时间：2022-06-23 22:39:41
一、不等式应用题
不等式应用题是指列出不等式组表示实际问题中的不等关系数学模型。初中数学的不等式应用题中经常出现至少、至多、不超过等关键词。对于不等式应用题的求解可以按：审、设、找、列、解、答这六个步骤来求解。这要求首先审题，将已知条件分离出来，然后找到“不超过”和“不少于”这些关键条件来确定是不等式应用题。找到合适的数量关系设未知数，最后直接列出不等式组求解。虽然不等式应用题只要区分比较关系，如大小、长短等，但是不等式应用题在实际生活中的应用会比较广泛，所以这种题型出现的概率也很大，那么就要求熟悉不等式应用题。
二、方程应用题
方程应用题是指将实际问题转换为需要列方程来求解的数学问题。方程应用题的突破口就是要找到等量关系，只要明确题目中的等量关系就可以将等量关系转换为方程，然后列方程求解。而题设中的等量关系又需要分析题目已知条件的数量关系，这样分析下来整个方程应用题就简单明了。下面通过例题来详细说明方程应用题的求解过程。
例 某商品原售价50元，因销售不畅，10月份降价10%，从11月开始涨价，12月份的售价为64.8元。求（1）10月份这种商品的售价是多少元？（2）11、12月份两个月的平均涨价率是多少？
分析：题中给出了商品的售价，然后10月、11月和12月份售价就和商品原本的售价存在数量关系，问题（1）要求10月份的售价，设其为x元，通过列方程求解。而问题（2）中平均涨价率联系10月份售价和11、12月份售价，所以可以直接令涨价率为y，列出方程求解即可得出。
解：（1）设10月份售价为x元，
列方程50（1-10%）=x，
解得 x=45元。
（2）令11、12月份涨价率为y，
则由数量关系可得方程
45 （1+y） （1+y）=64.8，
求解可得
y=0.2（y=-2.2不符合条件舍去）
方程应用题是初中数学中最基本的应用题，由这种方程应用题可以衍生一次函数应用题和二次函数应用题，它们的题型相似，只是在题目难度上和理解的角度有些不一样。但是基础的方程应用题意义相对更大。
三、一次函数应用题
一次函数应用题是指题目中牵涉的数量关系可以由线性的二元一次方程来表示的应用题，这类型的题目未知量不像方程应用题只有一个。当题设中出现两个未知数，而且都要求解时，一元方程显然已经不能达到解决问题的目的。此时找到能表示两个未知量之间的线性关系的一次函数，才能求解。总体来说，方程应用题上只找到已知量和未知量的数量关系就行，一次函数在此基础上还要找到两个未知量的数量关系，对于初中学生来说有一定的难度。不过只要掌握方法认真审题，其实方程应用题和一次函数应用题的解法比较类似。
四、二次函数应用题
二次函数应用题属于初中数学应用题中的难点，本身初中数学接触的二次函数内容就不多，要将二次函数的原理结合实际情况来解决问题，这对于学生而言本身难度就非常大。由于二次函数表示方式包括一般式、顶点式、交点式、双根式和三点式。所以二次函数的应用题也是变化最多的，所以审题要仔细，还要能将题设中的已知条件联系到二次函数的知识，通过设立合适的变量才能达到解决问题的目的。
关键词：初中数学教学；数学学习方法；数学建模
初中生的思维已经开始逐步以抽象逻辑思维为主导方式，但思维中的具体形象成分还是会起到决定性的作用。一方面，初中生的思维经常受到具体形象成分的影响，对许多问题的理解和剖析还是会习惯性地关注表面的直接关系，或者难以突破感观经验的限制而达到对现象本质的了解。另一方面，初中生一般求知欲旺盛，好奇心强，兴趣广泛，思维活跃，想象奇特而丰富；也是由于思维太活跃，有很大一部分学生的注意力不容易集中，上课经常开小差。
在教学中，我经常有意识地讲些同学们喜闻乐见的事引起同学们的注意力，把学生的思想唤回课堂上来；同时注意培养学生的自学能力，注重激发学生学习数学的兴趣，重视对学生学习方法的指导，注意引导学生如何去学习数学，逐步掌握学习数学的一些基本方法。
