（﹣4.6）+（﹣8.4）（﹣5）﹣5（3）3×[（﹣2）﹣10]（4）23+（﹣17）+6+（﹣22）（5）（﹣5.3）+（﹣3.2）﹣（﹣2.5）﹣（+4.8）（6）（+ ）+（+17）+（﹣1 ）+（+7） +（﹣2 ）+（﹣ ）四、认真解一解.18．把下列各数在数轴上表示出来，并用“＞”号把它们连接起来．﹣3，1 ，﹣4.5，0，3． 19．把下列各数填在相应的大括号里：+2，﹣3，0，﹣3 ，π，﹣1.414，17， ．负数集合：{ …}；正整数集合：{ …}；负分数集合：{ …}；有理数集合：{ …}． 20．已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，e=﹣（﹣2014），求20 13a+2013b﹣ 的值． 21．已知|x﹣4|+|5﹣y|=0，求 （x+y）的值． 22．已知10箱苹果，以每箱10千克为标准，超过10千克的数记为正数，不足10千克的数记为负数，称重记录如下：+0.2，﹣0.2，+0.7，﹣0.3，﹣0.4，0，﹣0.1，+0.5，﹣0.2，﹣0.5．求12箱苹果的总重量． 23．柳州出租车司机小李，一天下午以白沙客站为出发点，在南北走向的跃进路上营运，如果规定向北为正，向南为负，他这天下午行车里 程（单位：千米）如下：+15，﹣2，+5，﹣13，+10，﹣7，﹣8，+12，+4（1）将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车时的出发白沙客站多远？在白沙客站的什么方向？若每千米的价格为3.5元，这天下午小李的营业额是多少？ 一、精心选一选（每小题3分，共24分）1．在下列各数中，﹣3.8，+5，0，﹣ ， ，﹣4，中，属于负数的个数为（） A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个考点： 正数和负数．专题： 推理填空题．分析： 根据正负数的定义便可直接解答，即大于0的数为正数，小于0的数为负数，0既不是正数也不是负数．解答： 解：根据负数的定义可知，在这一组数中为负数的有：﹣3.8，﹣ ，﹣4，故选：B．点评： 此题考查的知识点是正数和负数，解答此题的关键是正确理解正、负数的概念，区分正、负数的关键就是看它的值是大于0还是小于0，不能只看前面是否有负号． 2．下列叙述正确的是（） A． 正数和分数统称有理数 B． 0是整数但不是正数 C． ﹣ 是负分数，1.5不是正分数 D． 既不是正数，又不是负数，这样的数一定不是有理数考点： 有理数．分析： 根据有理数的定义，可判断A，根据零的意义，可判断B、D，根据分数的定义，可判断C．解答： 解：A、整数和分数统称有理数，故A错误；B、0是整数单但不是正数，故B错误；C、﹣ 是负分数，1.5是正分数，故C错误；D、0既不是正数也不是负数，0是有理数，故D错误；故选：B．点评： 本题考查了有理数，利用了有理数的定义，注意0不是整数也不是负数，0是有理数． 3．下面表示数轴的图中，画得正确的是（） A． B． C． D． 考点： 数轴．分析： 数轴就 是规定了原点、正方向和单位长度的直线，依据定义即可作出判断．解答： 解：A、缺少正方向，故错误；B、单位长度不统一，故错误；C、正确；D、没有原点，故错误．故选C．点评： 数轴有三要素：原点、正方向和单位长度，三者必须同时具备． 4．下列比较大小的题目中，正确的题目个数是（）（1）﹣5＞﹣4；3＞0＞﹣4；（3）﹣ ＞ ；（4）﹣ ＞﹣ ． A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点： 有理数大小比较．分析： （1）根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可判断（1）；根据正数大于零，零大于负数，可判断；（3）根据正数大于负数，可判断（3）；（4）根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可判断（4）．解答： 解：（1）|﹣5|＞|﹣4|，﹣5＜﹣4，故（1）错误；3＞0＞﹣4，故正确； （3）正数大于负数，故（3）错误；（4）|﹣ |＜|﹣ |﹣ ＞﹣ ，故（4）正确；故选：B．点评： 本题考查了有理数比较大小，正数大于零，零大于负数，注意两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小． 5．下列各式中，等号不成立是（） A． ︳﹣9|=9 B． ︳﹣9|=︳+9| C． ﹣︳﹣9|=9 D． ﹣︳﹣9|=﹣︳+9|考点： 绝对值．分析： 根据绝对值的性质对四个选项依次计算即可：如果用字母a表 示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．解答： 解：A、|﹣9|=9，故等号成立；B、|﹣9|=|+9|=9，故等号成立；C、﹣|﹣9|=﹣9，故等号不成立；D、﹣﹣9|=﹣+9|=﹣9，故等号成立．故选C．点评： 本题考查了绝对值的性质，解题时熟练掌握性质是关键，此题比较简单，易于掌握． 6．|x﹣1|+|y+3|=0，则y﹣x﹣ 的值是（） A． ﹣4 B． ﹣2 C． ﹣1 D． 1考点： 非负数的性质：绝对值．专题： 计算题．分析： 本题可根据非负数的性质“两个非负数相加和为0，这两个非负数的值都为0”解出x、y的值，再把x、y的值代入y﹣x﹣ 中即可．解答： 解：|x﹣1|+|3+y|=0，x﹣1=0，3+y=0，解得y=﹣3，x=1，y﹣x﹣ =﹣3﹣1﹣ =﹣4 ．故选A．点评： 本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目． 7．某店一周经营情况记录（记盈利为正）+113，+87，﹣55，﹣35，+80，+90，则该店一周经营情况（） A． 盈利280元 B． 亏损280元 C． 盈利260元 D． 亏损260考点： 正数和负数．分析： 可以求出这七个数的和，看其结果即可判断．解答： 解 ：因为113+87﹣55﹣35+80+90=280，所以可知一周盈利280元，故选：A．点评： 本题主要考查有理数的加法减运算，正确理解正负数的意义 是解题的关键．8．两个有理数和为0，积为负，则这两个数的关系是（） A． 两个数均为0 B． 两个数中一个为0 C． 两数互为相反数 D． 两数互为相反数，但不为0考点： 有理数的乘法；有理数的加法．分析： 根据有理数的乘法运算法则和有理数的加法运算法则判断即可．