时间：2023-05-30 09:05:53
一、由重知识向重能力转移
新课改倡导知识问题化，能力过程化，情感、态度价值观的培养潜移默化。数学的导学案，不应是例题和习题的堆砌，把知识、解题方法直接呈现在学生面前，而应有梯度地设计问题，逐步揭示概念、方法的发展过程和本质，让学生亲身体验概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法。
例如，在讲“直线与平面垂直”时，对于定义教学，我是这样设计的：
问题1：你能举出日常生活中直线与平面相交的例子吗？最特殊的情形是怎样的？
问题2：回忆已学的空间几何体，哪些直线与平面是垂直的？
问题3：（1）直线与平面平行的研究思路是怎样的？
（2）你能类似地研究一下直线与平面垂直的关系吗？
问题4：观察直立于阳光下地面的旗杆及它在地面的影子，回答：
（1）它们的位置关系是怎样的？
（2）随着太阳的移动，它们的位置关系会发生改变吗？
（3）旗杆与地面上任意一条不是影子（不过旗杆底部）的直线的位置关系又是怎样的？由此能得到什么结论？
问题5：若一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，你能断定该直线与此平面垂直吗？
直线与平面垂直是生活中常见的特殊线面位置关系，教学中通过引导学生举例，有助于学生初步直观感知直线与平面垂直的位置关系，激起学生探究直线与平面垂直的兴趣；再根据学生已有的数学知识储备，寻找空间几何体的直观图中线面垂直的位置关系，从中抽象出线面垂直的直观图形，有助于培养学生的几何直观能力。直观感知后，便是给线面垂直下定义。
从概念的形成过程进行设计，类比“直线与平面平行”的研究思路，引导学生运用“降唯”转化的方法思考问题，研究直线与平面内直线的位置关系；再研究大家熟悉的旗杆与影子的位置关系问题，通过实验、观察、归纳、猜想，逐步概括得出线面垂直的定义。这样，非常自然、合理、准确地完成了对定义的教学，不仅有助于学生理解线面垂直的本质，也有助于提高学生的抽象概括能力。
二、由重自学向重引导转移
导学案模式提倡学生自主学习，但自主不等于放任自流。在导学案的使用中，教师要控制好放手的度。导学案教学对教师的要求更高了，教师要真正发挥主导地位。
第一，指导学生自学。教师要善于结合导学案上编写的自学内容，对学生进行自学方法的指导，指导学生自主阅读教材，搜集和利用相关资料，从而提高自学效果。
第二，诱导学生质疑。爱因斯坦说过：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要。”在学习中，由学生提出来的问题出发往往更能调动学生的学习主动性，更能培养学生的创造力。因此，我们应该鼓励学生质疑，并在质疑的方法上给予指导，引导学生学会思考，形成良好的思考习惯。
第三，引导学生交流。积极引导学生有组织地开展合作交流，让学生在表达与交流中学会倾听、学会关注、学会理解，促进学生彼此间的互帮互助，共同提高，努力达成一种内在心理和外在形式上的平衡。
第四，引导学生小结。在学完一个知识点或一种解题方法之后，要善于引导学生自主小结，使学生具有完整的知识体系和科学的学习方法，完善学生的学习活动。
第五，辅导个别学生。导学案教学，的确让学生进行了自主学习，给不同层次的学生很多发展空间，但仍有部分学困生会对部分知识一知半解。此时，教师就要加强对这部分学生的指导和帮助，使他们在学习态度、方法及知识技能等方面达到应有的水平，从而提高教学质量。
三、由重讲解向重探究转移
关键词：新教材；教学方法；创新
新课改在河南省已经经历了4年的历程。回顾新课标的实施，我们这些实践者认为新教材更加注重学生的认识规律，以及学生的学习兴趣。教材中知识的引入借助实例背景，不仅有助于学生认识数学的应用价值，使数学知识可视化，更能激发学生的求知欲望，打造出高效课堂。挖掘新教材，打乱了我们原有的传统模式，发现新问题，采用新方法、新策略，不再循规蹈矩，找到更加合理的授课方法。
立足新教材，也不完全局限于新教材。如“三垂线定理”教学时，在学生的导学案中导入以下问题，让学生结合教具的演示进行探索。
【问题1】据直线与平面垂直的定义可知平面内的任意一条直线都和平面的垂线垂直。那么，平面内任意一条直线是否也都和平面的斜线垂直呢？
【问题2】三角板的一直角边在平面内，并确认这条直角边与平面的关系——在平面上，那么这条直角边与斜线的关系是怎样的？
【问题3】在平面内有几条直线和这条斜线垂直？
【问题4】平面内具备什么条件的直线，才能和平面的一条斜线垂直？
上课检查了导学案讨论的结果之后，我们进行演示：将三角板的斜边当作平面的斜线，构成斜线、垂线和射影的立体模型，仍用一根铁丝放在桌面的不同位置当作平面内直线，观察、探索、猜想铁丝与斜线垂直和桌面内某条直线垂直间的因果关系？
新教材中的“思考”与“探索”是与大纲版教材较明显的一个区别，教材中的“思考”、“探索”不仅有助于学生加深对知识的理解，同时有助于培养学生的发现问题、探索问题、分析问题、归纳问题能力，我们在集体备课时利用一定时间对此类问题进行深刻的探讨，“思考”与“探索”畅所欲言，各抒己见，从而在教学中设计的材料背景有利于培养学生的思维能力、交流合作能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
数学的应用题是充满模型的，建模是解决此类问题的前提。由于现在高考考查的不是原始的实际问题，而是对生产、生活中的原始问题的设计加工，使每个应用题都有其数学模型。在教学中，在重视应用题的教学的同时，还要对应用题进行专项训练，引导学生总结、归纳各种应用题的数学模型，这样学生才能有的放矢，合理运用数学思想和方法分析和解决实际问题。例如：观察下列各式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561…用你所发现的规律写出32003的末位数字是什么？可以这样分析，从式子的个位出现的规律，探索出了3n的个位数字的规律，从而探索出32003的个位数。即当k为自然数时，34k的个位数字为1，34k+1的个位数为3，34k+2的个位数为9，34k+3的个位数为7，而2003=4×500……3，所以32003的个位数字与33的相同，应为7。
关键词：教学设计 直线 平面 垂直
一、教材地位分析
垂直关系是一种非常重要的空间位置关系，它不仅应用较多而且是平行关系的转化手段，可以说垂直关系是立体几何的核心内容之一，本节课是第6节“垂直关系”的第一课时，在学生学了三大平行关系之后，是对学生“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认知过程的一个再强化，对学生数学表达与交流能力（文字语言、符号语言、图形语言转换）、空间想象能力与推理论证能力的再提高，对学生化归与转化思想的一次再升华.
二、教学建议
1.直线与平面垂直的教学，遵循“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认知过程.让学生自己动手，结合几何多媒体演示，在此基础上引导学生观察、体会，逐渐抽象出直线与平面垂直的数学定义及判定方法；
2.采用启发式和探究式教学方法，以问题驱动为主线，激发学生参与学习的积极性和主动性；
3.通过学生经历直观感知、确认操作的过程构建新的知识，在通过例题讲解、解决实际问题使新知得以应用.