在课堂上，首先明确本节课的学习要求，然后引导学生如何去“听”课，其包括以下几个方面。一是引导学生学会“看”，就是上课要注意观察教师解答题目时的书写格式，如何才能写出既简单明了又能说明问题的解答过程。二是引导学生学会“听”，即指学生直接用感官接受知识时，应让学生在听的过程中明确每节课的学习目的和学习要求，懂得知识的形成过程，理解教师对新课的重点、难点的剖析（尤其是预习中的疑问），听例题解法的思路及应用了什么数学思想方法。三是引导学生善“思”，即指学生会并勤于思考问题。没有思考，就发挥不了学生的主体作用。在课堂上对于老师（或同学）的讲解，学生不能仅仅是听得懂，还要经常思考为什么可以这样做。四是引导学生学会“记”，即记要点、记疑问、记易错点、记解题思路和方法、记老师所补充的或大家总结出来的规律性的知识内容。最后是要做好课后复习。
我在长期课堂教学实践中，一点一滴地渗透这些学习方法，取得了良好的教学效果。例如在进行人教版九年级下“实际问题与二次函数”的探究1的教学时，事先让学生进行了课前预习，教师进行学习方法的引导，学习效果很好。
探究1：某商品现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件：每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
这是一个求最值的问题，需要建立数学模型才能解决这个商业活动中经常遇到的问题。考虑到学生的实际学习情况是：学生知道售价、进价的意思，懂得涨价和降价的含义；学生的原有知识有：利润=总售价-总成本，学习过二次函数的图像和性质，以及不等式组的解法和应用。但是探究1中涉及的量较多，而我们班的学生又是经过几次筛选后留下来的学习有困难的学生，有相当一部分学生在阅读题目时是看了后面忘了前面。基于这种学习情况，学生们一起制订了预习的计划和目标：1）复习原有的相关知识，例如二次函数的图像和性质，利润的计算方法，以及成本、销售价等概念，不等式组；2）仔细阅读题目，对一些重要的或是难理解的关键字、词要反复推敲，找出题目中的所有已知量；3）明确题目要解决的问题是什么；4）要弄清有几个变量，是哪个变量随着哪个变量的变化而变化；5）找出等量关系。
用两个问题来引入课题：
问题1：某商场的一个品牌的衣服售价是每件60元，进价是每件40元，问这个品牌的衣服每件利润是多少元？
问题2：某商场购进长虹彩电20台，每台进价是1200元，按每台1450元销售，结果全部卖出，这个商场卖彩电盈利多少元？
问题简单，学生很容易得到结果，他们怀着成功的喜悦进入课程学习，课堂气氛一下子就活跃起来。出示探究1的题目，采用填空的形式把难点分散开来对问题进行分析、讨论。
（1）涨价情况：设每件涨价x元，每星期售出商品的利润为y元，则每星期售出商品的利润y随x的变化而变化。因此， 是 的函数。当涨价x元时，每星期少卖 件，实际卖出商品 件；涨价前每件商品利润是 元，实际每件商品利润是 元，实际共获得的利润是 元。自变量x可以是任意实数吗？如果不是，怎样求出x的取值范围？
通过把探究1的难点分解，题目的难度大大降低，由于学生都进行课前预习，这些空大部分学生都能填准确，连平时最懒得思考的同学也能填对几个空。课后有学生感叹说：老师，我觉得这节课的内容很容易学习和掌握，很简单。
求自变量的取值范围是个难点，学生往往得出“0≤x”后就以为完成了对x的取值范围的确定。通过对实际卖出（300-10x）是否可以是负数进行讨论后，大家一致认为商品件数不能是负数，得到300-10x≥0，因此x≤30，由于0≤x与x≤30要同时成立，因此取其公共部分得：0≤x≤30。
设每件商品涨价x元，每星期售出商品的利润是y元，则y=（20+x）（300-10x）（0≤x≤30）。即：y=-10x■+100x+600=-10（x-5）■+850，所以当x= 时，y有最大值，是 。即当涨价 元，定价为 元时，利润最大，最大利润是 元。
在降价的情况下，最大利润是多少？请同学们参考（1）的讨论自己找出答案。我走到学生当中，巡视了一遍，看到绝大部分学生都能模仿涨价时的讨论方法进行填空。
（2）降价情况：设每件降价m元，每星期售出商品的利润P元，每星期售出商品的利润P随m的变化而变化，则 是 函数，当降价m元时，每星期多卖 件，实际卖出商品 件；降价前每件商品利润是 元，实际每件商品利润是 元，实际共获得利润是 元。最后得出降价时每星期的总利润与降价金额的函数关系，完成了从具体到抽象的概括过程，建立了数学模型。这样，学生的数学应用意识得到加强，分析问题和解决问题的能力得到提高，数学思维能力得到发展。学生板书如下：