解答： 解：两个有理数和为0，积为负，这两个数的关系是两数互为相反数，但不为0．故选D．点评： 本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，熟记运算法则是解题的关键． 二、专心填一填（每题3分，共24分）9．潜艇所在的高度是﹣100m，一条鲨鱼在潜艇上方30m处，则鲨鱼的高度记作 ﹣70米 ．考点： 正数和负数．分析： 潜艇所在高度是﹣100米，如果一条鲨鱼在艇上方30m处，根据有理数的加法法则即可求出鲨鱼所在高度．解答： 解：潜艇所在高度是﹣100米，鲨鱼在潜艇上方30m处，鲨鱼所在高度为﹣100+30=﹣70米．故答案为：﹣70米．点评： 此题主要考查了正负数能够表示具有相反意义的量、有理数的加法等知识，解题关键是正确理解题意，根据题意列出算式解决问题．10．﹣ 的倒数是 ﹣ ，绝对值等于 的数是 ，﹣（ ）的相反数是 ．考点： 倒数；相反数；绝 对值．分析： 根据乘积为1的两个数互 为倒数，可得一个数的倒数．解答： 解：﹣ 的倒数 是﹣ ，绝对值等于 的数是 ，﹣（ ）的相反数是 ，故答案为：﹣ ， ， ．点评： 本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键． 11．相反数等于本身的有 理数是 0 ；倒数等于本身的数是 ±1 ．考点： 倒数；相反数．专题： 推理填空题．分析： 根据①相反数的定义：只有符号不同的两个数叫互为相反数，0的相反数是0；②倒数的定义：乘积是1的两个数叫互为倒数；进行解答．解答： 解：根据相反数的定义，得相反数等于本身的数是0；根据倒数的定义，得倒数等于本身的数是±1；故答案为：0，±1．点评： 本题考查的是相反数、倒数的定义，难度不大，关键正确理解掌握其意义． 12．绝对值小于5的整数有 9 个．考点： 绝对值．分析： 求绝对值小于5的整数，即求绝对值等于0，1，2，3，4的整数，可以结合数轴，得出到原点的距离等 于0，1，2，3，4的整数；解答： 解：根据绝对值的定义，则绝对值小于5的整数是0，±1，±2，±3，±4，共9个，绝对值小于6的负整数有﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，﹣5，共5个．故答案为9；点评： 本题主要考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，比较简单． 13．把（﹣4）﹣（﹣6）﹣（+8）写成省略加号的和的形式为 ﹣4+6﹣8 ．考点： 有理数的减法．分析： 根据相反数的定义和有理数的加法运算省略加号的方法解答．解答： 解：（﹣4）﹣（﹣6）﹣（+8）写成省略加号的和的形式为﹣4+6﹣8．故答案为：﹣4+6﹣8．点评： 本题考查了有理数的减法，有理数的加法省略加号的方法，是基础题，需熟记． 14．在﹣1，﹣2，2三个数中，任取两个数相乘，最小的积是 ﹣4 ，的积是 2 ．考点： 有理数的乘法．分析： 根据有理数的乘法运算法则和有理数的大小比较列式计算即可得解．解答： 解：最小的积=﹣2×2=﹣4，的积=（﹣1）×（﹣2）=2．故答案为：﹣4；2．点评： 本题考查了有理数的乘法，有理数的大小比较，正确列出算式是解题的关键． 15．数轴上A点表示的数是2，那么同一数轴上与A点相距3个单位长度的点表示的数是 ﹣1或5 ．考点： 数轴 ．分析： 设与A点相距3个单位长度的点表示的数是x，再根据数轴上两点间的距离公式求出x的值即可．解答： 解：设该点表示的数是x，则|2﹣x|=3，解得x=﹣1或x=5．故答案为：﹣1或5．点评： 本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键． 16．用“＞”、“＜”、“=”号填空；（1）﹣0.02 ＜ 1； ＞ ；（3）﹣（﹣ ） = ﹣[+（﹣0.75）]；（4）﹣ ＜ 3.14．考点： 有理数大小比较．分析： （1）（4）根据正数大于负数可直接比较大小，（3）先把分数化为小数的形式再比较大小．解答： 解：（1）﹣0.02＜1； =0.8， =0.75， ；（3）﹣（﹣ ）= =0.75，﹣[+（﹣0.75）]=﹣（﹣0.75）=0.75，﹣（﹣ ）=﹣[+（﹣0.75）]；（4）﹣ ＜3.14．点评： 本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是把每个数化为统一的形式，再比较大小． 三、细心算一算（17-20题每小 题26分，21、22每题5分，共26分）17．（1）（﹣4.6）+（﹣8.4）（﹣5）﹣5（3）3×[（﹣2）﹣10]（4）23+（﹣17）+6+（﹣22）（5）（﹣5.3）+（﹣3.2）﹣（﹣2.5）﹣（+4.8）（6）（+ ）+ （+17）+（﹣1 ）+（+7）+（﹣2 ）+（﹣ ）考点： 有理数的混合运算．专题： 计算题．分析： （1）原式利用同号两数相加的法则计算即可得到结果；原式利 用减法法则计算即可得 到结果；（3）原式先计算括号中的运算，再计算乘法运算即可得到结果；（4）原式结合后，相加即可得到结果；（5）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果；（6）原式结合后，相加即可得到结果．解答： 解：（1）原式=﹣13；原式=﹣10；（3）原式=3×（﹣12）=﹣36；（4）原式=23+6﹣22﹣17=29﹣39=﹣10；（5）原式=﹣5.3﹣3.2+2.5﹣4.8=﹣13.3+2.5=﹣10.8；（6）原式= ﹣ +17+7﹣1 ﹣2 =24﹣3 =20 ．点评： 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题 的关键． 四、认真解一解.18．把下列各数在数轴上表示出来，并用“＞”号把它们连接起来．﹣3，1 ，﹣4.5，0，3．考点： 有理数大小比较；数轴．分析： 数轴上的点与实数是一一对应的关系，数轴上的点比较大小的方法是：左边的数总是小于右边的数．解答： 解：先将各数在数轴上标出来 用“＞”号把它们连接起来：3＞1 ＞0＞﹣3＞﹣4.5．点评： 主要考查了有理数大小的比较，利用数轴上的点与实数是一一对应的关系，要注意数轴上的点比较大小的方法是左边的数总是小于右边的数． 19．把下列各数填在相应的大括号里：+2，﹣3，0，﹣3 ，π，﹣1.414，17， ．负数集合：{ …}；正整数集合：{ …}；负分数集合：{ …}；有理数集合：{ …}．考点： 有理数．