时间：2022-04-03 16:49:54
教学目标：
1、经历验证三角形面积计算公式的过程，理解并能正确运用公式解决实际问题。
2、在经历猜想、验证、实践与应用的过程，灵活运用数学学习的方法，培养自主学习和创新的意识。
3、培养学生积极探索，勇于发言的学习精神，学会与他人合作交流，获得积极的数学学习情趣。
教学重点：掌握三角形面积的计算方法，正确解决实际问题。
教学难点：理解三角形面积计算公式的推导过程。
教具准备：
多媒体课件，三角形的纸片，剪刀等。
教学过程：
一、创设情景，导入新课。
课件展示情景图
一号蟹池平面示意图 二号蟹池平面示意图
你能提出什么问题？筛选问题。
1、怎样求三角形的面积呢？
2、平行四边形的面积可以转化成学过的图形（长方形）求面积，三角形能不能也转化成学过的图形求面积呢?
二：构建新知。
1、三角形能不能转化成学过的图形求面积呢？
2、你有什么好办法来验证你的猜想呢？
下面，你可以独立思考，也可以同桌合作，还可以小组交流，利用手中的学具，看看能不能把三角形也转化成我们学过的图形，从而求出它的面积。
3、谁愿意到前面的展台演示一下。
生：
（1）用两个完全一样的直角三角形拼出一个平行四边形。
（2）用两个完全一样的锐角三角形拼出一个平行四边形。
（3）用两个完全一样的钝角三角形拼出一个平行四边形。
【设计意图：让学生动手实践，培养了生的动手能力，使生在实践操作中体会2个完全一样的三角形与拼出的平行四边形直观上的联系。】
4、看一看（1-3）拼出的这些平行四边形，与原来的三角形有什么关系？
你从中得出一个什么结论？
（1）每个三角形的面积是拼出的平行四边形面积的一半。
（2）三角形的底和高也就是拼出的平行四边形的底和高。
5、用一个三角形能不能转化为以前学习过的图形呢？
课件演示：
（1）通过割补和旋转平移将三角形转化为学过的长方形。
长方形的面积= 长••宽
三角形的面积= 底••高÷2
（2）通过割补和旋转平移将三角形转化为学过的平行四边形。
平行四边形的面积 = 平行四边形的底••平行四边形的高
三角形的面积 = 三角形的底••三角形的高÷2
【设计意图：充分利用现代化的教学手段，让生形象地感受割补和旋转平移的数学方法在学习中的运用。】
6、三角形的面积公式怎么表示呢？
三角形的面积= 底×高÷2
用字母表示 s＝ah÷2
7、迁移训练。课本P31、3
高= 底=
强调：三角形的底=面积••2÷高 三角形的高=面积••2÷底
8、解决课前的情景问题。
（1）1号蟹池的面积是多少？
（2）2号蟹池每平方米产蟹1.5千克，今年能产多少千克蟹？
【设计意图：
通过解决课前的情景问题，让生灵活运用所学知识解决数学问题，渗透“学以致用”的思想。】
三：迁移训练。
1、课本P31、5
教学目标
（一）教学知识点
1．等腰三角形的概念．
2．等腰三角形的性质．
3．等腰三角形的概念及性质的应用．
1．经历作（画）出等腰三角形的过程，从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点．
2．探索并掌握等腰三角形的性质．
（三）情感与价值观要求
通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．
教学重点
1．等腰三角形的概念及性质．
2．等腰三角形性质的应用．
教学难点
等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．
教学方法
探究归纳法．
教具准备
师：多媒体课件、投影仪；
生：硬纸、剪刀．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，并且能够作出一个简面图形关于某一直线的轴对称图形，还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？
[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．
[师]那什么样的三角形是轴对称图形？
[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．
[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．
Ⅱ．导入新课
[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．
作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连结AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．
[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．
[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本P138探究中的方法，剪出一个等腰三角形．
……
[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．
[师]有了上述概念，同学们来想一想．
（演示课件）
1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．
2．等腰三角形的两底角有什么关系？
3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？
4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？
[生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．
[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．
[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．
[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．
[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．
[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴．
[师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察．
[生齐声]它们是同一条直线．
[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．
[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．
[师]很好，大家看屏幕．
（演示课件）
等腰三角形的性质：
1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．
[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．
（投影仪演示学生证明过程）
[生甲]如右图，在ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，因为
所以BAD≌CAD（SSS）．
所以∠B=∠C．
[生乙]如右图，在ABC中，AB=AC，作顶角∠BAC的角平分线AD，因为
所以BAD≌CAD．
所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=∠BDC=90°．
[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范．下面我们来看大屏幕．
（演示课件）
[例1]如图，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，
求：ABC各角的度数．
[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．
[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到
∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，
再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．
再由三角形内角和为180°，就可求出ABC的三个内角．
[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A设为x的话，那么∠ABC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷．
（课件演示）
[例]因为AB=AC，BD=BC=AD，
所以∠ABC=∠C=∠BDC．
∠A=∠ABD（等边对等角）．
设∠A=x，则
∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．
于是在ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°．
在ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．
[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识．
Ⅲ．随堂练习
（一）课本P141练习1、2、3．
练习
1．如下图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．
答案：（1）72°（2）30°
2．如右图，ABC是等腰直角三角形（AB=AC，∠BAC=90°），AD是底边BC上的高，标出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC的度数，图中有哪些相等线段？
答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC，BD=DC=AD．
3．如右图，在ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数．
答：∠B=77°，∠C=38.5°．
（二）阅读课本P138～P140，然后小结．
Ⅳ．课时小结
这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．
我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．
Ⅴ．课后作业
（一）课本P147─1、3、4、8题．
（二）1．预习课本P141～P143．
2．预习提纲：等腰三角形的判定．
Ⅵ．活动与探究
如右图，在ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．
求证：AE=CE．
过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质．
结果：
证明：延长CD交AB的延长线于P，如右图，在ADP和ADC中
ADP≌ADC．
∠P=∠ACD．
又DE∥AP，
∠4=∠P．
∠4=∠ACD．
DE=EC．
同理可证：AE=DE．
AE=CE．
板书设计
§14．3．1．1等腰三角形（一）
一、设计方案作出一个等腰三角形
二、等腰三角形性质
1．等边对等角
2．三线合一
三、例题分析
四、随堂练习
五、课时小结
六、课后作业
备课资料
参考练习
一、选择题
1．如果ABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（）
A．某一条边上的高;B．某一条边上的中线
C．平分一角和这个角对边的直线;D．某一个角的平分线
2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（）
A．80°B．20°C．80°和20°D．80°或50°
答案：1．C2．C
二、已知等腰三角形的腰长比底边多2cm，并且它的周长为16cm．
求这个等腰三角形的边长．
解：设三角形的底边长为xcm，则其腰长为（x+2）cm，根据题意，得
2（x+2）+x=16．
关键词：三角形中位线；设计思路；教学过程；板书设计；课后反思
作者简介：王雪枫，任教于甘肃省兰州市第四中学。
授课班级：甘肃省兰州市第四中学九年级（5）班
授课教材：义务教育课程标准实验教科书《数学》（北师大版）九年级上册第三章《证明（三）》第一节平行四边形（第三课时）。
一、设计思路
（一）教材分析
本课时所要探究的三角形中位线定理是学生以前从未接触过的内容。因此，在教学中通过创设有趣的情境问题，激发学生的学习兴趣，注重新旧知识的联系，强调直观与抽象的结合，鼓励学生大胆猜想，大胆探索新颖独特的证明方法和思路，让学生充分经历“探索—发现—猜想—证明”这一过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用，同时渗透归纳、类比、转化等数学思想方法。通过本节课的学习，应使学生理解三角形中位线定理不仅指出了三角形的中位线与第三边的位置关系和数量关系，而且为证明线段之间的位置关系和数量关系（倍分关系）提供了新的思路，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。
（二）学情分析
本班学生基础知识比较扎实，接受新知识的意识较强，对于本章有关平行四边形的性质和判定的内容掌握较好，但知识迁移能力较差，数学思想方法运用不够灵活。因此，本节课着眼于基础，注重能力的培养，积极引导学生首先通过实际操作获得结论，然后借助于平行四边形的有关知识进行探索和证明。在此过程中注重知识的迁移同时重点渗透转化、类比、归纳的数学思想方法，使学生的优势得以发挥，劣势得以改进，从而提高学生的整体水平。
三）教学目标
1.知识目标
1）了解三角形中位线的概念。
2）掌握三角形中位线定理的证明和有关应用。
2.能力目标
1） 经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，进一步发展推理论证能力。
2） 能够用多种方法证明三角形的中位线定理，体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法。
3）能够应用三角形的中位线定理进行有关的论证和计算，逐步提高学生分析问题和解决问题的能力。
3.情感目标
通过学生动手操作、观察、实验、推理、猜想、论证等自主探索与合作交流的过程，激发学生的学习兴趣，让学生真正体验知识的发生和发展过程，培养学生的创新意识。
（四）教学重点与难点
教学重点：三角形中位线的概念与三角形中位线定理的证明.