2002年以来，国际原油价格上涨趋势明显。受国际市场影响，国内油品价格不断攀升，带动了煤炭、电力等能源价格的上升，一定程度上推动了中国商品零售价格指数的升高，这势必会对我国宏观经济产生深远影响。国内外学者对能源价格与一国宏观经济的关系进行了广泛而深入的研究，主要集中在石油价格与GDP(GNP)的关系，石油价格对宏观经济的影响途径。在油价与GDP(GNP)关系方面，早期学者大多发现两者之间存在负向关系。然而，到了80年代中期，伴随着石油价格下降，这种线性的负向关系逐渐变得不显著起来，一些学者开始研究油价与宏观经济活动之间的不对称性。近年来，一些学者开始测量GNP的油价弹性。在石油价格对宏观经济的影响途径方面，一般认为是通过需求层面和供给层面两方面进行传导。从需求层面上看：一方面石油价格的上涨会引起物价上涨，减少人们对其他商品的消费，抑制投资，假如货币当局不能满足货币的同步提高，利率就会有升高的趋势，从而影响总需求；另一方面油价的上升会使收入从石油进口国向石油出口国转移，使石油进口国购买力恶化，影响其国际贸易。从供给层面上看，石油是主要的生产要素，其价格上升将导致生产成本提高，迫使企业缩减生产规模或向能源密集度低的行业转换，这会影响其产出，增加失业率，同时生产成本的提高会产生成本推动型的通货膨胀。如果将成本上升转移给下游产业，会对下游企业生产成本产生压力，导致产出下降。因此油价上涨给各个行业会带来不同程度的影响。Fan等利用一个CGE模型综合研究了国际原油价格对中国GDP、投资、消费以及进出口等因素的影响。综上所述，在一些发达国家已经实证了油价与宏观经济之间存在着一定的联系，那么这种联系在我国是不是也存在？这将成为我们关注的一个重点。本文以中国宏观经济为研究对象，选取适当的指标，构造了向量自回归模型，并通过脉冲响应函数等技术分析了各个经济变量与能源价格之间的互动关系。
一、研究方法与数据来源
（一）向量自回归(VAR)方法在这里我们采用的是向量自回归(VAR)方法。由于VAR模型的运用要求系统中的变量具有平稳性，我们首先要对数据进行单位根检验。在这里选用了ADF方法。以油价时间序列(OILt)为例，ADF检验的基本原理为：其中p为最佳滞后阶数，其确定可采用赤池信息准则(AIC)。原假设为：油价时间序列存在一个单位根，为非平稳序列；备择假设为：油价时间序列不存在单位根，是平稳序列。对于非平稳的时间序列，还需进一步检验其一阶差分的平稳性。VAR模型可以构造如下：如果在对被研究的序列进行平稳性检验时，发现时间序列是同阶单整的，则可以利用JJ检验方法检验序列之间是否存在协整关系。在VAR模型的基础上，我们还可以利用脉冲响应函数对已经建立起来的模型做出解释。脉冲响应函数用于考察来自随机扰动项的一个标准差冲击对内生变量和其未来取值的影响。由于VAR中不同方程的随机误差项之间存在同期相关，需要构造一个正交矩阵将同期相关的冲击项转换为同期不相关的冲击项，在这里我们利用了Pesaran和Shin提出的不依赖于VAR模型中变量次序的广义脉冲方法。
（二）数据来源本文中，我们参照Papapetrou的做法，选择了对工业生产影响较大的燃料动力类购进价格指数。而我们之所以没有采用国际石油市场现货或期货价格，主要是考虑我国油品价格尚未与国际市场完全接轨。根据焦建玲的研究表明，国内汽油价格对原油成本变化的均衡调整力度大约为78.4%，且存在长达四个月的滞后期。对于宏观经济数据，考虑到能源价格与工业的关系相对较密切，我们选择的是工业增加值数据。同时，考虑货币政策的影响，本文引入了利率变量，选用银行一年期整存整取利率，并剔除了利息税和通货膨胀率的影响。出于数据可获得性的考虑，选取的是2000年1月到2010年12月的月度数据。因为利率变量是一个百分数，参考Huang等人的做法，我们把利率的对数定义为log(1+r/100)。同时，我们也考虑了宏观经济的虚拟形式-股票市场的中介作用，选择了上海证券交易所的上证指数的月均收盘价格，并考虑了派息和拆股等因素。