三、教学目标
1.知识与技能：
（1）掌握直线与平面垂直的定义及判定定理，并能进行简单应用.
（2）能准确使用数学符号语言、图形语言、文字语言进行表达判定定理.
2.过程与方法：
在合作探究中，逐步构建知识结构；在实践操作中进一步发展学生的几何直观能力和空间想象能力；渗透化归与转化的数学思想方法.
3.情感、态度与价值观：
垂直关系在日常生活中有广泛实例，通过本节的教学，可让学生进一步认识到数学和生活的联系，体会数学原理的广泛应用.并让学生经历研究过程、体验探索乐趣，增强学习兴趣.
四、教学重、难点
重点：线面垂直判定的理解和应用；
难点：线面垂直定义和判定的探索和理解.
五、教学过程设计
（一）课题引入
师：前面我们学习了线线、线面、面面的平行关系，今天我们要学习另外一类非常重要的位置关系――垂直.
师：垂直关系发生在那些对象之间？
生：线线垂直，线面垂直，面面垂直.
师：线线垂直我们已经学过，这节课我们先来学习线面垂直.（书写课题）
师：同学们能谈谈你在生活中见到的线面垂直的例子吗？
生：旗杆与操场，白杨树与地面…
师：生活中这样的情景随处可见，（多媒体展示一些图片）比如：操场飘扬的红旗，旗杆与地面.平坦的大地，一个水平的面；矗立旗杆，一条竖直的线，给人一种挺拔、平稳、向上的感觉.这给我们展示了一种“几何美”――直线垂直于平面.
师：那么如何检验旗杆是否垂直地面？
这就是本节课要解决的问题.
设计意图：通过创设情境，让学生直观感知“线面垂直”，并结合实际提出问题让学生明白本节课学习的目标，利于激发学生的求知欲.
（二）新课讲解
【探究一】：一条直线相对于一个平面具备怎样的条件，可称直线与平面垂直？
师：线面垂直，可以转化为我们学过的线线垂直.
可以借助我们生活中熟悉的例子，如旗杆与地面.
学生看图回答下列问题：设旗杆为AB，旗杆在地面的影子为BC.
（1） 阳光下AB与BC所成角是多少度？
（2） 随着光线的变化BC的位置也发生变化，那么AB与BC所成角度是否发生变化？
（3） AB与平面内任意一条不过点B的直线是否垂直？依据是什么？
生：（1） ；（2）不变；（3）垂直，直线经过平移多可以过B点.
生：（概括）一条直线和平面所有直线都垂直，可称这条直线与这个平面垂直.
教师板书：
（1）定义：若一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直。记作：a面α（作图略）
设计意图：利用学生已有的知识基础、生活经验，通过实例“旗杆和变动的影子的关系”，在问题的引导下，让学生认识“旗杆和地面上任何一条直线都垂直”之后，得出直线与平面垂直的定义，从具体到抽象符合学生认知规律。
师：定义实际上给我们提供了一个判定线面垂直的方法，但是却不便操作，我们要寻找更简便的判定方法。
【探究二】：（1）直线垂直平面内一条直线，能否得到线面垂直？
（2）直线垂直平面内两条平行直线，能否得到线面垂直？
（3）直线垂直平面内三条、四条…无数条平行直线，能否得到线面垂直？
生：用准备好的三角尺与桌面比划来验证.答案都是否定的.
师：换个思路，平面中除了有平行线直线还有互相垂直的直线.
【探究三】：直线垂直平面内两条相交直线，能否得到线面垂直？
生：能，比如在长方体中！
师：作图引导学生观察：
生：答案是肯定的.
设计意图：以长方体的同一顶点出发的三条棱为例，为判定定理埋下伏笔，让学生观察，实践，让学生参与到教学活动的全过程来，体现学生的主体性，培养学生自主探究学习的能力。 【探究四】如果直线和一个平面内两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直吗？
师：大家动手实践一下，看看这是偶然还是必然？
学生活动：拿出事先准备好的三角形纸片.过某个顶点任意对折三角形，以对折后产生的折线为研究对象（研究对象“直线”），然后将三角形放在桌面上（桌面视作研究对象“面”）观察线与面的位置情况.
师：怎样对折后才能让直线垂直于面呢？
学生活动：带着极大的热情，学生们动手实践，最终发现，只有当折线垂直于底边时才能实现线面垂直，而此时正是线与面内的两条相交直线垂直.
在此基础上，教师带领学生进行抽象、简化建立数学模型，得出直线与平面垂直的判定定理.
教师板书判定定理的三种表述：文字语言、图形语言、符号语言.（略）
教师分析定理：三个条件：（1）若a 面α，b 面α；（2）直线lb；（3）a∩b=P.缺一不可.
设计意图：设置这样动手实践的情境，是希望学生学在情境中、思在情理中，感悟在心中.同时培养学生观察猜想的能力，让学生体会真理的科学性和严密性.
（三）定理应用
例1. 有一根旗杆AB高位8m.顶端A处挂着两条长10m的绳子，在距B6m的M处测得绳长为10米，N处测得绳长为9米。
（1） 旗杆栽的合格吗？
（2） 若在N处也测得绳长为10m，栽的合格吗？
（3） 要你设计一个方案如何检测旗杆是否栽的合格。
设计意图：例1应用判定定理解决实际问题，既是对定理的巩固同时也解决课前提出的问题，形成首尾呼应.
例2.已知 平行在平面α内，点O是 对角线的交点，点P在平面α外，且PA=PC，PB=PD，求证：PO面α.
例3.RtΔABC中，∠B=90°，P是ΔABC所在平面外一点，RA面ABC.
（1） 求证：BC面PAB；
（2） 四面体P-ABC中有几个直角三角形。
设计意图：例2让学生在学完判定定理后，能简单应用定理进行证明。通过例3让学生体会线面垂直与线线垂直的转化.
课堂小结：
1. 直线和平面垂直是直线和平面相交的特殊情况；
2. 判定直线与平面是否垂直，有两种方法：
（1） 定义法；
（2） 判定定理。
教学反思：
本节课的设计遵循“直观感受――操作确认――思辨论证”的认知过程，很好贯穿了问题引领学习的意识.学生亲自动手实践过程，有利于培养学生勇于探索、团结合作的精神，以及推理论证的能力、数学表达能力和空间想象力，让学生学身边的数学、领悟空间观念和空间图形性质.
参考文献
[1]《中学数学教学设计》何小亚、姚静
【关键词】案例；教学；数学
【基金项目】福建省教育科学“十三五”规划教育科研基地专项课题FJKYJD16-11.
一、前言
“获得数学基本活动经验”作为教育目标的提出，是基于一个动态的数学观，把学生获得数学知识的过程看成是一种数学活动，是一种充满情感、富于思考的经历体验和探索的活动.数学活动经验不像事实性知识那样“看得见、摸得着”，是学生在经历、在活动、在思考的过程.
本文就笔者的一个教学案例进行分析和评点.
二、案例赏析
这是北师大版七年级下册第五章第三节第二课时“简单的轴对称图形”上课的实录.
（一）学前记
学前记，是笔者最近刚使用的类似于回顾和思考的教学步骤，但又有所不同.它的设计充分体现先行组织者的作用，在学前记中，记下当天的日期和学习的心理指数，记课前的复习，记本课所需的知识，记开课前学生的状态分析，记情感，记学习之事等.