分析： 根据小于零的数是负数，可得负数集合；根据大于零的整数是正整数，可得正整数集合；根据小于零的分数是负分数，可得负分数集合；根据有理数是有限小数或无限循环小数，可得有理数集合．解答： 解：负数集合：{﹣3，﹣3 ，﹣1.414…}；正整数集合：{2，17…}；负分数集合：{﹣3 ，﹣1.414…}；有理数集合：{+2，﹣3，0，﹣3 ，﹣1.414，17， …}．点评： 本题考查了有理数 ，利用了有理数的分类． 20．已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，e=﹣（﹣2014），求2013a+2013b﹣ 的值．考点： 代数式求值；相反数；倒数．分析： 根据互为负数的两个数的和等于0可得a+b=0，互为倒数的两个数的乘积是1可得cd=1，再求出e，然后代入代数式进行计算即可得解．解答： 解：a与b互为相反数，a+b=0，c与d互为倒数，cd=1，又e=﹣（﹣2014）=2014，2013a+2013b﹣ =﹣ =﹣2014．点评： 本题考查了代数式求值，主要利用了相反数的定义，倒数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 21．已知|x﹣4|+|5﹣y|=0，求 （x+y）的值．考点： 非负数的性质：绝对值．分析： 根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．解答： 解：根据题意得，x﹣4=0，5﹣y=0，解得x=4，y=5，所以， （x+y）= ×（4+5）= ．点评： 本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 22．已知10箱苹果，以每箱10千克为标准，超过10千克的数记为正数，不足10千克的数记为负数，称重记录如下：+0.2，﹣0.2，+0.7，﹣0.3，﹣0.4，0，﹣0.1，+0.5，﹣0.2，﹣0.5．求12箱苹果的总重量．考点： 正数和负数．分析： 可以先求出这10箱比标准多或少重量，再加上10箱的标准重量即可．解答： 解：因为0.2﹣0.2+0.7﹣0.3﹣0.4+0﹣0.1+0.5﹣0.2﹣0.5=﹣0.3所以12箱总重量为：10×10+（﹣0.3）=99.7（千克），答：12箱苹果的总重量为99.7千克．点评： 本题主要考查有理数的加减混合运算，正确利用运算律及有理数的运算法则是解题的关键． 23．柳州出租车司机小李，一天下午以白沙客站为出发点，在南北走向的跃进路上营运，如果规定向北为正，向南为负，他这天下午行车里程（单位：千米）如下：+15，﹣2，+5，﹣13，+10，﹣7，﹣8，+12，+4（1）将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车时的出发白沙客站多远？在白沙客站的什么方向？若每千米的价格为3.5元，这天下午小李的营业额是多少？考点： 正数和负数．分析： （1）把这9个数加起来计算出其他结果，看其正负判断位置即可，求出绝对值的和，再乘价格即可．解答： 解：（1）15﹣2+5﹣13+10﹣7﹣8+12+4=16，所以可知距出发白沙站16千米，在白沙客站的北方；|+15|+|﹣2|+|+5|+|﹣13|+|+10|+|﹣7|+|﹣8|+|+12|+|+4|=15+2+5+13+10+7+8+12+4=76，76×3.5=268（元），所以这天下午小李的营业额为268元．点评： 本题主要考查有理数的加减运算，灵活运用运算律和正确掌握运算的法则是解题的关键．
函数奇偶性全新的理解奇数偶数正数负数函数是整个数学学科中比较难的部分，其逻辑性强，内容枯燥，理解难度大，让很多学生对函数学习产生乏味心理。但是函数同时也是职业教育数学教学中的重要内容，所以数学教师必须教好它，学生必须学好它。函数的重要性质是把握函数学习的基础，而函数的奇偶性是函数的重要性质之一，所以掌握好函数的奇偶性尤为重要。为此，笔者们反复讨论后，结合多年学习和教学实践，独辟蹊径，对函数的奇偶性进行全新的、有趣的三点理解，供同仁参考。
一、从幂指数是整数的情形开始思考
二、结合初中内容，再提出一个特别实用的新思路，处理奇、偶函数混合的情况
作为老师，我们知道：“奇函数×奇函数=偶函数，奇函数×偶函数=奇函数，偶函数×奇函数=奇函数，偶函数×偶函数=偶函数，偶函数÷偶函数=偶函数，奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数”。但是，我们怎么样，让学生轻松地记住这些结果呢？
我们提出一个极其简单的记忆口诀，即“把奇函数看成负数，偶函数看成正数”，来让学生联系地记住上述结果。初中学过“负×负得正，负×正得负，正×负得负，正×正得正，正÷正得正，负+负得负，正+正=正”，这样，这个内容正好依次对应符合“奇函数×奇函数=偶函数，奇函数×偶函数=奇函数，偶函数 ×奇函数=奇函数，偶函数×偶函数=偶函数，偶函数÷偶函数=偶函数，奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数”。不但如此，我们还都知道“奇函数×奇函数 ×奇函数=奇函数”，这正好也符合“负×负×负得负”，因为我们把奇函数看成负数来处理奇函数、偶函数同时存在的情况。同样的道理，我们还知道“奇函数×偶函数×偶函数=奇函数”。其实，这同样符合初中学的“负×正×正得负”。像这样的例子太多了，此时，我们不难发现，通过把“奇函数看成负数，偶函数看成正数”来判断奇函数、偶函数同时存在的函数的奇偶性、多个奇函数的“+×÷”混合的奇偶性以及多个奇函数的“+×÷”混合的奇偶性特别实用。
虽然对于“奇函数-奇函数”即“负-负”，我们无法判断结果的正负号，因此无法判断出其奇偶性，需要借助教材中奇、偶函数的定义来判断奇、偶函数同时存在的函数的奇偶性了，但是对于奇函数、偶函数同时存在的情况或者多个奇函数的“+-×÷”的情况或者多个多个偶函数的“+×÷”的情况，用我们提出的方法，凡是“+×÷”能判断出结果是正数是负数的，我们都可以判断出“这个混合的奇、偶函数”到底是奇函数还是偶函数，这是一件好事，毕竟用教材中奇、偶函数的定义来判断比较复杂的函数的奇偶性比较麻烦。
三、结合本文第一点和第二点，谈幂指数是分数的情形
我国著名数学家、著名教育家陈省身院士曾指出“数学是思考的产物。首先要能够思考起来，用自己的见解和别人的见解交换，会有很好的效果。”笔者通过这篇文章对高中数学中函数的奇偶性提出了一些全新的理解方式，并且给出了具体应用，旨在与同仁们一起进步。
参考文献：
[1]刘绍学.高中数学必修1[M].北京：人民教育出版社，2007，1.