教学难点：三角形中位线定理的多种证明。
&n
bsp; （五）教学方法与学法指导
对于三角形中位线定理的引入采用发现法，在教师的引导下，学生通过探索、猜测等自主探究的方法先获得结论再去证明。在此过程中，注重对证明思路的启发和数学思想方法的渗透，提倡证明方法的多样性，而对于定理的证明过程，则运用多媒体演示。
（六）教具和学具的准备
教具：多媒体、投影仪、三角形纸片、剪刀、常用画图工具。
学具：三角形纸片、剪刀、刻度尺、量角器。
二、 教学过程
1.一道趣题——课堂因你而和谐
问题：你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？这四个全等三角形能拼凑成一个平行四边形吗？（板书）
（这一问题激发了学生的学习兴趣，学生积极主动地加入到课堂教学中，课堂气氛变得较为和谐，课堂也鲜活起来了。）
学生想出了这样的方法：顺次连接三角形每两边的中点，看上去就得到了四个全等的三角形．
如图中，将ade绕e点沿顺（逆）时针方向旋转180°可得平行四边形adfe。
问题：你有办法验证吗？
2.一种实验——课堂因你而生动
学生的验证方法较多，其中较为典型的方法如下：
生1：沿de、df、ef将画在纸上的abc剪开，看四个三角形能否重合。
生2：分别测量四个三角形的三边长度，判断是否可利用“sss”来判定三角形全等。
生3：分别测量四个三角形对应的边及角，判断是否可用“sas、asa或aas”判定全等。
引导：上述同学都采用了实验法，存在误差，那么如何利用推理论证的方法验证呢？
3.一种探索——课堂因你而鲜活
师：把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．（板书）
问题：三角形的中位线与第三边有怎样的关系呢？在前面图1中你能发现什么结论呢？
（学生的思维开始活跃起来，同学之间开始互相讨论，积极发言）
学生的结果如下：de∥bc，df∥ac，ef∥ab，ae=ec，bf=fc，bd=ad，
ade≌dbf≌efc≌def，de=bc，df=ac，ef=ab ……
猜想：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。（板书）
师：如何证明这个猜想的命题呢？
生：先将文字问题转化为几何问题然后证明。
&
nbsp; 已知：de是abc的中位线，求证：de//bc、de=bc。
学生思考后教师启发：要证明两条直线平行，可以利用“三线八角”的有关内容进行转化，而要证明一条线段的长等于另一条线段长度的一半，可采用将较短的线段延长一倍，或者截取较长线段的一半等方法进行转化归纳。
（学生积极讨论，得出几种常用方法，大致思路如下）
生1：延长de到f使ef=de，连接cf
由 ade≌cfe（sas）
得 adfc 从而 bdfc
所以，四边形dbcf为平行四边形
得 dfbc
可得 debc （板书）
生2：将ade绕e点沿顺（逆）时针方向旋转180°，使得点a与点c重合，
即 ade≌cfe，
可得 bdcf，
得 平行四边形dbcf
得 dfbc 可得 debc
生3：延长de到f使de=ef，连接af、cf、cd, 可得 adcf
得 dbcf
得 dfbc
可得 debc
生4：利用ade∽abc且相似比为1：2
即
可得 debc
师：还有其它不同方法吗？
（学生面面相觑，学生5举手发言）
4.一种创新——课堂因你而美丽
生5：过点d作df//bc交ac于点f
则 adf∽abc
可得
又 e是ac中点
可得
因此 ae=af
即 e点与f点重合
所以 de//bc 且 de=bc
（笔者事先只局限于思考利用平行四边形及三角形相似的性质解决问题，没想到学生的发言如此精彩，为整个课堂添加了不少亮色。）
师：很好，好极了！这种证法在数学中叫做同一法，连老师也没想到。太棒了，大家要向生5学习，用变化的、动态的、创新的观点来看问题，努力去寻找更好更简捷的方法。
5.一种思考——课堂因你而添彩
问题：三角形的中位线与中线有什么区别与联系呢？
容易得出如下事实：都是三角形内部与边的中点有关的线段．但中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．（学生交流、探索、思考、验证）
6.一种照应——课堂因你而完整
问题：你能利用三角形中位线定理说明本节课开始提出的趣题的合理性吗？（学生争先恐后回答，课堂气氛活跃）
7.一种应用——课堂因你而升华
做一做：任意一个四边形，将其四边的中点依次连接起来所得新四边形的形状有什么特征？
（学生积极思考发言，师生共同完成此题目的最常见解法。）
已知：四边形abcd，点e、f、g、h
分别是四边的中点，求证：四边形efgh是平行四边形。
证明：连结ac
e、f分别是ab、bc的中点，
ef是abc的中位线，
ef∥ac且ef=ac，
同理可得：gh∥ac 且gh=ac，
efgh，
四边形efgh为平行四边形。（板书）
其它解法由学生口述完成。
8.一种引申——课堂因你而让人回味无穷
> 问题：如果将上例中的“任意四边形”改为“平行四边形、矩形、菱形、正方形”，结论又会怎么样呢？（学生作为作业完成。）
9.一句总结——课堂因你而彰显无穷魅力
学生总结本节内容：三角形的中位线和三角形中位线定理。（另附作业）
三、板书设计
三角形的中位线
1.问题
2.三角形中位线定义
3.三角形中位线定理证明
4.做一做
5.练习
6.小结
四、课后反思
第一课时
教学内容：
义务教育课程标准实验教科书（西南师大版）四年级（下）第51~54
页主题图、例1、例2及课堂活动第1~3题，练习十第1～5题。
教学目标:
知识与技能：通过观察、折、画等操作活动，认识三角形的特征和特性。
过程与方法：能指出三角形的边、角、顶点，会辨认出三角形的底与高。
情感、态度与价值观：理解三角形的特性，把生活经验数学化。
教学重点：
建立三角形的概念，认识三角形各部分的名称，知道三角形的底和高。
教学难点：
学会画出在方格纸中三角形底上的高。
教学准备：