二、结果分析
（一）数据的平稳性检验ADF检验表明除工业增加值为2阶单整序列外，其余变量均为1阶单整变量（见表1）。
（二）滞后阶数的确定通过对滞后阶数1到5的实验，得到其各自的AIC和SC值如表2。经过多次实验，发现AIC当最大滞后期取3时最小，而SC则在滞后一期时最小，因此考虑用LR检验进行取舍。检验的原假设是模型的最大滞后期为1，即p=1，检验统计量其中，l1和l3分别表示p=1和p=3时模型整体的对数似然函数值。在零假设下，该统计量有渐近的2分布，其自由度为32。其检验的相伴概率为1.9*10-6，表明应拒绝原假设，即采用滞后期为3的VAR模型。
(三)模型估计与检验由于上述模型中的四个序列都是I(1)序列，满足进行协整检验的条件。Johansen协整检验结果表明上述四个序列之间存在一个协整关系，表明宏观经济、能源价格和股票市场之间存在着长期稳定的关系。协整关系表达式为：从上述协整关系式可以看出，长期来说，能源价格上涨1%，将对工业增加值增长率有-0.037%的影响，对股票市场有-0.54%的影响。由于通常难以直接根据VAR模型的参数估计结果来判断变量之间的动态关系，因此接下来我们分别采用脉冲响应函数和方差分解来分析变量之间的互动关系。
（四）脉冲响应函数图1是基于上述VAR模型和渐进解析法模拟的脉冲响应函数曲线，横轴代表响应函数的追踪期数，纵轴代表因变量对解释变量的响应程度。在模型中，我们将响应函数的追踪期数设定为12个月。我们重点考虑四个经济变量各自对能源价格一个标准差新息的响应情况和响应路径。对于能源价格的一个标准差扰动(约为能源价格指数上涨1.1个百分点)，利率改变率的反应较为明显，3个月左右达到峰值(上涨0.2个百分点)，5个月左右这种影响基本稳定下来，此时代表利率水平有了一个约为1个百分点的持久的增长。对于能源价格的一个标准差扰动，工业增加值增长率在2个月时，受到的负向影响达到最大，下降了大约0.2个百分点，随后有一个震荡的过程，但是长期来看是趋向于负向收敛的。面对一个标准差能源价格的冲击，股票价格在3个月时，负向影响达到最大，为1个百分点，但是在6个月左右时，这种负向影响就基本消失了。接下来，我们考虑四个经济变量的冲击对能源价格指数的影响。对于利率改变率的一个标准差冲击(约为利率上涨0.5个百分点)，能源价格在4个月时下降达到负向影响最大值，为0.5个百分点，且持续时间较长，1年时残余方差仍为谷值的50%。对于工业增加值增长率的一个标准差冲击(工业增加值增长率上涨3个百分点)，能源价格会有比较小程度的增长，同时这种影响持续时间较长。股票价格上涨5个百分点，三个月以后能源价格有下降的趋势，20个月左右达到负向影响的最大值，为2个百分点。
三、实证讨论
（一）宏观经济和能源价格之间存在着协整关系在本文中，通过加入股票市场和实际利率两个中介变量，我们发现了中国宏观经济和能源价格之间存在着一种长期稳定的相关关系。近期以来不断上涨的能源价格不仅对我国的宏观经济影响较大，更推动了通货膨胀率的上升。本文得到的这种协整关系证明了能源价格对中国宏观经济存在着比较明显的影响，这是对以往文献的一个补充。我们发现，从长期来看，能源价格与工业增长率负相关，即能源价格的上升使宏观经济受到负向影响。2011年WTI油价约为94.88$/barrel，2012年前三个月平均油价上涨约8%，在趋势照常的情况下，油价的上涨给工业增加值带来约5.5万亿元的经济损失。
（二）能源价格的正向波动会推高实际利率，影响工业增长和抑制股票市场价格在认清能源价格与宏观经济长期关系的基础上，我们进一步想知道宏观经济对能源价格波动短期的反应。通过脉冲响应函数，我们看到能源价格的正向波动会提高实际利率，影响工业增长和抑制股票市场价格。能源价格波动在一定程度上提高了实际利率。我国的工业结构中，对能源消费较多的化工、冶炼等行业所占比例较大，其受油价上涨的影响较大。但是随着产业结构的优化和技术的进步，这种影响在长期来看越来越小。股票市场对于能源价格的改变是不完全有效的，存在着“反应不足”的现象。这里，我们发现能源价格的上涨引起了股票市场滞后长度长达5个月的下降。