问题1：等腰ABC的腰AB和AC有什么关系？
生：AB=AC.
师：大家翻开昨天的笔记看一下.
问题2：因为AB=AC，所以.（这是性质的复习，追问学生）
生：底角相等，（师追问：你能表达得具体点吗）∠B=∠C.
问题3：在等腰ABC中，请思考填空：
（1）因为AB=AC，ADBC，所以，.
生：BD=DC，∠BAD=∠CAD.
（2）因为AB=AC，BD=DC，所以，.
生：ADBC，∠BAD=∠CAD.
师：这些体现的是什么性质呢？
生：三线合一.
师：这些是昨天所学的轴对称图形等腰三角形的性质，课后要及时地看.
以上的环节设计意图是在本节课前，进行适当的回忆，让学生进入学习和思考的空间通道，调动学生的学习热情，燃烧他们的激情，也为今天的课埋下探索知识的伏笔，使知识能在知识体系上发挥承上启下的作用，也让学生意识到知识不是孤立的，是相互联系、相互迁移的.
（二）自主探索
探索活动一：
师：大家在纸上画一条线段，并回答以下问题：（1）线段是轴对称图形吗？对称轴是什么？你会怎么验证？（2）这条对称轴有什么性质？
生：是，对称轴是这条折痕，我把线段对折，让其两端重合，就可以了.
师：很好.他能充分利用定义来分析问题.
生：对称轴平分线段，对称轴垂直于线段.
师：像这样的对称轴我们称之为线段的垂直平分线，它有两个性质：一是垂直，二是平分.
探索活动二：问题1：在对称轴上任意取一点M，请问M到线段两端的距离会相等吗？大家先猜测一下，然后进行说理验证.问题2：多取几点试一试，还会有同样的发现吗？这又说明了一个什么道理.
学生积极进行探索研究，动手画、量、猜等，再进行思考，进行说理验证.然后在小组里交流各自的看法，不会的借此机会先向同学请教，等下再听教师与同学的分析.
让小组代表展示他们小组的发现.
生：因为OA=OB，∠AOM=∠BOM=90°，OM=OM，所以AOM≌BOM，所以MA=MB.
师追问：M在对称轴的其他地方，MA与MB也会相等吗？众生回答：会.师：你们确定吗，真是这样吗？师在图上在画几点与学生一起观察和证明.
师生一起结得出线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.这时让学生看悬拉桥的幻灯片，展示其对称美的同时，也知道线段垂直平分线的生活应用.
师：大家想到了什么？生：如果把立柱看成是桥的垂直平分线，那么那些缆线就是到桥两端的距离.师：用你的所学，在纸上画一条线段，用尺规作出这条线段的垂直平分线.
学生很是激动地动起手来.2分钟过后，有的学生发现不好画，怎么画会又垂直又平分呢？于是他们在小组内观察其他同学的画法，并积极思考自己的画法.4分钟过后，教师叫停学生，让会的学生说明作法的依据.
生：根据线段垂直平分线上的点到两端的距离相等，我想先找到这样的点，找两个，然后连接，根据两点确定一条直线就可以画出.
（三）拓展延伸
探索活动三：
1.已知一条直线a和直线外一点A，过A作一条直线垂直于已知直线a.
2.自己任意画一个三角形，利用尺规作出这个三角形的重心.
关于自然环境的差异性，教育部制定的《普通高中地理课程标准（实验）》地理1中第三个标准提出必须达到的基本要求即运用地图分析地理环境的地域分异规律。
二、不同版本教材的呈现
三、不同版本组成部分对比
四、不同版本教材的结构编排
不同版本描述的次序表现方式，侧重点以及理解方式上也有所不同。具体如下
1、不同版本的分析顺序
人教版：由赤道向两极、由沿海向内陆以及山地的垂直分布来依次对差异性进行说明;
中图版：运用“世界陆地自然带”的分布图将差异性放大到经度和纬度三维空间方向上，由纬度、经度、垂直方向上依次对差异性进行讲解;
湘教版：提出差异性在纬度地带、干湿度地带、垂直地带以及地方性的表现并总结规律;
鲁教版：先提出水平区域的分异同时给出许多案例;再提出垂直区域的分异，然后进行分析。
2、描述具体方法
人教版：内容简洁，图文结合较佳。以一张“世界陆地自然带”的分布图，从总体来提出自然地理环境存在一定的差异性。接下来再进行分层次的描述并举例，最后把区域差异与农业生产差异进行结合分析，但只是以阅读的形式出现。最后的问题探究很具有价值，体现了地理的人地和谐的思想。
中图版：对该部分文字描述较少，大多采用思考，学习指南，课题，案例等形式呈现所讲的内容，对学生的图表阅读能力要求很高。很注重学生在探究过程中发现问题并解决问题，综合难度较高;在地域分异这一部分重点以气候带为例详细讲述。
湘教版：相对而言，这个版本对于差异性的描述要更为细致，而且对纬度地带性分异规律的知识也拓展得更宽，每一个分异性规律都有相对应的活动。而且该版本还强调了因地制宜，把所学的地理知识更好的合理运用到生活中，更加注重对实际问题的解决。
鲁教版：图像数量多，图文结合较佳。与前面的版本不同的是，该版本先学习地理环境分异规律后再学习地理环境整体性，而人教版、中图版和湘教版则是先学习地理环境整体性后才学习地理环境分异规律。最后还将水平和垂直方向的差异性联系起来，进行综合分析，突出了知识点之间的联系;注重培养学生的空间思维能力和逻辑思维能力。
一、把握学习起点，让概念引入更有效
1.找准学生概念学习的生活起点，引入数学概念。数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式。从中我们可以很清晰地看出，数学概念是基于现实生活产生的。因此，对于数学概念的引入教学，必须基于学生的生活起点，从而实现概念引入的有效性。
案例1：“认识圆”教学片段
师：我们都知道数学是来源于生活的，所以，我们很容易在生活中找到数学。下面让我们来看一下这些图形（课件展示盘子、铁环、足球、车轮），你们都看到什么了？
生：圆。
师：真厉害。那你们还能在生活中找出类似的事物吗？
实践证明，学生只会对已熟知的事物感兴趣，因此教师将圆的教学还原到生活，从生活中的圆开始，逐步完成“圆概念”的引入和认识。这样，不仅能唤醒学生的已有知识经验，同时也让学生顺利完成从未知到已知的过程。
2.找准学生概念学习的认知起点，引入数学概念。教师要在学生认知起点的基础上，唤醒学生原有的认知结构，实现数学的关联性，从而让概念引入更有效。
案例2：“圆柱的认识”教学片段
课件出示以下3个图形：
师：同学们，你们认识屏幕上的图形吗？
生1：第一个是长方形，就像我们的课本。
生2：后面两个分别是正方形和圆形。
师：给大家变个戏法好不好？（将课件转换）现在呢？
生3：它们变成了长方体、正方体、圆柱。
在本课教学中，学生已经具备了大量的平面图形知识，也掌握了长方体和正方体的各种数据的计算方法，因此，教学就可以在学生已有认知的基础上展开。这样的引入，不仅唤醒了学生的已有知识经验，同时也将平面图形与立体图像之间的内在联系教给了学生。
二、强调主动构建，让概念形成更有效
要实现概念教学的有效性，首先要让学生有一个逐步明晰、逐渐完善的概念形成过程，即概念形成要在紧密围绕概念核心的基础上，使学生实现数学概念的主动构建。
1.在比较辨析中形成概念。小学生尚处于思维能力和理解能力均待完善的阶段，在概念的形成过程中很容易偏离概念的本质属性。教师要善于把握学生的这一认知特点，引导学生进行概念的比较辨析，在思辨中实现概念的形成。