例1中三角形物体的图片，三角形纸，1副三角板，用木条做1个四边形框架和1个三角形框架。
教学过程：
一、主题引入，激发兴趣
出示第51页主题图，观察后回答：图中哪些物体形状是三角形的？根据学生回答贴出例1
三角形物体的图片。
教师：既然生活中有这么多三角形。那我们就一起来研究有趣的三角形。（板书课题：认识三角形）
二、探究新知，
认识三角形
1、认识三角形的特征
（1）教师：观察这些三角形，（隐去实物，显示出三角形图形）它们有哪些共同特征？
（让学生充分观察，自己总结出特征）
归纳：三角形有三条边，三个顶点，三个角。
（2）教师：对照图形，谁能用自己的语言来说说看，什么样的图形叫做三角形呢？
引导学生得出：由三条线段围成的图形叫做三角形。（板书）
（3）操作：第53页课堂活动第1，2题，按要求在钉子板上围三角形，并相互检查。
（4）判断哪些图形是三角形？
练习十第1题
2、认识三角形的特性
（1）在日常生活中，桥梁支架，自行车车身，为什么要设计成三角形形状的呢？我们来做个实验？学生分组活动：
①用木条做一个四边形和1个三角形框架。
②拉三角形的框架和四边形的框架。
你发现了什么？小结：只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状、大小也就完全确定。
三角形不容易变形的这种性质就是三角形的稳定性。
（2）讨论，怎样才能使这个四边形的形状和大小不改变呢？验证：
现在老师在这个四边形的对角处再加一段木条，再请一个同学上来拉拉看，会发现什么？（不变形）这又是为什么？
（3）教师：找找你们周围哪些地方应用了三角形的稳定性。
（4）练习第54页第4题。
3、认识三角形的底和高
（1）
先看书第53页例2后，拿出锐角三角形纸片，按书上的方法折一折，折完后互相检查。
检查方法：折痕的一端过三角形的顶点，另一端所指的边被分为两段，折后这两段要重合。
（2）
观察折后的三角形是什么三角形？说明折痕与三角形的一条边是什么关系。
（3）
打开被折三角形，介绍高和底。折痕就是三角形的高，与折痕相交的这条边就是三角形的底。在折的三角形中标出底和高。
（4）
我们还可以用三角尺画三角形的高。教师示范画高的方法。
（5）
学生观察讨论：三角形的底和高是什么关系？（三角形的高与底互相垂直）
三、巩固新知，拓展提高：
1、第54页练习十第2，3，5题。
2、第53页课堂活动第3题。
四、课堂总结：
教师：通过这节课的学习，你对三角形有哪些新的认识？
教学后记：
第二课时
教学内容：
义务教育课程标准实验教科书（西南师大版）四年级（下）第55~57页的例3、例4及课堂活动，练习十一第1～3题。
教学目标：
知识与技能：经历探索三角形3条边之间关系的过程，体验用实验操作探索规律的方法。
过程与方法：通过操作了解“三角形两边之和大于第三边”，并能根据这个关系解决简单的实际问题。
情感、态度与价值观：培养学生乐于探究、乐于实验的科学精神，感受到实验操作成功的喜悦感。
教学重点：发现任意三角形的两边和大于第三边。
教学难点:在实验操作中探索三角形3条边之间的关系。
教学过程：
一、猜想引入：
教师：三角形是由3条线段围成的图形，任意给你3条线段（小棒），是不是都能围成一个三角形呢？（学生猜测）
教师：这节课我们将要探索三角形3条边之间的关系。（板书课题）
二、探究新知，找寻规律：
1、教学例3：（初探三角形三条边的关系）
教师：每人用3根、5根、4根同样长的小棒摆三角形，看在摆的过程中你能发现什么？
教师巡视，指导，提示学生摆时每两根小棒要首尾衔接，相离相交都不对。
（学生在猜测与交流中发现4根同样长的小棒无论如何都围不成三角形）
教师：为什么4根同样长的小棒围不成一个三角形，而用3根，5根同样长的小棒能围成一个三角形呢？
2、教学例4：（探索三角形三条边的关系）
（1）
要求：4人一组开展量、算等操作活动，讨论三角形三边存在怎样的关系？
①每个人任意画一个三角形，并量出每条边的长。（可用mm作单位）
②4人依次把自己所画三角形的各边长记录在下表中。
③计算并填空。
三角形（1）三角形（2）三角形（3）三角形（4）每边长任意两边之和
与第三边比较
（2）
讨论。
①结合量、计算、比较，你有什么发现？（三角形两边之和大于第三边）
②解释为什么用4根同样长的小棒围不成一个三角形？而用3根，5根同样长的小棒能围成一个三角形呢？
③3根小棒的长分别是10
cm、4
cm
和18
cm，用它们能围成一个三角形吗？为什么？
三、巩固新知，拓展提高：
1、课堂活动第1题。（注意：答案不止一种）
学生在练习中发现任意两边之和等于或小于第三边，就可以肯定这3条边不能围成一个三角形。
2、练习十一第1~3题。
四、课堂总结：
教师：你这节课学到了什么重要的数学知识？采取了哪些方法学到的？你最大的收获是什么？
教学后记：
第三课时
教学内容：
义务教育课程标准实验教科书（西南师大版）四年级（下）第55~58页例5，课堂活动第2题，练习十一第4～8题和思考题。
教学目标：
1、经历探索三角形内角和等于180°的过程，体验用猜想、验证等活动探索数学规律的方法。
2、通过猜想、验证了解“三角形内角和等于180°”，并能根据这个结论解决简单的实际问题。
3、培养学生乐于探究、乐于实验的科学精神，感受实验操作成功的喜悦。
教学重点：探索和发现三角形内角和等于180°
教学难点：在操作中了解三角形的内角和等于180°，验证三角形的内角和都等于180°
教学准备：
学生准备：剪刀、6个大小不同的三角形。（纸做的）
教学过程：
一、激趣引入：
1、创设情景
（1）“啪——”的一声响起，学校花架上的一块三角形玻璃被突然飞来的小球击碎了，一下子围上了许多同学。小勇看着地上的碎玻璃着急地说：“是我不小心打碎的，我想赶紧配上一块，可是，玻璃已经被打碎，尺寸大小都不知道，该怎么办，真急死人！”同学小聪的眼睛盯上了其中的一块碎玻璃，高兴地说：“我有办法了，只要拿一块玻璃，就可以去配上与原先完全相同的玻璃。”同学们，你认为应该拿哪一块呢？（2）学生先独立思考片刻后，再请学生口答：应该拿哪一块呢？为什么？