[关键词]原点；生活情境；感知；分层
[中图分类号]G623
[文献标识码]A
[文章编号]2095-3712（2014）28-0083-03
[作者简介]王天予（1994―），女，江苏南京人，南京师范大学泰州学院在读本科生。
负数概念的确立要符合两个基本要素：原点和基准方向。只有具备这两个要素，才能够真正形成负数的概念。从负数的起源来看，我们有理由相信负数是中国人发明的，因为中国人很早就提出“入仓为正，出仓为负”的说法，并发明了和负数有关的加减计算法则。但是“负数”这一概念却迟迟不能被西方数学家接受，原因是此时的负数只符合其中的一个要素：基准方向，对原点还没有明确的说明。我国古代的正和负是用来表示具体情境中数量增减变化（相反意义的量）的情况的，而生活中不会出现有3吨货物却运走了4吨，有50个铜钱却付出了80个这样的情形。西方数学家认为负数是荒谬的，因为所有用负数解决的实际问题都可以在自然数的范畴内解决。直到西方数学家在方程中得到负根（一个比“无/零”更小的数――笛卡尔），此时原点出现了，负数的概念才慢慢被接受，随着19世纪整数理论基础的建立，负数在逻辑上的合理性才真正建立起来。
小学数学教学中“认识负数”的教学目标应该是什么呢？2011年版的《义务教育数学课程标准》明确规定：“在熟悉的生活情境中，了解负数的意义，会用负数表示日常生活中的一些量。”[1]这就意味着“在学习负数的过程中，学生更多的是经历‘具体情境中的数解释数的意义’这样的过程，这一过程的重点是帮助学生认识负数和正数表示相反的意义”[2]。这是否意味着小学生对负数的认识只要达到我国古代的“入仓为正，出仓为负”的水平就可以了呢？近代数学家发现：“作为数学的基础的数的系统理论，必须要有一个坚实的逻辑基础。”[3]小学生学习负数，是在经历从自然数向整数系扩展的过程，这个过程是一个科学而严谨的过程，应该紧紧围绕负数的两个要素进行。
负数是一个比较抽象的概念，小学生必须在具体的生活情境中真正了解负数的意义。情境的选择不仅要符合学生已有的生活经验，而且要有助于学生认识负数在其中的具体存在形式，帮助学生较好地了解负数的意义。在实际生活中，学生很容易将数量增加确定为基准方向，但是对原点的认识却极其模糊。教学中应该将原点的认识作为重难点，合理选择生活情境，引导学生分层感知原点的各种形态，逐渐加深对负数意义的了解。
一、感知实际为“0”的原点，直观了解“负数小于0”的含义
自然界中有一些人们熟知的分界点，如结冰的温度、海平面、地面等。这些分界点很自然地将某一类数量分成两部分，一部分由分界点向上递增，另一部分由分界点向下递减。这类分界点非常符合原点的特征，并且是静态的，可直接用“0”来表示。我们可以把这类分界点看作基础水平的原点，与这些分界点相关联的自然现象和事物是学生比较熟悉或易于理解的，其中蕴含的原点和基准方向是清晰可辨的，因此，从此类情境开始负数的学习是非常合适的。
学生很熟悉气温的变化，可借此创设生活情境，将温度计作为最佳的学习素材。小学生知道水结成冰的温度是0℃，并且知道有高于0℃的温度，也有低于0℃的温度，他们能够很自然地区分两种温度，并确定温度的分界点。当学生了解到两种温度可以分别用正数和负数来表示，经历了在温度计上寻找某些具体温度的位置的过程后，就能想象处在这些具体温度下的感受，再结合后面关于海拔高度的学习，就能明白“正数比0大，离0越远就越大；负数比0小，离0越远就越小；0是正数与负数的分界点，它既不是正数，也不是负数”。
二、感知实际“非0”的原点，具体了解“相反意义的量”的含义
现实生活中用正负数来表示数量，原点常常是人为规定的，如盈亏中的成本、生产实践中的计划产量、达标测试中的标准等。此类原点有些复杂，尽管它们也是静态的，但是其本身的数量往往不是0。此类原点被作为标准与实际数量进行比较，实际数量超出标准的部分用正数来表示，低于标准的部分用负数来表示，与标准相等时用“0”来表示。但是，实际数量本身通常是大于0的，学生在通过此类情境学习正负数在生活中的应用时，如果不能感知到原点的存在，可能会对负数大小的认识产生困惑。
苏教版教材在举出“温度计”和“海拔高度”的例子之后，选择“盈亏问题”作为例题的情境，把“会用正负数表示生活中相反意义的量”作为教学的重点，这样的安排是非常合理的。前面的“温度计”和“海拔高度”的教学，已经帮助学生初步建立了“正数和负数表示相反意义的量”的形象直观的模型，通过指导学生用正负数来表示生活实际中具有相反意义的量，帮助他们了解“相反意义的量”的含义。
“盈”和“亏”本身就是一组反义词，如果学生知道盈数用正数来表示，自然会想到亏数用负数来表示，学生在这一点上应该不会出现学习困难。如果教学只停留在这个层面，就会让学生对负数的意义产生困惑：尽管3月份亏损了，可是总不会没有一点收入吧，收入的钱数还是大于0啊，为什么要用负数来表示呢？不是说负数小于0吗？解决这样的问题就需要学生对原点有所感知。教师不妨在《盈亏情况统计表》中增加一个“0”，让学生去思考这个“0”表示什么意思，从而将“成本”这个隐含的数量揭示出来，使学生明白正数表示的是收入比成本多出的部分，负数表示的是收入比成本少的部分，盈数与亏数在以成本为标准时，它们的意义是相反的，所以可以分别用正数和负数来表示。这样才能使学生对负数意义的认识保持前后一致，才能使学生真正了解“相反意义的量”的含义。
在随后进行的“行程问题”的教学中，可以进一步引导学生认识“+2100米”和“-2100米”虽然方向相反，但是所表示的实际长度是一样的。这样可帮助学生形成关于“绝对值”的形象直观的朴素理解。
三、感知抽象的原点，初步了解整数系的结构
学生在前面几个环节的学习过程中，感知到的原点都是一些具体的形态，对负数的认识都是基于生活中对负数常见的描述。此时的学生嘴上说着某个负数，心中常常对应着某个具体的数量，但还没有真正将负数从具体数量中抽象出来，对于正数、负数和0在整数系中的位置还没有非常清晰的认识。这时需要教师借助数轴，引导学生将数量抽象为数，从而初步了解整数系的结构。
将生活情境中的图形抽象为数轴，最好的素材莫过于“行程问题”了。行程问题中的各个元素与数轴中元素能够完美对应：行走的道路对应轴线，起点对应数轴上的原点“0”，目的地的方向对应数轴的方向，所行的路程对应数轴上的数。教学中可以在明确基准方向的基础上，引导学生想象两个人朝相反方向行走的情况，在两个人走过的道路上依次标出“+1米”“+2米”和“-1米”“-2米”等数量，随后将数量后面的单位名称隐去，用箭头表示出方向，突出将起点抽象为“0”的过程，这样一来，将起点初步抽象为原点的任务就完成了。然而，关于负数的教学仅仅做到这一步还是不够的，教师还需要将前面学习过的“温度计”和“海拔高度”的例题用课件演示的方式归纳到同一个数轴中来，让学生经历将不同类型的数量抽象为数的过程。整个抽象过程都要关注将各个原点的具体形态抽象为“0”的过程，突出“0”在数轴中的分界作用。
在随后的教学中，教师可以引导学生借助数轴直观了解整数系的结构，回顾有关负数的认识，将学生对负数意义的认识从基于具体数量的了解初步抽象为基于数的了解。“在学习自然数的基础上学习负数（负整数），是数域的一次重要扩展，学生对数的认识将从自然数集扩展到整数集。”[1]因此，借助数轴认识正数和负数，只要出现整数即可，如果学生提出负分数或负小数，可以明确肯定它们也是负数，无需在数轴上表示出来。
在上述三个层次的教学中，每个层次所选择的生活情境都涉及负数意义的多个方面，我们要做的是根据学生认知的特点和各个情境突出的特点，合理安排生活情境出现的顺序，在不同层次突出不同的重点，引导学生在整体与局部、直观与抽象的循环认知过程中不断深化对负数意义的了解，为学生将来的学习打下良好的基础。
参考文献：
[1] 教育部.义务教育数学课程标准[M].2011版.北京：北京师范大学出版社，2012.