案例3：“平行与垂直”教学片段
师：两条线在同一个平面内有几种关系？
生：平行和相交。
师：谁来画一下这两种关系？如果两条线不在同一个平面，情况又会怎样呢？（课件展示上述情况）
以上案例，教师先让学生回答已知的同一平面内的两条线的关系，在得到学生的答案后，提出问题：如果不在同一平面呢？从而引发学生的思维冲突。再通过课件将不在同一平面的情况展示给学生，使学生在思维的辩证分析中理解相交和平行的前提条件：两条线必须在同一平面内。
2.在思维迁移中形成概念。学习是一个由量变到质变的过程，也是一个实现已知同化未知的过程。因此，在数学概念教学中，教师要善于在已知知识的基础上，实现概念形成的动态演绎，促进学生已知对未知的正迁移。
案例4：“平行与垂直”教学片段
在前面的教学中，学生已经掌握了两条线平行的概念。因此，教师利用多媒体动态课件，将平行的两条线中的一条线固定，另一条线旋转到与该固定好的线成90°的位置。
师：变换后的两条线是什么位置关系呢？
生1：由平行线变成相交线了。
师：仔细观察一下它们相交的角度有什么特别之处？
生2：呈90°，是直角。
师：我们将这样的两条线的位置叫做垂直。
以上这个案例，教师将相交线与垂直线做了比较分析，让学生明白两条线相交成直角才能叫做垂直。
三、聚焦生活运用，让概念强化更有效
在小学数学教学中，对概念的教学主要集中在对概念本质属性的理解上。而要实现对概念本质属性的理解，首先要让学生学会运用概念，从而在运用的基础上实现对概念的强化理解。
笔者作为青年教师在听课的过程中，不时观摩到教师讲授有关尺规作图的内容，对于尺规作图，执教的老师各有标准，课后就该内容与老师们的交流中，发现不少教师认为初中阶段涉及尺规作图的类型较少；同时，由于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《课标》）中对所要掌握的尺规作图的类型和要求比以往教学大纲有所减少，特别是在中考复习阶段，教师教学中对该内容的处理“方法单一”或者干脆匆匆带过，学生只要掌握或者就是记住基本的操作方法即可，对尺规作图在教学中的作用认识不足，这个现象引起笔者的思考.尺规作图在现今的初中阶段教学中可作如何调整？调整意义在哪里？在此和大家做个探讨，谈一点自己的反思和建议．
1 应鼓励学生尺规作图方法多样化
尺规作图教学，特别是在复习阶段，对作图方法的复习只是将书本上的作图过程简单“过一遍”，学生只需理解这一方法的由来甚至就只是记住即可.其实，方法的多样意味着考虑问题的出发点的不同，所涉及的知识的也就不同.方法的不同需要学生自己动手操作，观察、大胆猜想、构思出不同于已有解决问题的画法.在构思画法的过程中，学生运用所学知识对该画法进行必要的证明.在中考复习阶段，课程内容已讲授完毕，教师通过对尺规作图问题方法的多样化，可使学生充分联系前后所学知识，并使知识得以“内化”，理解更全面和深入．
案例1 已知线段AB，作出该线段的中垂线．
教学中普遍采用分别以A、B为圆心，以大于AB2的长度为半径画圆，则此两圆的交点分别位于线段AB的上下两侧，过这两点作直线即为该线段的中垂线，如图1所示.
图1上述作法的原理在八年级即已知晓，但在中考复习阶段，教师不仅只是帮助学生复习原有作图方法的由来，还可引导学生分析原有作法，对原有作图的原理进行新的认识，从而利用前后知识间的联系，突破成法.教学中在复习处理上述案例1的问题时可以向学生提出是否可以只作出C点即可？这样可引导学生通过发现ABC为等腰三角形，利用等腰三角形“三线合一”的性质，作出∠C的角平分线，即可知道该角平分线垂直且平分线段AB.在此过程中，教师帮助学生从已有的思维定势中跳出；同时，也在一定程度上展示怎样从已解决问题的基础上“提出问题”，培养学生“问题意识”．
2 教学中对尺规作图的重视还应加强
尺规作图是问题解决的不可分割的一部分.笔者参加一堂九年级关于三角形全等判定的复习课听课过程中发现，该班（该班相当部分学生学习能力偏低）相当部分同学无法确定为什么“SSA”不能作为三角形全等判定的准则，不少同学甚至认为“SSA”可以作为三角形全等的判定准则，课后询问为什么不确定，同学反映教师对这个问题解释过为什么，要求记住，虽然给出相应的解释，但他们理解起来有困难，因而难免有类似错误在做题中出现.同时，一些关于几何命题（命题为真）的逆命题是否为真往往不易判断．
在几何教学中，针对某些这样的问题，用尺规作图很容易构造反例，而且论证直观，思路清晰，具有很强的说明力．
案例2 “SSA”不能作为三角形全等的判定准则．
如图2，在直线a上，作∠A，固定AB长度.以B点为圆心作圆弧，在a上可以有两个交点C和D，这样得到的两个三角形ABC和ABD有两边相等（AB=AB，BC=BD）和一个公共角（∠A），但显然这两个三角形不全等．
图2同时，应利用尺规作图对上述问题进一步深入（最好是学生发现，如果没有，则教师应引导学生将此问题解决.）.由于此处作出的∠A为锐角，那么是否∠A为直角或者钝角时“SSA”也不成立？笔者在同不少同学的交流中发现，绝大部分同学能清楚的知道在∠A为直角时，“SSA”是成立的（在中考复习阶段，最好由学生说明理由），但对于∠A为钝角，则相当多同学认为不行，其实如图2，在∠A是钝角的时候，对边BC是最大边，不可能有另外的解，即在∠A是钝角的时候，“SSA”依然成立．
案例3 直角三角形斜边上的中线等于其斜边的一半，逆命题不真．
上述案例来自笔者所任教的一个九年级班级，笔者在复习关于“直角三角形斜边上的中线等于其斜边的一半”的内容时，向全班同学提出“假如一个直角三角形ABC，∠BAC=90°，E是BC上一点，且AE=BC2，那么AE是否为BC边上的中线？”
一开始，大部分同学均认为上述命题是成立的，因为可用“同一法”说明这个问题，如图3所示，AD是BC边上的中线，AD=BC2，由于已知AE=BC2，所以自然有AD=AE，即E与D重合（图3）.这时笔者提出该问题同学们的做法可能有不严密的地方，如图4，三角形EDA可能是等腰三角形．
图3 图4事实上，上述问题完全可以利用尺规作图加以解决和探究，我们以D为圆心，AD为半径画一个圆，由AD=BC2可知BC正好为所画圆的直径.如图5，再以A点为圆心，AD长为半径画圆弧，圆弧与BC相交于点E，此时AE=AD=BC2，这样也就直观和明了地发现了上述命题的逆命题是假命题．
图5更进一步深入，借助尺规作图（图5），我们可引导学生直观发现上述逆命题要成立的条件是什么（发现∠ABC和∠ACB的角度大小关系或者边AB和边AC长度关系是决定逆命题是否成立的关键，这样就对“大角对大边”的认识更加直观和深入），问题得以延伸和拓展．
3 教材中尺规作图的基本类型偏少
按照《课标》所倡导的理念，教学中应强调让学生自己动手，通过翻折、度量、拼凑、类比等方法进行几何操作，那么，尺规作图正是包含这样的活动.实际教学中，尺规作图是一种“问题情境”的创设，即在某种问题条件下，由学生自己动手解决问题.学生能作出一张符合要求的图形，即使该图形较简单，也是一种具有挑战性和创造性的活动，在这个活动中，学生探索运用知识，构思作图方法，对所学知识进行直观理解，兴趣和创新精神得以培养.在几何教学中强调“观察、操作、推理”的今天，尺规作图的基本类型偏少.