学生1：拿第一块，因为那块最大。
学生2：第一块虽然最大，但是沿着一个角的两条边可以无限延长，玻璃的形状、大小就会发生变化，无法确定。
（结合学生回答，电脑演示，使学生直观地感知到，拿只有一个角的这块玻璃去配，其形状大小是不确定的，另外的两个角大小可以发生变化）
学生3：选择有两个角的那块，因为这块有两个角，延长两条边会相交于一点，就能得到与原来形状大小相同的玻璃。
（结合学生回答，电脑进行演示：延长两条边相交于一点，形成一个三角形，并使形成的角与原来的角重合，让学生直观地感知，相邻两个角确定了，它们的夹边也就确定了，得到的三角形与原来三角形完全相同，第三个角也就被确定了。）
2、揭示课题
教师：从这里可以看出，三角形中两角确定了，另一个角也就确定了。说明三角形中的三个内角中蕴含了某种规律，到底是什么规律呢？今天我们就一起来研究三角形的内角和。
板书：三角形的内角和。
二、探究新知：
教师：猜一猜：三角形的内角和与三角形的大小有关系吗？
1、讨论验证的方法教师：现在我们拿出准备的三角形，先想一想自己用什么方法来验证猜想是否正确？
小组讨论，再全班交流。（可能有下面的方法）
方法：
（1）量角。
（2）把三个内角对折或剪、撕下来拼合成一个平角。
（3）通过图形的转化得出结论。
（演示：两全等的直角三角形拼成一个长方形或正方形）我们知道正方形（或长方形）的内角和是360°，同学们现在有什么发现？（等于把正方形的内角平均分成2份，360°÷2=180°）
2、学生自主操作，验证猜想（课件出示探究任务）
（1）
选择你喜欢的方法试着验证一下。
（2）
把你的想法和操作过程与小组同学进行交流。
3、学生操作，教师巡视
当发现学生采用“量”的方法完成后，一定要激励学生再想一想有没有其他方法来检验自己的假设。
提示：还可以通过折、剪、撕，把三个内角拼成一个角进行观察。
4、汇报交流
学生：（量角）量出三角形三个角的度数。——测量有误差，实际结果可能在180°左右。（板书出三类三角形内角度数的加法算式）
教师：为什么要测量3个三角形？（要验证所有的三角形的内角和是不是180°，而所有的三角形有无数个，三角形按角分，一共有3类，我们就一类一类地进行验证）教师出示3类三角形粘贴在黑板上。
教师：刚才，同学采用的是“量”的方法。
还有没有其他方法呢？（对折或者撕下三角形的3个角拼成一个平角。）
及时请该生上台展示拼的过程。
教师：同学们用折一折、拼一拼的方法验证了直角三角形的内角和是180°（在直角三角形下面板书：180°），现在请大家也采用折一折、拼一拼的方法来验证其他两类三角形的内角和是否都是180°学生验证完后进行展示，同时教师分别在两类三角形下面板书：180°教师用课件完整地展示三类三角形拼成平角的过程。
得出结论：三角形内角和是180°。
5、取任意两个三角形进行比较再判断（对的打“√”，错的打“×”）
（1）右边三角形的面积大于左边三角形的面积。（
）
（2）因为右边三角形的面积大于左边三角形的面积，所以右边三角形的内角和也大于左边三角形的内角和。（
）
6、知识回顾：
现在，你能回答“为什么要拿有两个角的那块碎玻璃去配”了吗？（因为三角形的内角和是180°，其中两个角被确定了，另一个角也就被确定了，取其中有两个角的碎片，延长两条边得到的三角形就与原来的三角形相同。）
三、实践应用，巩固提高：
1．第56页课堂活动第2题。
小结：根据“三角形的内角和是180°”这一规律，如果知道三角形中两个角的度数，就能求出第三个角的度数。
2．第57~58页练习十一第4~8题和思考题。
四、课堂总结：
今天你有什么收获？(学了什么内容？是用什么方法验证的？)
五、拓展升华：
1.掌握相似三角形的性质定理2、3.
2.学生掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理2、3来解决问题.
3.进一步培养学生类比的教学思想.
4.通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美
二、教法引导
先学后教，达标导学
三、重点及难点
1.教学重点：是性质定理的应用.
2.教学难点：是相似三角形的判定与性质等有关知识的综合运用.
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪、胶片、常用画图工具.
六、教学步骤
[复习提问]
叙述相似三角形的性质定理1.
[讲解新课]
让学生类比“全等三角形的周长相等”，得出性质定理2.
性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比.
∽，
同样，让学生类比“全等三角形的面积相等”，得出命题.
“相似三角形面积的比等于相似比”教师对学生作出的这种判断暂时不作否定，待证明后再强调是“相似比的平方”，以加深学生的印象.
性质定理3：相似三角形面积的比，等于相似比的平方.
∽，
注：(1)在应用性质定理3时要注意由相似比求面积比要平方，这一点学生容易掌握，但反过来，由面积比求相似比要开方，学生往往掌握不好，教学时可增加一些这方面的练习.
(2)在掌握相似三角形性质时，一定要注意相似前提，如：两个三角形周长比是，它们的面积之经不一定是，因为没有明确指出这两个三角形是否相似，以此教育学生要认真审题.
例1已知如图，∽，它们的周长分别是60cm和72cm，且AB=15cm，，求BC、AB、、.
此题学生一般不会感到有困难.
例2有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1：200和1：500，求甲地图与乙地图的相似比和面积比.
教材上的解法是用语言叙述的，学生不易掌握，教师可提供另外一种解法.
解：设原地块为，地块在甲图上为，在乙图上为.
∽∽且，.
.
学生在运用掌握了计算时，容易出现的错误，为了纠正或防止这类错误，教师在课堂上可举例说明，如：，而
[小结]
1.本节学习了相似三角形的性质定理2和定理3.
2.重点学习了两个性质定理的应用及注意的问题.