(1)正数：比0大的数叫做正数；
负数：比0小的数叫做负数；
0既不是正数，也不是负数。
(2)正数和负数表示相反意义的量。
2、有理数的概念及分类
3、有关数轴
(1)数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。数轴是一条直线。
(2)所有有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定都是有理数。
(3)数轴上，右边的数总比左边的数大；表示正数的点在原点的右侧，表示负数的点在原点的左侧。
(2)相反数：符号不同、绝对值相等的两个数互为相反数。
若a、b互为相反数，则a+b=0；
相反数是本身的是0，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。
(3)绝对值最小的数是0；绝对值是本身的数是非负数。
4、任何数的绝对值是非负数。
最小的正整数是1，最大的负整数是-1。
5、利用绝对值比较大小
1、正数、负数及0的意义
由于生产和生活的需要产生了数——正数、负数和0.
(1)大于 的数叫做正数，正数前面的“+”号通常省略不写.
(2)在正数前面加上 的数叫做负数.
(3)0既不是 ，也不是 ;0除表示“没有”外，还可表示
，如海平面的海拔高度为0.
注意：正数和负数都是由符号和绝对值组成的.
〔1〕已知数-7，2.1，0，-1/3，13中，正数有 ;负数有 ;不是负数的数是 ;不是正数的数是 .
注意：不是负数的数叫非负数;不是正数的数叫非正数.
2、用正负数表示具有相反意义的量
正负数用来表示具有相反意义的量，如+2元表示股票上升2元，-3元表示 .
在一个数的前面加上“-”号，所得的数表示的意义与原数表示的意义 .
〔2〕下列说法中错误的是 .
①零上6℃的相反意义只有零下6℃;②收入和支出是一对相反意义的量;③运出5吨与收入5元是一对具有相反意义的量.
相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义 ，二是它们都具有 ，而且必须是 .
〔3〕如果零上5℃记作+5℃，那么零下5℃记作( )
A、-5 B、-10 C、-10℃ D、-5℃
3、有理数及其相关概念
(1) 统称为整数;
(2) 统称为分数;
(3) 统称为有理数.
注意：有限小数和无限循环小数都可以化为分数.
4、有理数的分类
(1)按定义分： (2)按性质分：
注意：分类要按同一个标准，做到不重复不遗漏.
二、例题导引
例1 下列语句：①所有整数都是正数;②所有正数都是整数;③小学学过的数都是正数;④分数是有理数;⑤在有理数中除了负数就是正数.其中正确的语句的个数是( )
A、0个 B、1个C、3个 D、4个
例2 把下列各数填入相应的大括号中：7，-9.25，-9/10，-301，
4/27,-3.5,0,2,11/2,-7,1.25,-7/3,-3,-3/4.
正数{ …｝
负数{ …｝
负整数{ …｝
正分数{…｝
非负整数{ …｝
非正分数{ …｝
例3 某校对七年级男生进行俯卧撑测试，有8名男生的成绩如下表所示：
学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8
成绩(个) 7 8 5 2 3 7 4 6
请规定一个有意义的量为正，并用正、负数重新列表表示这8名同学的成绩.
三、练习提高
夯实基础
1、若存款为正，某储蓄所在1小时内接待了4笔业务：存款2000元，取款1200元，存款400元，取款800元，用正数、负数分别表示为
.
2、下列说法：①零的意义仅仅是表示没有;②0是最小的正整数;③0既不是正数，也不是负数;④0是偶数，也是自然数.其中正确的是( )
A、①③④B、①②③④ C、③④D、②④
3、下列各组量中，具有相反意义的量是( )
A、起重机上升5米与右移3米
B、向前走与向后走
C、收入玉米40公斤与借走玉米40公斤
D、存入3万元与取出2万元
4、如果节约16度电记作+16，那么浪费6度电记作度.
5、钟表上的指针顺时针旋转30度记作+30度,则-20度表示的意义是
.
6、如果水位下降3米记作-3米，那么水位上升4米记作( )
A、1米 B、7米 C、+4米D、-7米
7、如果-4米表示物体向西运行4米，那么+2米表示 ，物体原地不动记为.
8、既是负数,又是整数的数是( )
A、0分 B、1分 C、-2分 D、3.5分
9、下列说法中错误的是( )
A、正整数一定是自然数 B、自然数一定是正整数
C、0既是整数，也是有理数 D、有限小数也是分数
10、某食品包装上标有“净含量385±5克”，这袋食品的合格率含量范围是 克至 克.
11、向西走-100米,可以说成( )
A、向西走100米 B、向东走100米
C、向西走200米 D、向东走200米
12、-7所在的数集有 (写出三个数集的名称).
13、按某种规律在横线上填上适当的数：-23，-18，-13， .
14、把下列各数填到相应的大括号内：
-4，5， ，- ,0,-21 , ,-0.03003.