案例4 给定两条相交直线和其中一条上的一个点P，用直尺和圆规作一个圆与两条直线都相切，并以P为一个切点［1］．
图6笔者曾将案例4中的问题请工作所在学校的九年级部分学生试做，结果发现绝大部分试做的同学都能构思出解决问题的办法：如图6，作出∠BAP的角平分线AD，利用切线的性质，角平分线AD上某点即为圆心.找到该点，以该点为圆心，以该点和点P两点距离为半径画圆即可.但接下来在如何确定圆心所在位置，即过点P作直线AP的垂线与角平分线AD相交时，学生们的做法出现较大差异，归纳起来，可分为以下几种典型方法：
作法1：直接利用直角三角板的刻度线与边沿的垂直关系画出垂线．
作法2：直接利用直角三角板的直角画出垂线．
作法3：直接利用量角器画出垂线．
以上三种作法中，第一种是不规范的操作方法；作法2与作法3是《课标》对垂线的画法要求.实际上此题的尺规作法属于“过直线上一点作直线的垂线”，该作法在以前的《教学大纲》上有，现在《课标》已删除.删去了基本作图类型里的“过直线上一点作直线的垂线”除了造成初中阶段尺规作图题的不纯粹，也使教学中失去了培养学生动手操作，在操作中运用所学知识，加深对知识的理解和掌握的过程．
笔者对其中部分同学加以适当点拨后（利用画线段中垂线的方法或者等腰三角形的“三线合一”性质），这部分同学均能理解并迅速利用尺规画出题目所要求的圆．
同时，还发现在案例4中有一个有趣的现象，即参加试做的同学在画出类似图6的示意图时，相当多的同学只考虑到给∠BAP作角平分线AD（可能与平时的视觉习惯有关），忽视还有一种情况（图7）.但当笔者请他们对图6再仔细看看时，所有学生都能发现这个疏漏，这便是尺规作图在教学中具有的直观明了．
图7案例5 给定一个ABC，试用直尺和圆规作一平行于底边BC的直线DE，将ABC的面积分为两部分，且SADE∶SDBCE=1∶3，如图8所示．
图8笔者将案例5中的题目请自己所在任教学校九年级部分同学试做，在试做过程中发现绝大部分同学在分析完题目的条件后都能准确知道DE为ABC的中位线，但在作出这条中位线的过程发现试做此题的同学均是将边AB和边AC的中点D和E分别作出，然后连接DE．
但当笔者要求只用一个中点作出边BC的平行线时，几乎所有的同学均不能用尺规作出DE．
该作图类型属于现在《课标》中没有的内容：“过一点作已知直线的平行线”.删去这一条对教学并无多大影响，但这一条所涉及的作图原理对初中阶段，特别是八、九年级学生而言是比较容易接受的，在《课标》倡导教学应使学生“做中学”的理念下，删去这一条使得学生失去一个通过自己动手和运用所学知识解决问题的机会，比较可惜．
事实上，案例4和案例5中作图所涉及的基本原理是初中阶段几何知识中最基础，也是最重要的知识，教师可利用这些基本原理，创设较丰富的“几何问题情境”，学生运用这些基本知识，借助直尺和圆规，在作图的学习活动中不断思考问题，寻找问题解决的方法，正是一个观察、操作、验证的过程，这对于学生加深对这些知识的理解和培养严密的逻辑思维能力是有益的．
4 反思和建议
在尺规作图问题上，以往的教学大纲同现在的《课标》相比，教学大纲对几何作图的要求很高，需要掌握的类型较多，包括“直线形”、“圆”、“比例线段”、“面积”四类.在圆的部分，有作“内接圆”、“外切圆”、“旁切圆”、“弓形”等；在比例线段中有“内分”、“外分”、“定比”等；面积部分要求作“和已知正方形等积的正方形”等.其中的大多数已经不符合我们现在教学的发展，需要删减.但是，其中的第一类：关于直线形的作图类型，即以下7条：
1.作一角等于已知角；
2.已知三边或两边一夹角或两角一夹边作出三角形；
3.过已知点作已知直线的垂线；
4.过一点作已知直线的平行线；
5.平分一角；
6.作已知线段的垂直平分线；
7.分一线段为n等份.
上述7条却是应该保留的，这7条，简单、准确、实用、理性，是尺规作图的精华所在，试想，如果学生都理解以上7条作图步骤的由来，都能用圆规和直尺将其作出，那么对整个初中几何知识的组成和结构就会有个清楚的认识［2］.有了这7条，本文案例中涉及的一些问题也就迎刃而解.实际教学中，这7条学生十分容易理解和接受，也便于操作.《标准》没有1，3，4，却要求5，6，这一点值得商榷．
同时，上述7条与图形运动有密切的联系.《课标》强调图形的运动，包括平移、旋转、对称等变换，尺规作图是实现图形运动的极佳手段.从逻辑上看，尺规作图作为图形变换的一种手段是成立的［3］.比如，作一角等于已知角的操作中，先是用直尺作一条射线，再用圆规以已知角的顶点为端点，在已知角的一边上画弧截取一段线段，再在射线上截取线段，使其长度等于已知线段，其中截取的过程，实质是以射线端点为圆心，以已截取线段长为半径画弧，交射线于一点，其中射线的端点是所作的线段的一个端点，弧与射线的交点是线段的另一个端点.这里体现了线段的两种“运动”，用圆规在射线上截取线段的长度，可以看作是平移，而画弧的过程，实质是旋转变换.再如，平分一个角，使用圆规直尺可以顺利地作出来，且方法严谨缜密，这种基本的作图方法，是学生掌握图形对称的直观根据.
鉴于此，笔者认为在初中阶段的几何教学中可根据学生学习情况，创设问题情境，适时将以上7条中的某些部分引入教学，对已有的尺规作图方法进行充实和完善.同时，在教学中可采用这样的步骤：① 要求学生画出草图，假设图形已作出；② 根据图形分析画法；③ 利用尺规严格操作并写出作法；④ 对作法进行证明，某些作法来由尽可能要求学生“一法多证”.学生按照这样的步骤进行作图学习的过程，正是一个猜想、观察、操作、验证的过程，这一过程符合学生的认知特点，有助于学生养成严谨的学习习惯，培养严密的逻辑思维能力，也有利于激发学生的兴趣和创造性．
参考文献
［1］ A.H.Schoenfled. Mathematical Problem Solving. New York: Academic Press，1985.