知识结构
重点、难点分析
相似三角形的性质及应用是本节的重点也是难点．
它是本章的主要内容之一，是在学完相似三角形判断的基础上，进一步研究相似三角形的性质，以完成对相似三角形的定义、判定和性质的全面研究．相似三角形的性质还是研究相似多边形性质的基础，是今后研究圆中线段关系的工具．
它的难度较大，是因为前面所学的知识主要用来证明两条线段相等，两个角相等，两条直线平行、垂直等．借助于图形的直观可以有助于找到全等三角形．但是到了相似形，主要是研究线段之间的比例关系，借助于图形进行观察比较困难，主要是借助于逻辑的体系进行分析、探求，难度较大．
教法建议
1.教师在知识的引入中可考虑从生活实例引入，例如照片的放大、模型的设计等等
2.教师在知识的引入中还可以考虑问题式引入，设计一个具体问题由学生参与解答
3.在知识的巩固中要注意与全等三角形的对比
（第1课时）
一、教学目标
1．使学生进一步理解相似比的概念，掌握相似三角形的性质定理1．
2．学生掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理1来解决问题．
3．进一步培养学生类比的教学思想．
4．通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美
二、教法引导
先学后教，达标导学
三、重点及难点
1．教学重点：是性质定理1的应用．
2．教学难点：是相似三角形的判定1与性质等有关知识的综合运用．
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪、胶片、常用画图工具．
六、教学步骤
［复习提问］
1．三角形中三种主要线段是什么？
2．到目前为止，我们学习了相似三角形的哪些性质？
3．什么叫相似比？
［讲解新课］
根据相似三角形的定义，我们已经学习了相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
下面我们研究相似三角形的其他性质（见图）．
建议让学生类比“全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线相等”来得出性质定理1．
性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分的比都等于相似比
∽，
，
教师启发学生自己写出“已知、求证”，然后教师分析证题思路，这里需要指出的是在寻找判定两三角形相似所欠缺的条件时，是根据相似三角形的性质得到的，这种综合运用相似三角形判定与性质的思维方法要向学生讲清楚，而证明过程可由学生自己完成．
分析示意图：结论∽（欠缺条件）∽（已知）
∽，
BM=MC，
∽，
以上两种情况的证明可由学生完成．
［小结］
本节主要学习了性质定理1的证明，重点掌握综合运用相似三角形的判定与性质的思维方法．
1．掌握相似三角形的性质定理2、3．
2．学生掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理2、3来解决问题．3．进一步培养学生类比的教学思想．
4．通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美，全国公务员共同天地
二、教法引导先学后教，达标导三、重点及难点1．教学重点：是性质定理的应用．
2．教学难点：是相似三角形的判定与性质等有关知识的综合运用．四、课时安排1课时五、教具学具准备投影仪、胶片、常用画图工具．六、教学步骤习提问］叙述相似三角形的性质定理1．［讲解新课］让学生类比“全等三角形的周长相等”，得出性质定理2．性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比．∽，同样，让学生类比“全等三角形的面积相等”，得出命题．“相似三角形面积的比等于相似比”教师对学生作出的这种判断暂时不作否定，待证明后再强调是“相似比的平方”，以加深学生的印象．，全国公务员共同天地性质定理3：相似三角形面积的比，等于相似比的平方．∽，注：（1）在应用性质定理3时要注意由相似比求面积比要平方，这一点学生容易掌握，但反过来，由面积比求相似比要开方，学生往往掌握不好，教学时可增加一些这方面的练习．（2）在掌握相似三角形性质时，一定要注意相似前提，如：两个三角形周长比是，它们的面积之经不一定是，因为没有明确指出这两个三角形是否相似，以此教育学生要认真审题．例1已知如图，∽，它们的周长分别是60cm和72cm，且AB=15cm，，求BC、AB、、．
此题学生一般不会感到有困难．例2有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1：200和1：500，求甲地图与乙地图的相似比和面积比．
教材上的解法是用语言叙述的，学生不易掌握，教师可提供另外一种解法．
解：设原地块为，地块在甲图上为，在乙图上为．
∽∽且，．
．
学生在运用掌握了计算时，容易出现的错误，为了纠正或防止这类错误，教师在课堂上可举例说明，如：，而
［小结］
1．本节学习了相似三角形的性质定理2和定理3．
2．重点学习了两个性质定理的应用及注意的问题．
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2015）11A-0068-01
数学学科的抽象性、系统性、逻辑性、复杂性等特点，让很多学生学习起来都感觉很吃力。为了培养学生的思维能力，引导学生掌握数学思想、数学方法，强化数学意识，提升数学能力，教师可以引入案例教学的策略，以案例的具体性、步骤性、思维性等特点，将抽象的知识、规律、方法、思想，应用到具体的数学案例中，以此加强学生的理解、记忆，让学生更好地学习和应用。
一、引入分析案例，激发创新思维
分析是思维活动的过程，也是学生之间、师生之间思维碰撞的过程。在初中数学学习过程中，为了引导学生进一步掌握数学概念、理论、方法与规律，教师可以合理、有效地引入分析案例，激发学生的创新思维，让学生在分析中理清思路，建构较为完善的知识网络，并分析得出更为完善的知识与规律。
如在教学人教版七年级数学上册《整式》时，为了提升学生的学习兴趣，鼓励学生深入研究，强化数学思维与能力，笔者引入“杨辉三角”这一分析案例，鼓励学生拓展整式的相关知识。结合“杨辉三角”这一案例，学生将杨辉三角的一部分画出来，展开研究与分析，了解到杨辉三角第n行是（a+b）n展开式的系数，n行中的第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和，第n行n个数之和为2n-1，还有其他很多规律，并且杨辉三角与斐波拉契数列有很紧密的关系。通过结合多媒体辅助课件，引导学生交流分析，探索数学的奥秘，激发其创新思维。
二、引入研究案例，强化合作交流
研究性和探索性学习方案是数学学习中较常用的两种方式，针对某一课题或知识点，教师要鼓励学生自主研究与探索，发现它涉及哪些知识与方法，并查阅资料、理清思路、研究分析和总结归纳，在研究过程中，强化合作交流，进一步完善学生的知识网络。研究性案例的引入，一般需要选取学生感兴趣的研究性课题，与初中数学知识紧密相连，鼓励学生研究理论知识，发现数学规律和方法。
如在教学人教版八年级数学上册《等腰三角形》相关知识以后，教师为了引导学生深入探究等腰三角形的应用，了解三角形中边与角的相关知识，引入了研究性课题“三角形中边与角的关系”，鼓励学生结合等腰三角形知识，展开研究分析。学生通过查阅资料、动手画图、交流合作，运用辩证性思维方法，结合计算机软件工具，得出三角形中大边对大角、等边对等角相关规律，边与角的对等和不等关系可以互换。