负整数{ …｝
分 数{…｝
非负数{ …｝
非正分数{ …｝
15、学校对初一男生进行立定跳远测试，以能跳1.7m及以上为达标，超过1.7m的厘米数用正数表示，不足l.7m的厘米数用负数表示.
第一组10名男生成绩如下(单位cm)：
+2 -4 0 +5 +8 -7 0 +2 +10 -3
(1)跳得最远的距离和最近的距离分别是多少?
(2)第一组有几名学生达标?达标率是多少?
能力提高
16、一潜水艇所在高度是-80米，它下潜10米的高度记为 .
17、小明比小刚的身高高-5㎝的意义是 .
18、下列说法中正确的是( )
A、有最小的自然数，也有最小的整数
B、没有最小的正数，但有最小的正整数
C、没有最小的负数，但有的负数
D、0是有理数中最小的数.
19、有公共部分的两个数集是( )
A、正整数集合与负整数集合
B、整数集合与分数集合
C、负数集合与整数集合
D、负分数集合与正分数集合
20、某班数学平均分为80分,80分以上如85分记作+5分,某同学的数学成绩为78分,应记作( )
A、+2分 B、-7分 C、-2分 D、+7分
21、巴黎与北京的时差为-7时(正数表示同一时刻比北京时间早的小时数)如果北京时间是7月2日14：00，那么巴黎的时间是( )
A、7月2日21时 B、7月2日17时
C、7月2日5时 D、7月2日7时
22、按某种规律在横线上填上适当的数：1，-4，9，-16，25，
， .
23、将下列有理数填在对应的圈中：
-0.3，0，-100，3.7，99.9，-15/2，10， ，2/3.
24、如果课桌的高度比标准高度高2㎜记作+2㎜，那么比标准高度低3㎜记作什么?现有5张课桌，量得它们的尺寸与标准高度比较分别是+1㎜，-1㎝，0㎜，+3㎜和-1.5㎜，若规定课桌的高度比标准的高度不能超过2㎜，最低不能低于2㎜才算合格，那么上述5张课桌有几张合格?
探索创新
25、某种商品的标准价格是400元，但随着季节的变化，商品的价格可浮动±5%.
(1)±5%的含义分别是什么?
学生在初中阶段的数学中已经学习了“正负得负、负负得正”的数学规则，可以说每一个高中学生对这个数学规则在数学计算方面，掌握得十分熟练。然而“正负得负、负负得正”的数学规则不仅应用在数学计算中，在物理教学和物理学习过程中应用也十分广泛。
比如，在初中的光学内容中，我们知道有凸面镜、凹面镜、凸透镜、凹透镜，其中凸面镜、凹透镜对光线有发散作用，凹面镜、凸透镜对光线有会聚作用，通过对比分析可知凹面镜、凸透镜是一凹一凸、一面一透正好是两个相反，但他们对光线都有会聚作用的结果却是相同的，同样凸面镜、凹透镜也是一凹一凸、一面一透正好是两个相反，但他们对光线都有发散作用的结果也是相同的，正好对应了“负负得正”的规则。而一凹一凸的两个面镜和一凹一凸的两个透镜其中条件中只有一个相反，但它们对光线一个是发散一个是会聚，结果正好相反，也正好对应了“正负得负”的规则。这样，在学习中我们只要记住凸透镜对光线都有会聚作用，我们就可以利用“正负得负、负负得正”的数学规则，很容易知道凸面镜、凹面镜、凹透镜、凸透镜对光线是会聚还是发散。高中物理必修1第四章用牛顿运动定律解决问题（二）中关于超重和失重，加速上升和减速下降发生超重现象，加速下降和减速上升发生失重现象，条件是加速、减速上升、下降，在超重中是一加一减、一上一下正好是两个相反，但结果都超重。在失重中同样也是一加一减、一上一下两个相反，但结果都是失重。正好对应了“负负得正”的规则。若加速上升和加速下降是一同一反，他们的结果是一个超重一个失重正好相反，也正好对应了“正负得负”的规则。所以只要我们记住加速上升是超重，那么减速下降、加速下降和减速上升时发生的现象利用“正负得负、负负得正”的数学规则，很容易判断是超重还是失重。在高中选修3-2第三章中“磁场对运动电荷的作用力”一节中，关于洛伦兹力方向的判断中左手定则是这样规定的：伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；让磁感线从掌心进入，并使四指指向正电荷运动的方向，这时拇指所指的方向就是运动的正电荷在磁场中所受洛伦兹力的方向。在左手定则中，伸开左手、磁感线从掌心进入、正电荷运动的方向是判断洛伦兹力方向的条件，而拇指所指的方向就是运动的正电荷在磁场中所受洛伦兹力的方向是结论。左手定则中，判定的是正电荷在磁场中所受洛伦兹力的方向，如果是负电荷的话，课本中给定负电荷受力的方向与正电荷受力的方向相反。课本对负电荷受力的方向只是给了一个结论，并没有说明和论证。
在负电荷受力的方向教学中，我是这样说明的，因为在“左手定则”中，所有的条件都保持，其他的条件都没有改变，只是将正电荷变为了负电荷，是将条件中的一个条件相反了，相当于是一个负，则由“正负得负、负负得正”的数学规则，我们就可以判断出负电荷受力的方向与正电荷受力的方向相反。那么“左手定则”中的磁场方向、电荷运动的方向和电荷的电性三个条件中根据改变的个数，利用“正负得负、负负得正”的数学规则，很容易判断出正（负）电荷在磁场中所受洛伦兹力的方向。
通过以上三个例子可以看出，“正负得负、负负得正”的数学规则不仅在初中物理教学中可以应用，而且在高中的物理教学中也可以应用，不但在力学、光学、电学中可以应用，它可以应用在更广泛的物理教学中。“正负得负、负负得正”的数学规则不仅是初中数学的学习内容，实际上它是哲学思想“否定之否定”的一个具体表现。
“正负得负、负负得正”的数学规则在学习中是数学知识，但在物理学习和物理教学中是经常用到的。作为教师不但要教会学生知识的学习，更重要的是教会学生怎样学习，教他们学习的方法，学习的技巧，更重要的是一种思维的方式，使他们不断地了解和认识各学科的学习不是独立的学习，是一种相互联系的学习。特别是“正负得负、负负得正”的数学规则在物理知识学习中，在一定程度上可以减轻学生学习的负担，同时也可以激励学生学习的兴趣，让学生牢固地建立起用数学的方法解决物理问题的思维方式。
故我们利用“正负得负、负负得正”是遵照数学的规则、哲学的思想，解决的是物理的问题。
（作者单位 新疆维吾尔自治区喀什市农三师第一中学）
孙 玮