【关键词】思维导图；问题解决；数学
思维导图（MindMapping），也称为心智图.20世纪70年代被称为“世界记忆之父”的托尼.巴赞发明的“一种非常有用的图形技术”.思维导图由主题、节点、连线、图像和色彩构成，由中心主题分支出节点，节点分支出子节点，并由此发散，随着思维的不断深入，节点不断增加，逐步形成一个向周围发散而有序的树状图.通过捕捉和表达发散，思维导图能够将大脑内部零乱、枯燥的信息用一种有序的、条理清晰的可视化图表呈现出来，从而充分开发大脑潜能，极大激发人们的创造能力.
在数学教学中经常会出现这样一种现象：有些学生上课很认真听讲，听也听懂了，但到做作业时却束手无策；有些学生能够解决熟悉的问题，遇到新问题却无从下手.究其原因，这些学生并没有真正理解.爱因斯坦曾说过：“结论几乎总以完成的形式出现，读者体会不到探索和发现的喜悦，感觉不到思想形成的生动过程，也就很难达到清楚、全面理解的境界.”在问题解决过程中，教师运用思维导图将自己的探索过程、试误过程以及思考的方向等呈现给学生，让学生掌握解决问题的思路是至关重要的.在构作思维导图的过程中，也是师生之间进行交流互动的过程，促使学生的学由“被动”向“主动”转化，让学生积极主动参与到整个教学过程中，提高教学效率.正如英国教育学家哈曼所说：“那些不设法勾起学生求知欲望的教学正如捶打着一块冰冷的生铁.”把解题的思想方法和过程呈现给学生，激发他们自主体会，积极探索，从而到达真正理解.
毫无疑问，在数学问题解决研究中的标志性人物当属波利亚.波利亚将解题过程分为四个阶段：理解题目，拟定方案，执行方案，回顾，每一阶段都注重引导学习者进行思维发散.笔者结合自己对波利亚的“怎样解题表”的理解，绘制如下解题思维导图（如图1）.
图1
如图2所示，已知PA垂直于O所在的平面，AB是O的直径，C是O上不同于A，B的任意一点，过点A作AEPC于点E，求证：AE平面PBC.
图2
这道题的分析过程：结论是要证AE平面PBC，要证明线面垂直就要找出线垂直于面内的两条相交直线，题上已知AEPC，只需再证AEBC或者AEPB，不管选择哪个垂直来证明，都需要证明两条异面直线垂直，都要由线面垂直来证得.至于选择证BC平面PAC还是选择证PB平面PAC比较好，我们要再回到已知条件，根据PA垂直于O所在的平面，AB是O的直径，可以得出ACBC，PABC，也即证得BC平面PAC，那么AEBC即得证.上述思维过程，如果只用文字来表述就会显得冗长，不易解读，但如果结合如下思维导图（如图3）进行讲解，思维过程就会清晰明了的多.实践证明：思维导图为学生提供了解题框架，在数学问题解决中引入思维导图，能够有效加强信息之间的全面性和关联性，从不同角度，不同层次引导学生所能想到的知识点和解题思想方法，师生共同探索出一个或
多个解题方案，让学生在整个解题过程中真正了解在什么情况使用什么方法，采取哪种方案更有利于问题解决.“我图画我心”，教师通过学生画出的思维导图，能够知道学生的认知结构，可以很容易了解到学生对问题的理解程度、解题思路以及在问题中暴漏出的不足与错误，找出学生解题过程中的易错点与闪光点，对不同的学生进行有针对性的指导，因材施教.通过将自己的思维导图与教师制作的思维导图作对比，学生能够及时地查漏补缺，最大限度地提高学习效率.
图3
关键词：教室；电气设计；问题；案例
中图分类号： F406 文献标识码： A 文章编号：
引言
随着我国经济的快速发展，社会对人才的需求越来越大、要求越来越高、促使人们比以往任何时候都更加关心和重视教育。在此背景下，近年来全国上下都加大了对教育基础设施的投资，在经济较发达的地区兴起了规模浩大的建设学校的浪潮。学校教室的电气设计是各地电气设计人员经常遇到的内容，笔者在校对及参观考察各类学校中发现当前在学校教室电气设计中存在着问题，有一些还有共性。本文对这些问题予以归纳，并推出解决方法，一提高教室电气设计的水平，不妥之处敬请指正。
目前学校教室电气设计存在的主要问题
照度偏低。教室照明目前主要采用条形荧光灯作为主要光源，由于各种原因，不少教室灯具数量配置不足，使得教师平均照度仅100Lx~150Lx，低于照明设计标准的要求。
灯具布置方向不合理。不少学校的教室，为了避开建筑的大梁，采用了与黑板平行的布置的方式，导致照明眩光的增加。
黑板灯设置不佳。当前教室的电气设计，除了一部分还未设置黑板灯外，许多都设有黑板灯，存在的问题是黑板灯选型或安装位置不佳，有的直接挂在黑板上方的墙上，有的距离黑板垂直距离仅0.3~0.5m，导致黑板上方产生明显的高亮度区，干扰视线，使学生看不清该区域的文字。
产生照明闪烁现象。造成这一现象的主要原因是没有处理好灯具和吊扇安装高度和位置，由于灯具采用了链吊安装，转动吊扇导致灯具摆动，从而使光通不稳定；此外，在一些大面积的教室中，由于灯具选用常规的的整流器，用单相220V电源供电，引起的交流频闪效应也不容忽视。若对照明闪烁不加以限制，必将影响学生视力健康。
插座布置不全。往往仅在黑板一处设一只插座，没有考虑电视、多媒体、投影仪、电饮水器等用电的需要。
照明灯具控制开关未考虑节能。
解决方案
教室照明的主要目的就是提供良好的光照环境，保护视力，满足学生和教师的视觉作业要求，提高教学与学习的效益。根据最新《建筑照明设计标准》（GB50034-2004）要求：学校一般教室（不含美术教室）课桌照度标准值为300Lx,教室黑板照度标准为500Lx，显色指数80，照明功率密度值不大于11w/m2。
为满足上述要求，教室内的一般照明应采用蝙蝠翼单管高效节能荧光灯，在顶棚上均匀布置且与黑板成垂直方向排列，荧光灯应选用电子整流器以消除频闪。另外，目前教室往往采用单侧自然采光，白天，靠窗部分与非靠窗部分亮度差别较大，因此，教室灯具应采用与窗平行的成列布置和控制开启，当室外较亮时，靠窗一列可以不开启，既充分利用自然光，有节约电能。
根据照明设计标准，教室黑板面的照度要达到500Lx。由于黑板是垂直的，若仅安装在天花板上的普通灯具照明，黑板面的垂直照度是很难达到要求的。由于黑板照明在教室照明中非常重要，因此，对黑板照明应选择专用灯具。专用黑板照明灯具的配光曲线（或灯光照射角度）有助于提高黑板垂直照度，且照度均匀，不会产生明显的眩光，且灯光照射角度可以调节。
教学黑板灯布置参照表
教室照明宜采用管式安装，安装高度宜在土建横梁下0.1m（或距地2.8m），吊扇应高于灯具安装，以避免叶片转动造成灯光闪烁现象。
应在教室讲台桌下方设防水型地面插座一个，教室前上方墙上距地约1.8m处、教室后墙靠窗一侧距地0.3m处均设插座，在天花板上距黑板约3m处设吸顶插座一个（用于投影仪等），以满足教室用电的多种要求。另外，所有插座均应选用安全型，插座回路应设过载和漏电保护（漏电电流设定为30mA）。