（三）工业需求和加息对能源价格的影响分析既然能源价格的变动会对工业产值、实际利率和股票市场产生显著的影响，那么上述三者的波动会对能源价格产生什么样的影响呢？通过加息等手段，提高实际利率，对能源价格上涨带来的通货膨胀进行调控，效果是很明显的。这是因为：对消费者来说，高利率一方面改变净储蓄者和净借款者的可支配收入，吸引人们增加储蓄、减少对能源相关产品的消费；另一方面高利率导致资产价格下降，使个人财富减少，制约了消费。对企业来将讲，高利率提高了资本成本，抑制了投资，从而减少了其对能源相关产品的使用。可以预见，未来几年，伴随物价进一步走高，央行还会继续通过加息等货币政策手段稳定通货膨胀预期，维持物价总水平基本稳定。工业增长率的波动对能源价格的影响较小，但是影响时期较长。因此，工业对能源需求的不断提高，是能源价格上涨的一个原因，但是其对价格的推动幅度是很小的，这在一定程度上否定了“国际油价暴涨归因于中国经济增长”这一观点。
四、主要结论与进一步工作通过对结果的分析和实证讨论，可以得到以下几点主要结论：
(一)能源价格、工业增加值、实际利率和股票价格之间存在着一个稳定的长期关系。从长期来看，能源价格的上涨会推动实际利率的上升，并抑制工业增加值的增加。
给定标的资产的信息，研究这个标的资产的衍生证券的价格是经济研究的一个核心问题，假定标的资产遵循布朗运动，运用无套利理论，Black-Scholes公式给了我们一个非常明确的答案，这时候也会产生一个问题，对于标的资产价格变动不做任何假设的话，仅仅使用无套利理论，那么：已知标的资产的K个时刻的价格，由此得出衍生证券一般收益函数，问这个衍生证券价格的最可能的最好的界是多少？
Cox和Ross以及Harrison,Krep曾经证明无套利假设就相当于存在一个可能的分布使得期权价格在分布作用下加倍。由此我们可以构造一个模型。令任意欧式看涨期权的执行价格为k,标的资产的价格为X，则这个看涨期权的价格为：q(k)=Eπ[max(0,X-k)]，其中Eπ[X]=μ，Varπ[X]=σ2，不失一般性的，这个模型可以推广为：
max/minEπ[(x)]
Subject to,Eπ[fi(x)]=qi,i=0,…,n
π(x)≥0 x∈Rm+
其中f0(x)=1，q0=Eπ[f0(x)]=1∫∞0π(x)dx=1，
二、具体模型
已知标的资产n个瞬时时刻（q1,q2,…qn）(q0=1的价格，标的资产的期权收益函数为(x)，需找出这个期权价格的最可能的最好的界值。以看涨期权为例。
（一）依据半正定方法求出的界值
设欧式看涨期权的执行价格为k，我们通过解决如下问题从而得到这个看涨期权价格的一个最好的上界。
maximizeEπ[max(0,X-k)]=∫∞0max(0,x-k)π(x)dx
subjecttoEπ[Xi]=∫∞0xiπ(x)dx=qi i=0,…,n(1)
π(x)≥0
根据线性规划理论，设y=(y0,y1,…，yn是问题（1）中的各个约束条件的对偶随机矢量，我们可以得到（1）的对偶形式:
Minimize ∑nr=0yiqi
Subjectto∑nr=0yrxr≥max(0,x-k) x∈R+(2)
根据强对偶理论，问题（1）的解析值与问题（2）的值相等。这样以来，通过解决问题(2)就能得到我们所期望的一个精确的上界，接下来，将证明问题（1）可以转化为半正定最优化问题求解，而半正定最优化问题的求解无论是从理论还是实践我们都有很好的求解方法。
首先引出一些命题。
命题a多项式g(x)=∑2kr=0yrxr满足g(x)≥0当且仅当存在一个半正定矩阵，使得，X=[Xij]i,j=0,…k,使得yr=∑i,j∶i+j=rxij,r=0,…2k, x≥0（3）
命题 b多项式g(x)=∑nr=0yrxr满足g(x)≥0，对于所有的x∈[0,a]都成立，当且仅当存在一个半正定矩阵X=[xij]i,j=0,…,n，使得
0=∑i,j∶i+j=2l-1xij，l=1,…,n
∑lr=0yrk-rl-rar=∑i,j∶i+j=2lxij，x≥0 l-0,…n（4）
命题c多项式g(x)=∑nr=0yrxr满足g(x)≥0，对于所有的x∈[a,∞]都成立，当且仅当存在一个半正定矩阵X=[Xij]i,j=0,…n，使得