教学内容：北师版四年级上P88—90
教学目标：
1、知识与技能：在熟悉的生活情境中，了解负数的意义，学会用正、负数表示日常生活中具有相反意义的量；会正确地读、写负数。
2、过程与方法：使学生在熟悉的生活情境中，经历数学化、符号化的过程，体会负数产生的必要性。
3、情感、态度和价值观：感受正、负数和生活的密切联系，享受创造性学习的乐趣。并结合史料对学生进行爱国主义思想教育。
教学要点：
（一）、教学重点： 感悟正、负数的意义，用正负数表示生活中具有相反意义的量。
（二）、教学难点： 感悟负数的意义及0的内涵
（三）、教学关键：在实际生活情境中，联系已有的知识经验，感悟正、负数的意义，能应用正、负数表示生活中具有相反意义的量。
（四）、教学准备：记录表，温度计教具等。
教学过程：
一、情境导入，初步认识正负数。
1、记录相反意义的量
要求：（1）听清信息，学会独立思考；可以选择你自己最喜欢的方式来记录；把听到的数字信息准确、简洁的记录下来。关键是让别人一眼就能看明白你所表示的意思。师叙述、生记录。
①中国足球队上半场进了2个球，下半场丢了2个球；
②学校四年级这学期一共转来25名新同学，五年级转走了18名同学；
③小明妈妈做生意，三月份赚了6000元，四月份亏了2000元。
汇报展示同们记录的方法。
投影展示一种特殊记录方法。
（这里还有一位同学是这样表示的，请你跟大家介绍一下吧！负数（板书）你对负数有哪些了解？那这些数呢？正数（板书））
我们仔细观察这三条信息，不难发现每条信息中都暗藏了一组相反意义的词，谁发现了？（进球和失球，转入和转出，赚了和亏了）它们所表示的意思都是相反的。
二、生活中的负数
在生活中也有许多相反意义的量，我们都可以用正数和负数来表示。最常见的就是天气预报了，今天我们就一起来学习负数在温度中的应用。板书课题：（温度）我们需要了解温度来选择合适的穿着，你知道日常生活中用什么工具来测量温度的吗？
1.请你们认真观察温度计，待会告诉我你的发现。
2.指名学生说说自己的发现：
3.小结：同学们说了这么多，我们一起来总结一下：温度计上每一个小格代表1℃。这个是0℃，（板书：0）在0刻度以上的就是零上温度, 0刻度以下的温度呢？就是零下温度，0是它们的分界点。板书：分界点
4.FLASH1：据了解瑞典的一个天文学家最早规定，把自然状态下，水刚开始结冰时的温度定为0摄氏度。
5.FLASH2：我们来感受一下温度的高低。当温度升高时，水银柱会上升，越往上温度越高；相反当温度下降时，水银柱会下降，越往下温度怎么样呢？
6.学生根据温度在温度计中找水银柱的位置。找北京的最高气温是零上5℃时，最低气温是零下5℃，
三、0怎么办？
小组讨论： 0怎么办？
①所有正数和0比，有什么关系？
②所有负数和0比，有什么关系？ 生汇报。
师生小结：正数比0？（大）负数比0？（小）（板书：负数<0<正数）明确说：0既不是正数，也不是负数。是分界点。
四、生活中的应用：
通过刚才的分格我们发现了日常生活中只要用意义相反的量，都可用到我们今天所学的正负数来表示。
1.在我们的生活中你见过负数吗？举例子说一说。
2.现在请大家把之前的那张记录单用我们今天学过的知识再来表示一下。
五、全课小结 ：
我们的古人非常的厉害，负数在生活中的运用早在两千多年前就有了。今天我们只是初步的认识了负数，在生活中还有很多地方运用了负数，希望同学们都能学好数学、用好数学，把我们所学的知识运用到生活中去！
六、板书：
温 度
一、在教学内容的挖掘时提高“研究”的含量
数是整个数学里的主要研究对象之一.虽然在中学有理数这部分教学中,对于有理数的知识,重点只是让学生理解有理数的意义、学会有理数的比较和运算,但作为数学教师来说,至少得初步了解一些数的理论,这样才能更深入地理解教材内容的精神实质,对教材进行分析研究,正确地进行教学.[1]
案例1:关于“负负得正”是否可以证明的数学理解
田载今先生对上述问题做出过非常明确的解释,“负负得正”的乘法法则是数学中的一种规定(定义),它不能通过逻辑证明得出.然而,对这个法则的规定既有客观世界中的实际背景,又有数学内部需要和谐发展的思想背景.教学中适当地介绍这些背景材料,可以帮助学生认识乘法法则的由来与合理性,但是不能将这样做误认为证明这个法则,[2]张广祥先生认为:数学的许多规则,包括初中阶段负负得正以及数与式的大量符号运算法则,是人类几千年来计算经验的总结.是人类追求“和谐体系”的结果.这些规则后来被数学家作为设立数系公理的依据,以便可以从数系的公理系统推出这些行之有效的规则.“美学观念”在理解符号及其运算的学习过程中发挥了重要作用.在实际教学中,我们不必也不可能在学生的初学阶段作这样的形式化证明.但是,我们能够通过模式直观,用“美学的”、“和谐的”、“合理的”思考方式,帮助学生理解这些规则.[3]
我们非常同意上述看法,由于有理数是在学生学习过整数、分数的基础上,对于数集的又一次扩充,对于教师而言,应该了解数集扩充的原则.如果在数集扩充时,我们认定运算律和零的性质是自然成立的,也就能够解决学生产生的为什么“负负得正”这样一个困惑.其实学生困惑主要在于经常会觉得(-1)+(-1)=-2,同类数相加,类型不变,量相加.为什么这样的直观原则用在乘法时不再成立?在认定了数集扩充原则以后,利用形式符号运算能够圆满地解决这一困惑:0=-1×[1+(-1)]=(-1×1)+[-1×(-1)]=-1+[-1×(-1)],所以(-1)×(-1)=1.其实,作为教师应当明确负数的运算实际上已经是一种形式符号的运算,它与具有实体形象的正数虽然有相同的运算性质和运算法则,但是形式符号的特点是与实体分离.当然有人还会问,数集扩充后,为什么运算律和零的性质是自然成立的.这仅仅是因为在自然数中有此运算律,扩充以后这种要求与我们的生活事实没有矛盾,没有别的理由.正如W. H. Auden所说Minus times minus is plus. The reason for this we need not discuss(负负得正,理由不需要讨论).至此,我们可以认为从数学的本质出发,对“负负得正”的理解显得更加自然、恰当.