三、引入探索案例，挖掘学生潜力
探索与发现是获得知识、学习方法的关键途径，没有自主探索过程，学生就不可能真正地体验到数学知识的来源与发展，也就不可能真正领悟数学思想与方法，更不可能具备将数学知识应用到生活中的能力。因此，教师要引入探索案例，鼓励学生运用现有知识与技术，进一步探索分析，运用数学方法与思想来解决数学问题，掌握数学规律，发现数学奥秘。
如在教学人教版八年级数学上册《多边形及其内角和》相关知识时，为引导学生深入学习三角形与多边形相关知识，教师以“多变形内角和探究”为主题，展开问题探索过程。师问：结合面积计算的推导方法，四边形可以分割成2个三角形，梯形可以分割为平行四边形与三角形，那么多边形是否也可以分割呢？由此，学生组成几个小组展开探索分析，动手画图、建模，结合已有知识，了解到多边形可以划分为（n-2）个三角形，由此，学生得出其内角和为180（n-2）度。这样，教师结合探索案例，引导学生自主思考与分析，挖掘了学生的潜力，完善了学生的能力。
四、引入实践案例，提升应用能力
为了提升学生的应用意识与能力，在初中数学学习过程中，教师应多鼓励学生参与实践应用，将知识应用于生产、生活实践，提升学习数学的兴趣，完善各方面的能力。引入实践案例，将数学与生活应用实例相结合，进一步鼓励学生发现知识的奥秘和规律。
如在教学人教版九年级数学上册《旋转》时，教师引入实践案例，借助多媒体展示世界上美轮美奂的一些图案，并引导学生欣赏和交流这些图案中图形旋转、中心对称、轴对称的相关运用。之后展开学生自主设计图案的实践活动，以公益图案、奥运会图案、学校标志图案等为主题，展开图案设计的自主实践过程，提升学生的数学应用意识与能力。
[关键词]预设与生成；贴近学情；随学而动
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）08-0045-01
关于教学预设与生成关系的话题，今天再度提出来，旨在探讨在小学数学教学中教师如何科学地把握课堂的去向，如何更好地贴近教学预设，如何激发学生的潜能，调动学生学习的积极性，让学生在课堂上活力四射。
【案例一】师：这里有2个完全一样的三角形，你能把它们拼成什么图形？
生：平行四边形，长方形，大三角形。
师：对于拼成的长方形，你发现了什么？
生1：它是由2个直角三角形拼成的，一个直角三角形的面积是长方形面积的一半，能够得出三角形的面积=底×高÷2。
师：从拼成的平行四边形中能得到这个结论吗？
生2：可以的，平行四边形的面积=底×高，所以一个三角形的面积=底×高÷2。
师：大家都很聪明，现在会计算三角形的面积了吗？
【案例二】师：我们已经知道长方形、正方形、平行四边形等面积的计算方法，你还想计算谁的面积呢？
生：梯形，圆形，三角形……
师：很好！今天我们就先研究三角形的面积。你打算怎样研究呢？
生1：把长方形沿对角线剪开，得到2个完全一样的三角形，所以三角形的面积等于长方形的面积的一半，长方形的长是三角形的底，长方形的宽是三角形的高，得出一个三角形的面积=底×高÷2。
生2：我们是把2个完全一样的锐角三角形拼在一起，发现能拼成一个平行四边形。平行四边形的面积=底×高，那么一个三角形的面积=底×高÷2。
【思考】
1.预设应贴近学情
教学预设是什么？是剧本，是脚本，是师生教学活动的基本框架。从上述两个案例中不难发现，这两份“剧本”的定位是不一样的，因此在推进“剧情”发展的过程中呈现的态势也大相径庭。
案例一中，教师给定学具，让学生在既定的框架中操作，这样的实践只能算是经过，而不是经历，更谈不上学生感知的积累和视野的拓展，学生很难获得深刻的感悟。案例二则给予学生很多的机会，学生既可以在剪纸中，也可在折纸中、拼图中获得知识。不一样的实践，会有不一样的感受，在这种学习情境中，学生的感知必定丰富。
从学情入手，从引导学生反思处着力，教学A设就会为有效学习助力，成为快乐学习的基本保障。
2.预设应关注探究
精心设计是教好数学的基本保证，精简设计是教学智慧的体现。因此，教学预设要更多地关注学生的探究活动，让学生在解读一个个数学现象中发现知识的真谛。
在案例二中，教师的放手体现了教学的智慧，教学预设不再是教学的紧箍咒，它加速了学生智慧火花的碰撞，有利于学生探索热情的再现。这种灵活多变的、富有弹性的教学掌控，让数学教学流淌着智慧的灵光，更为学生的自主学习、创造性学习提供了坚实的平台。
案例一的教学，从表面上看，学生能够动手实践了，在活动中也有发现了，但教师提供的实践素材是固定的，是单一的，这样一来，学生的选择是有限的，思维的空间也是狭窄的，学生被动执行操作指令的痕迹是明显的。这样的学习不是真正的自主学习和合作学习。
3.生成应充满灵气
学生是人，有自己的情感、思考和待人接物的态度。因此，教学应在预设的架构上进行适度、适宜、灵活的删减，使之更加符合课堂教学，贴近教学走向，让课堂充满和谐与灵动。
如案例二的后续还出现了这样的对话“我有一个新发现，把三角形的顶角部分剪下来后可得到梯形，再沿梯形的中位线剪开，也能拼成平行四边形！”“不对！你剪下的那部分放哪了呢？”……学生有直觉思维，它是一种灵感，也是一种创新。因此，给学生充分交流的机会，让争辩使学生的感知越加清晰，让交流使学生的思维得以碰撞。
学会倾听是教师的本能，如果教师只盯住教案的走向，那么学生精彩的争辩我们永远也看不到，也许学生的创新、求异思维也会湮灭。把学生看成人，一个鲜活的人，不仅是教学的本质体现，更是教学机智的再现。
一、追问式理答方式
所谓的追问，也就是指在学生完成问题的回答后，再进一步追加提问，以期能够有效提高学生回答正确的效率或者是进一步提升问题回答的水平和效果。当然，在大多数时候，教师如果需要强调此问题的重要性，或者是引导学生从局部认识跨越到整体认识，寻找更完整的答案时，就需要追加好几个问题。追问式理答常用的方法有让学生解释答案的来源，让学生举例说明等。
例如，在教学“三角形的内角和”时，教师就可以利用以下的方法进行理答。
师（拿出两个大的直角三角板）：请大家看一下老师手上的这两个三角形，你们能立刻讲出左手和右手拿的三角形每一个角的度数吗？
生1：左手拿的三角形是两个45°，一个90°的角；右手拿的是30°、60°和90°的角。
师（出示不规则的三角形）：看来，刚刚的问题难不倒各位聪明的同学。但是接下来，请同学们再看看老师手上的这个三角形，你们能立刻讲出它三个角的度数吗？
生2：老师，请给我来量一量吧。（通过测量，这位学生找到了问题的答案。经过三次的提问，学生此时隐约发现了一个规律）
师（提示）：请大家把这个三角形三个角的度数加起来看看是多少。
生（经过运算后）：180°。
师（设疑追问）：刚刚我们所碰到的那三个三角形，它们的内角和都是180°，请同学们想一想，是不是所有三角形的内角和都是180°？会不会有一种三角形，它的内角和不是180°的呢？
……
通过这样智慧的理答，教师就能将问题层层抛出，让学生逐一去思考。由于教师的设疑，学生能进行自主的探索，发现新的问题，并通过动手实验来验证真理。这样的教学就能清晰地构建出数学知识链条，有效地促进教学活动的开展。
二、“探问”与“转问”相结合的理答技巧
所谓的探问，就是指对同一学生进行连续的发问。一般情况下是在学生回答不正确或不完整时使用。探问的方式主要有从多角度就同一问题提问，对原问题进行分解后逐一发问，提供回答线索，问一个与原问题相关的新问题等。这种理答方式对于成就动机很强的学生非常有效，他们受到挑战会更加努力学习。探问和追问有利于学生专注于学习活动，改善学生思考方式，教学中可以大量使用这种理答方式。