典型教室设计案例
图1 典型教室电气设计
图1所示典型教室的空间为9.0*6.6*3.6m。照明光源均选用36W荧光灯，配电子整流器，灯管选用飞利普TLD36W/835，其功率为36W，光通量为3350流明，现色指数85，电子整流器功率消耗为2W。照明选用蝙蝠翼配光型灯具，灯具安装高度2.8m，黑板灯距黑板水平距离0.8m、距地2.8m安装。教室内布置四台1400吊扇，距地2.9m安装。
距地照度计算采用利用系数法。教室顶棚反射比70%，墙反射比50%，灯具维护系数取0.7，课桌高度按0.75m考虑，灯具间距离按L=2.12m，灯具计算高度H=2.05m，根据上述计算条件，计算出室空间比后查表得利用系数为0.55。照度计算结果如下：
课桌平均照度E=N.Φ.U.K/A=15*3350*0.55*0.7/9*6.6=326Lx；
黑板垂直照度查相关资料得516Lx;
本教室照明电气功率P=15*36W=570W，求得单位容量为9.6W/m2；
灯的距高比L/H=2.12/2.05=1.03，小于该灯具最大允许值1.5，因此不止均匀度大于0.7。
根据上述计算，上图布置完全满足新《建筑照明设计标准》的各项要求。
参考文献
随着新课程改革的不断深入，新的课程理念正在逐渐更新着教师的教学观。作为一名数学教师，必须做到“目中有人，心中有情，课中有境”。为此，在课堂教学中，尤其应创设真实的问题情境或生动的学习环境，以充分挖掘学生的探索与创新潜能，使学生真正“卷入”教师所预设的有效教学活动中。与此同时，还应使学生掌握基本的数学技能与相应的数学思想及数学方法。具体方法如下：
一、创设悬念情境
前苏联教育家普捷洛夫说过，创造想象的最大创造，永远产生于情境之中，而悬念是触发激情和热情的情境之一。悬念设于课堂开始则必然成为整个课堂的中心；悬念设于课堂末尾则必然是下一个中心的预告。当然，悬念不可设计过多，过多则形成了多个中心，使情境分散，也就达不到激趣的目的了。悬念设置于课堂开始，目的在于尽快集中学生的注意力，激发求知欲望，使之产生非知不可之感。比如在复习“函数”一章时，就先设问函数和映射的异同在何处？平时解题中你都注意过函数的哪些性质？这时学生便开始积极地思索而后解答，于是就呈现出一定要把问题探个究竟的热烈场面，求知的热情油然而生。又如，在平时，讲过一个题的基本解法后，我会趁机问这种方法是不是太繁琐，还有没有别的简单一点的解法。其实，悬念往往只是一句带有性的问话而已。但善教者会灵活多变，能使同学们玩味无穷；甚至有时候，不经意的一问，便可使学生打开思路，找出多种解法。若悬念设于课堂结尾，则能起到“欲知后事如何，且听下回分解”的魅力，使学生感到这堂课回味无穷，进而激发他们继续学习的热情。
二、创设实验情境
高中数学教学应鼓励学生用数学去解决问题，甚至去探索一些数学本身的问题。教学中，教师不仅要培养学生严谨的逻辑推理能力、空间想象能力和运算能力，还要培养学生数学建模能力与数据处理能力，加强在“用数学”方面的教育。最好的方式就是用多媒体电脑和诸如《几何画板》、《几何画王》、《几何专家》、《数学实验室》等工具软件，为学生创设数学实验情境。例如，在上“棱柱和异面直线”一课时，我指导学生用硬纸制作“长方体”和“正三棱柱”等模型，并用《几何画板》设计并创作“长方体中的异面直线”课件，引导学生利用自己制作的“长方体”模型和上述课件，思考以下问题：长方体中所有体对角线（4条）与所有面对角线（12条）共组成多少对异面直线？长方体中所有体对角线（4条）与所有棱（12条）共组成多少对异面直线？长方体中所有棱（12条）之间相互组成多少对异面直线？长方体所有面对角线（12条）与所有棱（12条）共组成多少对异面直线？长方体中所有面对角线（12条）之间相互组成多少对异面直线？然后由学生独立进行数学实验，探讨上述问题。教师根据数学思想发展脉络，充分利用实验手段尤其是运用现代教育技术，创设教学实验情景、设计系列问题、增加辅助环节，有助于引导学生通过操作、实践，探索数学定理的证明和数学问题的解决方法，让学生亲自体验数学建模过程，培养学生的数学创新能力和实践能力，提高数学素养。
三、创设阶梯情境
例如在“三垂线定理”教学时，在引导学生复习了平面垂直的定义及其判定定理、斜线的概念、斜线在平面上的射影的概念后，依次提出四个问题，让学生结合教具的演示进行探索。问题1：根据直线与平面垂直的定义，我们知道平面内的任意一条直线都和平面的垂线垂直。那么，平面内任意一条直线是否也都和平面的斜线垂直呢？教具演示：用一个三角板的一条直角边当平面的斜线，一根竹竿摆放在桌面的不同位置当作平面内的不同直线。学生对此问题暂时没有明确的答案。问题2：将三角板的另一直角边放在桌面上，并确认这条直角边与平面的关系――在平面上，与斜线的（问题1中的那条直角边）关系――垂直。学生认识到：平面内存在与平面斜线垂直的直线。问题3：在平面内有几条直线和这条斜线垂直？学生认识到：平面内存在无数条直线与平面的斜线垂直。问题4：平面内具备什么条件的直线，才能和平面的一条斜线垂直？重新演示：调整教具，将三角板的斜边当作平面的斜线，构成斜线、垂线和射影的立体模型，仍用一根竹竿放在桌面的不同位置当作平面内直线，观察、探索、猜想竹竿与斜线垂直和桌面内某条直线垂直间的因果关系。这样的概念教学，完全是学生的发现而不是教师的强行灌输，通过四个阶梯式的问题情境，强烈地调动了学生的求知欲，使学生主动地、自觉地加入到问题的发现、探索之中，符合学生的自我建构的认知规律。
总之，学生是自己知识的建构者，他们的知识建构活动直接决定着教学效果，教师的核心作用不在于给学生传递知识，而在于如何帮助学生进行知识的建构。探究式学习活动中的各种情境创设都要以学生的理解、思考、感受和活动为基础，从学生的已有学习经验出发，创设具有引导和促进作用的教学情境，帮助学生完成新知识的建构，全面提高学生的数学建模能力和自主探究能力。
【关键词】初中数学;课堂作业;设计;思考;认识
课堂教学是一个复杂、系统的实践体系，由众多教学因素和实施环节所构成。其中，课堂作业是课堂教学活动体系的重要构成“部件”之一，也是课堂教学进程中不可或缺的重要环节之一。常言道，基础不牢，地动山摇。磨刀不误砍柴工。宁愿将准备活动坐在最前面。课堂作业目标意图是否鲜明、锤炼特性是否凸显、内涵意义是否深远，需要教师切实做好“预设”活动，准备工作，扎实做实做优课堂作业内容的设计“工程”。近年来，新课改成为学科教学活动的“总遵循”，教学改革成为学科教育的“主旋律”，科学设计课堂作业，助推教学进程，成为初中数学教师教学教研的重要“课题”之一。
一、凸显温故特性，巩固数学知识素养