二、在教学建议的提出时提高“研究”的含量
1.“研究教材”——从品读课本的角度挖掘教学内容
新课程背景下,教师作为课程的实施者,同时也是课程研究、建设和资源开发的重要力量.教师对于课本提供的基本素材和线索,可以调整、重组,可以超越甚至颠覆,但这似乎并不能认为应当降低课本的地位,教师应学会创造性地运用课本——也就是“用课本教,而不是教课本”.我们认为,课本是实现课程目标、实施教学的重要资源,同时它为学生的学习活动提供了基本线索.因此,教师首要的事情是“研究”课本.以人教版数学“有理数”一章为例,我们虽然只是从一些具体的内容和一些细节入手,但是品读后就会发现大有收获.
(1)品读插图
案例2:浓缩的三幅图画——“承前启后”的开篇
正数和负数这一节的三幅图画——古代人们结绳而治(即用自然数计数)、0的产生、分数的应用表明了人们认识数的发展过程.虽然只有很少的文字介绍,通过负数一节开头图的呈现,却将小学所学过的数以及它们的扩充的过程做了一种总结概括.放在这里有种“承前启后,继往开来”的气势.
(2)品读句子
案例3:“数的产生和发展离不开生活和生产的需要.”——精彩的导入语
课本的第1节“正数和负数”第一句话是:“数的产生和发展离不开生活和生产的需要.”它与我们通常的说法似乎有点不同.为什么不说:“由于生产和生活的需要,产生和发展了数.”如果这样换一下,就有些逊色了.因为从数学的发现和创造过程来看,数的产生和发展不只是实际需求的结果,也是数学内部矛盾作用的结果.对初一学生来讲,认识到这一点,当然是后话,课本却由此留下了空间.三个字“离不开”,境界就出来了,有种“微言大义”之感.
(3)品读结构
案例4:数轴的概念——定义中体现非常“数学化”的结构
数轴的定义是初中阶段非常数学化的定义方式,书上说的是通常用一条直线上的点表示数,这条直线叫做数轴,它满足以下要求,即原点、正方向、单位长度.这种定义方式,刚开始学习时学生极容易漏掉“满足以下要求”后面的部分.但是如果教师仔细看数学书就会发现,在以后复杂数学定义和高等数学中很多定义都是这样表述的,比如定义代数中的群、环、域的概念,都是一个集合满足几个条件等等类似定义方式.
案例5:“有理数的加减法”和“有理数的乘除法”——内容上体现非常“数学化”的结构
“有理数的加减法”首先从加法的几何意义出发,用数轴表示两次运动及其结果,引导学生从不同类型的七个算式中发现加法的运算法则,验证其合理性的,运算律是通过实验得到的,减法法则是根据“减法是与加法相反的运算”推演出来的.既有观察、实验,也有验证、推理,根据具体内容的特征选用不同的活动.再看“有理数的乘除法”,由于它与“有理数的加减法”内容结构是平行的,因此采用了同样的处理方式.应该如何处理教学内容——“具体问题具体分析”,课本不是给出很好的范例吗?
(4)品读遗憾
案例6:负负得正的课本解释
当然,教材也有值得商榷的地方.在上文中,我们谈到对“负负得正”的数学理解.课本上对“负负得正”的解释,用向东、向西,某时刻之前、之后作为正负取向的标志,然后采用直观方法验证负负得正的运算规律.这是上述操作性的模式直观.但是,由于借喻“向东、向西”,“时刻前、时刻后”这种实际情景,我们实际上已经在算术演算中加进了“向量”的更为复杂的概念,这对初学正负数四则运算的学生来说,新概念过分集中,为学生的接受能力所不容许.实际上,物质世界并不存在一个抽象的“负负得正”的算术实例.因此,如上文所述从“运算和谐”的角度寻求能够支撑“负负得正”的模式直观也许在教学中存在更合理的价值.[3]巩子坤老师在研究使用不同模型教授“负负得正”对学生的理解产生的影响时发现,教师使用不同的模型对学生的理解并没有产生显着性的差异.[4]这也有理由支持我们从更数学的角度让学生理解“负负得正”的运算法则.
2.“研究教法”——处理教学内容的三个维度
(1)从几何直观的角度呈现教学内容
数和形是数学的两个方面.数学中的数较形而言,具有更加抽象的特点,这也是学生在数集扩充的时候的理解更加困难的原因之一.但是借助几何上的直观感觉可以帮助我们理解数的某些相关的概念和运算法则,甚至理解数量之间的关系,这在国外有很多人研究,叫做Proof without Words(无字证明).
案例7:“去括号法则”无字证明的讲授
在进行有理数混合运算时,我们应该补充有理数的去括号法则.老师常让学生记住去括号的法则:括号前面有负数,负数的绝对值与括号中数分别相乘,再改变每个数前面符号.这个法则常常让学生出错,如:(-1)×(2-1+5)=-2+1-5,特别是在多项式运算中常出错.这种让学生当做规则不加以任何解释的应用,这当然不是学习数学的态度.在教学上,虽然由上面的讨论可以看出,负负得正这个法则是由于运算需要而人为规定出来的,只好让学生记忆,再通过例子强化,但涉及多个数的运算需要运用分配律时,我们建议不要让学生背诵太多的法则,不如让学生应用运算律:加乘分配律和(-a)(-b)=ab.那么有(-1)×(2-1+5)=(-1)×2+(-1)×(-1)+(-1)×5=-2+1-5.
在教学中,我们也可以运用几何直观的方式把去括号的规则讲的清楚一点,用极其简单的几何直觉就能说明去括号法则正确的可能.无字证明的习惯是只需要把图画出来,说一声“请看”就足够解释这种法则了.
如图,给出a>b及c>a,其中a、b、c皆为正数,那么a-b为一正数,小于c,即c-(a-b)必作为正数存在.现在用横坐标把数字表示出来,表明点a和点b之间的线段具有长度a-b.看一下图示就可以明白,如果从c段中取走a-b,结果同我们先取走整个线段a,再放回b段一样.这样就直观的说明了去括号法则的合理性.[5]
(2)从难点分析的角度把握教学内容
把学习过程中的难点分散,使学生在学习过程中多次接触、反复体会、螺旋上升,逐步加深理解,并注意明确相关内容在不同时间段中的要求及前后联系,这是提高教学效果的重要方法.
非负数，即不是负数，那么就包括0和所有正数。
非正数，即不是正数，那么就包括0和所有负数。
正数的定义是，比0大的数叫做正数，0本身不是正数。
负数的定义是，比0小的数叫做负数，0本身不是负数。
0既不是正数也不是负数。
（来源：文章屋网 ）