例如，教学“异分母分数加减法”时，教师首先复习“同分母分数加减法”的计算法则，并让学生计算+、－、－。然后，教师请三位学生到黑板上来运算，学生很轻易就算出了正确的答案了。这时，教师转入探究新知而进行设问：“这几道题，有的分数不是最简分数，你能不能把这个算式改写成最简分数相加减？”此时，三位学生在黑板上把自己最后的答案简化为最简分数，但是中间那位学生将得数算错了。这时，教师就要运用智慧来化解这位学生面临的尴尬场面，因为如果在学生当众出错的时候教师没有处理好，就会给学生留下心理阴影，久而久之，学生就会对数学学习失去兴趣。这时，教师可采取转问式的理答方式：“看来，这位同学踩到了老师精心布局的陷阱里面了，看看哪一位‘英雄’能拔刀相助，替他解围呢？”此语一出，他的同桌箭步向前，将正确答案写在了黑板上。成功为答错题的学生解围后，教师可以继续巧设疑问：“下面，我们就来玩一个‘攻关’游戏。题目越来越难，因此，如果谁答错了就被淘汰，只有‘高手’才能留在台上。如果台上的同学都不能答对，可以‘打救助热线’，看看台下的哪一位同学能够提供正确的答案。”接着教师就可以导入新课的问题：“异分母分数能不能直接相加减？为什么？怎么办？”问题的提出与回答，既能巧妙地沟通同分母分数加减法与异分母分数加减法之间的联系，又能缓解答错题目的学生的尴尬，激发学生的思考。这样基于学习基础展开的探究，无痕地渗透了“转化”的数学思想。当一个学生因为粗心大意没有回答正确时，教师可给出正确答案并继续教学，而不应花过多时间纠正一个错误的答案。
三、小结
数学教学是数学活动的教学。如何在数学教学中培养学生的思维能力，养成良好思维品质是教学改革的一个重要课题。柯朗在《数学是什么？》一书中阐明：“数学作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志，缜密周详的推理以及对完美境界的追求。”数学课堂教学中对学生发展思维的培养体现了数学课程的情感态度与价值观取向,鼓励学生从角度去思考数学问题，对发展学生的探究、创新精神非常必要。
发散思维即“求异思维”，指思维活动发挥作用的灵活与广阔程度，是对一问题产生多种可能的答案而不是单一正确答案的思维。在思维活动中，体现从一点出发沿着多方向达到思维目标。发散思维包括横向思维、逆向思维及多向思维，它的基本特征是：流畅性——能在短时间内根据已有的信息表达较多的概念或规律，反应迅速；变通性——思维方向灵活变化，举一反三，触类旁通，思维不受某种模式所局限，能提出超常的构想或新观点；独创性——用前所未有的新角度，新观点观察分析问题，思维方法新颖独特，对事物的处理或判断表现出独特的见解。
因为发散性思维对同一个问题，从不同的方向，不同的侧面，不同的层次，横向拓展，逆向深入，采用探索、转化、变换、迁移、构造、组合、分解等手法，开启学生心扉，常常得出新颖的观念与解答，所以，培养学生的发散思维能力是创新教育的需要。而现在大多数学生的发散思维能力不强，思维定势，方向单一，很少提出新方法和独特见解。究其原因，一方面是因为学生不能灵活掌握所学的知识，另一方面是因为平时缺乏有针对性的训练。作为数学教师应竭力把自己的课堂变成激发学生潜能，提高发散思维能力的场所。
创设问题情境，设计开放性题目
设计问题是数学教学中的关键环节之一，问题得以解决则是数学能力的集中体现。许多数学课堂教学中存在着给学生一些经过处理过的规则问题和现成的标准解法，淡化或忽视了对问题的加工过程，教学中学生听起来似显得轻松，但数学能力并没有得到提高。我们应精心设计开放性试题，培养学生发散思维。
开放性问题的题目条件是不完备的，解题策略也是多种多样，结论不确定，不惟一，其显著特征是答案的多样性和多层次性，要求学生通过观察、比较、分析、综合甚至猜想，展开发散性思维，运用已学过的数学知识和数学方法，经过必要的推理，最终得出正确的结论。
在学习了七年级下册第五章《三角形》中全等三角形的判定后，我设计了这样一道开放性题目：
例1 只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，你如何处理和安排这三个条件，使两个三角形全等。你还可以设计几个方案？
经过酝酿、讨论、分析，学生各显神通，得出如下方案。方案⑴：若这个角是这两边的夹角方案（边角边）； 方案⑵：若这个角的对边恰好是两边中的小边； 方案⑶：若这个角的对边恰好是这两边中的大边； 方案⑷：若这两边相等（等腰三角形）； 方案⑸：若这个角是直角（直角三角形）；方案⑹：若这个角是钝角；方案⑺：若这两个三角形都是锐角三角形；方案⑧：若这两个三角形都是钝角三角形；方案⑨：若这个角是这两个三角形的公共角，它所对的边为其中一已知边；方案⑩：若这两边中有一边为两个三角形的公共边，另一边为已知角的对边；以这十种方案为条件之一，则这两个三角形全等。
这样的训练可以让学生充分展开想象的翅膀，思维的流畅性得以培养，使学习能力和思维能力得到同步提高。
师生共同营造敢想、敢问、敢说的氛围，培养学生的兴趣和热情，促进学生主动探究
在课堂教学中努力激发学生动脑提问的积极性，鼓励学生敢于生疑发问，对开发学生求异思维能力关至关重要。对学生提出的问题和观点，不管是简单的还是复杂的，是幼稚的还是地超越数学要求的，甚至游离于数学之外的，教师都应该适宜地给予鼓励与肯定，尤其对具有导向性、启发性、富有思维价值的疑问，要及时给予表扬，并组织学生讨论，创造良好的生疑发问气氛。教学经验表明，主动探究的精神常常发生于兴趣，热情是兴趣产生的催化剂，培养学生发散思维的创新精神，需要激发学生的学习热情。我们不能对学生提出的问题和观点置若罔闻，或挖苦斥责，这样就会影响学生的学生情绪并挫伤学生生疑发问的积极性，压抑学生思维的发展。
九年级上册《一元二次方程》有这样一个问题：
例3 在一块长16米，宽12的矫形荒地上建造一个花园，使花园所占面积为荒地面积的一半。请你给出设计方案。
学生的积极性调动后，可能有以下多种答案：
方案1：矩形中含矩形（此为常规的设计，两种情况）图1。
方案2：矩形中“十字形”设计（两种情况）图2。
方案3：矩矫形中有三角形（两种情况）图3。
方案4：矩形中有菱形（两种情况）图4。
方案5：矩形中有圆形，图5。
方案6：矩形中有椭圆形，图6。
方案7：矩形中有月牙形，图7。
方案8：矩形中有扇形，图8。
方案9：花园为条形，图9。
方案10：花园为梯形，图10。
等等。
学生借助数形结合的思想，既体现了数学中的美，又充分地展开了想象，使发散思维得到了张扬。
三、注重一题多解，培养学生的独创性
一题多解可以促进学生思维活动多向化，不局限于单角度，不受一种思路的束缚，对一问题寻求多样化解决，谋求多种可能。在教学过程中，有目的地精选典型的例题、习题、练习，鼓励学生积极思考，引导他们多角度，多层次地观察思考问题，寻找解题途径。通过一题多解，调动学生学习的主动性和积极性；并通过总结比较出较好的解题方法，培养学生思维的灵活性和创造性。
在九年级数学《一元二次方程》教学时，选择如下一个问题作为一个巩固知识、训练学生思维的复习题：
例3 已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数。
首先让学生明确两个相等关系：⑴“和”等于8；⑵“积”等于9。接着启发学生思考怎样用、在哪个步骤用这两个关系。然后明确指出本题有多种解法，让学生探讨，合作交流，鼓励学生积极探索。结果收集到以下四种解法：
1、两个相等关系都用来列方程：设两数分别为x 、y，则x+y=8，xy=9,解方