课堂作业应该服务、服从于课堂教学活动。教师设置的课堂教学内容、实施的教学手段、设定的教学环节，都为了让学习对象的数学知识素养、解决问题技能经验等，得到有效的锻炼和切实的巩固。课堂作业作为课堂教学活动体系一部分，就必须为学习对象知识技能巩固强化做好服务工作。教育学指出，课堂作业具有鲜明的温故特性，能够帮助学习对象切实巩固所学知识和技能。因此，教师在初中数学作业设计时，应发挥课堂作业在巩固强化数学知识素养方面的温故特性，认真做好教材的研析工作，吃透教材，抓住教与学的重点和难点，并将重难点以典型案例的形式，融入和渗透在所设计的课堂作业内容之中，让初中生在解决作业案例中，进一步巩固强化所学知识，进一步理解掌握知识内涵，提升数学知识素养。如在“垂直”课堂作业设计时，教师抓住该节课教材的重点：“会用作图工具画垂线，并掌握垂线（段）性质内容”，学习的难点：“从实际生活中感知垂线的性质以及体会点到直线的距离的意义”，以及根据以往新知讲授时初中生的掌握实际，设计了“填空题：1.过一点有且只有 直线与已知直线垂直，2.画一条线段或射线的垂线，就是画它们 的垂线，3.直线外一点到这条直线的 ，叫做点到直线的距离”、“如图所示，直线AB、CD、EF交于点O，OG平分∠BOF，且CDEF，∠AOE=70°，求∠DOG的度数”等案例，让初中生在感知、解决作业案例进程中，强化对新知内涵要义的认知程度和掌握程度和深度，进一步提高初中生的数学知识素养。
二、凸显层次特性，兼顾不同学生主体
学生是课堂教学活动中最为活跃的关键因素。作为社会存在个体，学生受自然环境、社会环境以及自身条件等方面的影响和制约，个体之间的智力发展、解析水平以及技能素养等存在距离和差距。教育发展学指出，学生个体差异性客观存在，教师应科学施教，有效缩减，促进整体进步。而笔者发现，少部分初中数学教师课堂作业脱离学生主体，所设计作业内容难易层次不明显，递进性不强，解析要求过高或过低，大大降低了课堂作业的教学功效。这就要求，教师设计作业，首先要坚持“以生为本”的理念不动摇，从学生中来，到学生中去，联系学生学习实际，贴合学生学习实情，设计出既面向全体学生，又兼顾中后进学生群体的作业内容，在层次分明、难易递进的课堂作业中，为每一学生提供发展时机，推进初中生不同程度进步。值得注意的是，课堂作业设计的案例题型以及解题要求，正好遵循和符合因材施教，因生而异的教学原则，教师在设计过程中要联系学生，深刻运用。
三、凸显探究特性，注重学习能力锤炼
培养学习对象良好的学习技能和数学素养，是新课改下初中数学学科课堂教学亘古不变的永恒“主题”，也是当前初中数学教师所肩负的重要职责。学生完成数学作业的过程，也就是将探究、分析、概括、推理等数学学习技能学以致用的践行过程。课堂作业，既要基于教材内容要义，又要高于教材目标要求，设置的数学课堂练习案例要具有探究特性，探索特点，有助于初中生将数学知识、解析技能运用到案例解答之中，设计的作业案例具有探索功能，利于学生知识内容的升华和拓展，同时，锻炼和培养初中生数学学习能力和素养。
总之，课堂作业设计是一个系统工程，是课前预设活动的重要部分，需要设计者充分考虑多方面教学因素，科学设置，精心布局，深刻发挥出课堂作业积极教学功效，让课堂作业成为教师和学生共同前进的“阶梯石”。
【参考文献】
[1]褚明妍.创新作业设计，让学生最大限度发展[J].教育艺术，2011年08期
关键词： 立体几何 培养 类比推理
开普勒说：“我珍惜类比胜于任何别的东西，它是我最可依赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何中是最不可忽视的。”科学家都这么重视，我们就更不应该忽视。
由于平面几何和立体几何（以下简称立几）在研究对象和方法、构成图形的基本元素方面是相同或相似的，因此在立几教学中对两者进行类比是研究它们性质的一种非常有效的方法，是立几教学和学习中不可缺少的基本能力。在具体问题的解决过程中运用类比推理，既能建立知识间的相互联系，又能发现良好的解题方法，从而很好地提高解题效率，进而培养学生的创新思维。
为了对两者进行类比，我们可以在它们的基本元素之间建立类比关系。
一、平面几何的线――立体几何的线、面（位置关系）
在平面几何中由定理“同垂直于一条直线的两条直线平行”类比到立体几何中有以下几个结论。
二、平面几何中的线段――立体几何中的线段、面积
例1：在平面几何中由矩形的对角线满足L=a+b类比到空间，在长方体中，长方体的对角线满足L=a+b+c。（图1）
例2：（图2）点P为斜三棱柱ABC-ABC的侧棱BB上一点，PMBB交AA于M，PNBB交CC于N。（1）求证：CCMN。（2）在任意三角形DEF中由余弦定理：DE=DF+EF-2DE•EFcos∠DEF拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明。
解：（1）略。
（2）在斜三棱柱ABC-ABC中有S=S+S-2SScosα（其中α为平面CCBB与平面CCAA所组成的二面角）。证明略。
例3：在平面几何中，由勾股定理：“设ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB+AC=BC。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积之间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则。”
（答案：S+S+S=S）分析：让学生由三角形的性质通过类比推理得到三棱锥的性质。
三、平面几何中的面积――立体几何中的体积
例4：如图3，有面积关系：=•，则图4有体积关系。
（答案：=••）
类比推理是一种非逻辑的思维形式，一方面它能导致人们作出新的判断和预见，另一方面这种新的判断和预见也可能是错误的。
如：在平面几何中有“如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角互补或相等”。类比到立体几何中的二面角，有如下结论：如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角相等或互补。上述结论显然是错误的。
如图5，在正方体ABCD-ABCD中，二面角D-BB-C与二面角A-AD-C的两个半平面分别垂直，但这两个二面角既不相等又不互补。由此可见，对于类比得到的结论不论其正确与否，都要辩证地看待，既不盲从，又不一概否定。这样才能使学生的类比推理能力稳步地得到培养和提高。
参考文献：
［1］［美］R•柯，H•罗宾著.左平，张饴慈译.I•斯图尔特修订.什么是数学：对思想和方法的基本研究（增订版）.复旦大学出版社，2005.05.
［2］宛军民.高中数学基础知识及常见规律.中山大学出版社，2007.07.