程组。
2、设时用关系⑴，列时用关系⑵：设一个数是x,则另一个数为8－x,得方程x(8－x)=9,解一元二次方程。
3、设时用关系⑵，列时用关系⑴：设一个数是x，则另一个数为9/x,得方程x+9/x=8，解方式方程。
4、由根与系数的关系可知，这两个数就是一元二次方程x2－8x+9=0的两根。
通过一题多解的训练，让学生动脑、动口、动手，促进了学生的发散思维。
四、注重一题多变、变式训练，培养学生的变通性
根据发散思维的特点，我努力挖掘教材的内涵，积极寻找思维的发散点，精心备好每一节课，在课堂上运用变式教学，帮助学生牢固地、灵活地掌握所学的数学系、知识。课堂教学中，把一些题目的条件和结论适当改变得出新题目，由一题变多题，通过演变，可使学生时时处在一种愉快的探究知识的状态中，从而充分调动学生的积极性，启发学生的思维，提高学生的解题能力和数学素质。
例4 甲、乙两站间的路程为360km。一列慢车从甲站开出，每小时行驶48km,一列快车从乙站开出，每小时行驶72km,两车同时开出，相向而行，多少小时相遇？
①〔条件变式〕甲乙两车同时从A地出发，甲的速度是48km/时，乙的速度是72 km/时，它们背向而行，几小时相距800km？
②〔条件变式〕甲乙两站间的路程为360km。慢车每小时行驶48km,快车每小时行驶72km,两车同时开出，同向行驶，慢车在前，出发多长时间后快车追上慢车？
③〔结论变式〕甲乙两站相距360km，慢、快两车分别从甲乙两站同时相向而行，3小时相遇，快车每小时比慢车多行驶24km，求慢车速度。
④〔背景变式〕甲乙两队合作360个零件，甲队每小时做72个，乙队每小时做48个，甲队先做25分钟后乙队加入合做，问：甲、乙两队合做几小时完成任务？
进行一次适当的变式训练，学生就相当于做了一套“思维体操”，它不仅能巩固知识，开阔学生视野，收到举一反三、触类旁通的效果，还能活跃学生思维，提高学生的应变能力。
五、开拓思路，诱发思维的发散性
思维的发散性，表现在思维过程中，不受一定解题模式的束缚，从问题个性中探求共性，寻求变异，多角度、多层次去猜想、延伸、开拓，是一种不定势的思维方式。发散思维具有多变性、开放性的特点，是创造性思维的核心。
在讲授八年级数学（下）证明（一）时，有这样一道例题：
例5 如下图，直线a，b被直线c所截，且∠1+∠2=180°，求证：a∥b
我要求学生用所学过的知识用多种方法证明此题
方法一：
∠1+∠2=180°（已知）
∠1=∠3（对顶角相等）
∠2+∠3=180°（等量代换）
a∥b（同旁内角互补，两直线平行）
方法二：
∠1+∠2=180°（已知）
∠1+∠4=180°（1平角=180°）
∠2=∠4（等量代换）
a∥b（同位角相等，两直线平行）
方法三：
∠1+∠2=180°（已知）
∠1+∠5=180°（1平角=180°）
∠2=∠5（等量代换）
a∥b（内错角相等，两直线平行）
“做数学”是新课程倡导的一个重要理念.它强调学生学习数学是一个现实的体验、理解和反思的过程，强调以学生为主体的学习活动对学生理解数学的重要性，认为学生的实践、探索与思考是学生理解数学的重要条件.“做数学”不仅是指简单的数学操作活动，而且是学习者自我探索、自我构建、自我发现、自我创造的一种动态过程.
“课程标准”要求我们在实际课堂教学中应“激发学生独立思考和创新的意识，让学生感受理解知识产生和发展的过程”，“培养学生的科学精神和创新思维能力，重视培养学生收集、处理信息的能力，获取知识的能力，分析和解决问题的能力，语言文字表达能力以及团结协作和社会活动的能力”.新课程对数学教学要求的一个最突出的特点是遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历“做数学”的过程.
二、案例描述与分析
“三角形全等的条件SSS”是全等教学中比较特别的一个案例，在这一节的学习中，学生第一次接触“交轨法”，比较难以理解.在几个不同阶段的教学中，我尝试不同的方法，下面是3次不同的教法和反思.
【案例1】循规蹈矩“灌数学”
①引出课题：请学生按下面的方法，用刻度尺和圆规画DEF,使其三边分别是3cm,4cm,6cm.
画法:
1. 画线段EF=3cm.
2.分别以E、F为圆心，4cm、6cm长为半径画两条圆弧，交于点D.
3.连接DE、DF.
DEF就是所求的三角形.把你画的三角形与其他同学所画的三角形进行比较，它们互相重合吗？
②探讨学生所画图形，不同学生所画三角形只要三边相等，它们都能彼此重合，然后给出三角形全等的条件之一：一般地，有三边对应相等的两个三角形全等.（简写成SSS.）
③根据SSS，解释了三角形的稳定性.
④例题讲解和练习.
⑤小结.
【分析：这一内容以三角形的机械画法引入.也有教师直接把三角形的稳定性拿出来先讲，拿出一个事先准备好的三角形，三边固定就不能再动了.这样教师直接地、生硬地把概念“抛”给了学生.尤其是“画法”，更像是“从天而降”；而为什么学生要按照这样的方式画三角形，学生却是不明所以.虽然这也让学生亲身经历了自己动手的过程，但还是没给学生独立探索的时间和自由想象的空间，看似经历数学知识发生、发展的全过程，其实不然.】
【案例2】兴趣盎然“学数学”
①师：现在黑板上有一条长为3cm的线段，请问以这条线段为边你能画出多少个三角形？
生：（脱口而出）无数个.
②师：如果我再给你一条4cm的线段，分别以这两条为边又可画几个三角形呢？
（学生拿出作图工具自己动手操作.教师利用几何画板演示动态变化过程.）
③师：若再给你一条6cm的线段，分别以这三条为边的三角形又能画几个？
（学生拿出作图工具自己动手操作.教师通过几何画板的动画演示，在角放大或缩小的过程中只能闪过一条6cm的线段.）
生：（观察、探索后发现）只能画1个.
④猜想：当三角形的三边固定时，这样的三角形只能画一个.
⑤SSS公理的给出.一般地，有三边对应相等的两个三角形全等.（简写成SSS.）
⑥提出三角形的稳定性.
【分析：案例2有两个优点：一是引入多媒体辅助教学（几何画板），通过动画演示，直观、形象、生动地描绘了整个过程，激发了学生的学习兴趣；二是SSS公理的给出不是教师直接硬塞的，而是学生自己通过观察、猜测、并画图检验的过程概括出来的.但也存在着问题，计算机的演示虽然使得结论清楚明白，但学生仍旧是被动地接受.另外在学习时间上，很难准确把握，因为学生动手操作、探索需要一定的时间（尤其是当给出3条线段时如何画出三角形），之后教师动画演示的过程又需时间，这样在上课时间上难以把握，再加上此课容量较大，公理提出后还有配套的例题和练习，以及三角形稳定性的提出及其在实际生活中的应用，最后还有“尺规作图”――如何画一个已知角的平分线又是本课的一个难点，因此在时间上难以把握. 】
【案例3】返璞归真“做数学”
①（教师准备教具：三类不同颜色的硬纸棒,后面端点处贴有双面胶.上课前3分钟分到每个学生的手里.）
师：现在老师手上有1捆3种不同颜色的纸棒,有趣的是每种颜色的纸棒都是一模一样的.同学们,你能分别以这3种颜色为边组成一些三角形吗?
②学生活动:每位学生把老师事先准备好的3条纸棒进行组合,组成一些三角形.
③师:你们所组成的三角形会有什么特点呢?以小组为单位,把组内同学所组成的三角形重合,看看是否能够完全重合?结果发现都一样.之后把各组的三角形放一起比较,结果发现也都能完全重合.（学生观察、猜想：三边固定时,所组成的三角形都全等. ）
④活动：SSS公理的给出，一般地，有三边对应相等的两个三角形全等.（简写成SSS.）
⑤然后以刚才每位学生所摆的三角形为例，引出三角形的稳定性.