0=∑i,j∶i+j=2l-1xij l=1,…n
∑kr=lyrrlar=∑i,j∶i+j=2lxij，x≥0 l=0,…n（5）
命题d多项式g(x)=∑kr=0yrxr满足g(x)≥0，对于所有的x∈[a,b]都成立，当且仅当存在一个半正定矩阵X=[xij]i,j=0,…n，使得
0=∑i,j∶i+j=2l-1xij l=1,…n
∑lm=0，∑k+m-lr=myrrmk-rl-mar-mbm=∑i,j∶i+j=2lxij,x≥0 l-0,…n（6）
下面的定理将证明问题（1）可以转为半正定最优化的问题，通过解决最优化的问题而得到问题（1）的解。
定理1 给定标的资产股票的n个瞬时(q1,……，qn)的价格，q0=1，这个股票的欧式看涨期权的执行价格为k，则这个期权的最好的上界可以通过解决下面的半正定最优化问题而得到。
Minimize ∑nr=0yiqi
Subject to 0=∑i,j∶i+j=2l-1xij,l=1,…n
∑lr=0yrk-rl-rkr=∑i,j∶i+j=2lxij l=0,…n
0=∑i,j∶i+j=2l-1zij l=1,…n
(y0+k)+(y1-1)k+∑kr=2yrkr=z00(7)
(y1-1)k+∑kr=2yrrkr=∑i,j∶i+j=2zij
∑kr=lyrrlkr=∑i,j∶i+j=2lzij l=2,…n
证明：记问题（2）的可行性区域为：
∑nr=0yrxr≥0 for all x∈[0,k]
(y0+k)+(y1-1)x+∑nr=2yrkr≥0 for all x∈[k,∞]
应用命题b,c我们又可以把问题（2）转为半正定最优化问题（7）。
考虑一个期权的收益函数如下：
(x)=0(x),x∈[0,k1]
1(x),x∈[k1,k2]
d-1(x),x∈[kd-1,kd]
d(x),x∈[kd,∞]（8）
其中收益函数r(x),r=0,1,…d是多项式，不失一般性的，任何期权的收益都可以用（8）来逼近，在这种情况下，对偶问题将转化为如下：
Minimize ∑nr=0yiqi
Subjectto∑nr=0∑nr=0yrxr≥0(x),x∈[0,k1]
1(x),x∈[k1,k2]
d-1(x),x∈[kd-1,kd]
d(x),x∈[kd,∞]（9）
下面的定理将表明半正定最优化的办法无论是理论上还是实践上都是最有效的。
定理2 给定标的资产的某些瞬时值，令期权的分段多项式收益函数为(x)如（8）,那么它的最好的最有可能的上界可以通过解决一个半正定最优化的问题而得到。
问题（9）的约束集可以表示为：
∑nr=0yrxr≥i(x) x∈[ki-1,ki]，i=1,…,d+1
其中k0=0,kd+1=∞，令i(x)=∑r=0,…，miairxr，不失一般性的假设mi≤n，那么问题（9）的约束集可以记为:∑mir=0(yr-air)+∑nr=mi+1yrxr≥0,x∈[ki-1,ki], i=1,…,d+1
对于间隔[k0,k1]应用命题b,[ki-1,ki] , i=2,…d应用命题d，[kd,∞)应用命题c，则问题（9）可以转化为一个半正定的最优化的问题。
（二）期权最优上界
定理3（期权最优上界）一个已知到期价的股票的均值为μ，方差为σ2，股票期权的执行价格为k,则这个期权的最优上界可以通过以下算法得到：
maxx-(μ,σ2)E[max(0,X-k]=12(μ-k)+σ2+(μ-k)2,k≥μ2+σ22uμ-k+kσ2μ2+σ2,kμ2+σ22u
证明：在前面的问题（2）中我们已经给出了算法，下面我们可以得到它的对偶形式：
minimize(μ2+σ2)y2+μy1+y0
Subjecttog(x)=y2x2+y1x+y0≥max(0,x-k),x≥0
由g(x)的表达式可以看出g(x)非负，我们可以令g(x)-(x-k)=a(x-b)2，其中a≥0,则a(x-b)2+x-k≥0，x≥0令x0=b-12a为这个二次函数的最小值，无论x0是正还是负，无论这个不等式在x=x0还是x=0取得最大值，我们可以得到两种情形
（a）如果b≥12a，则-14a+b-k=0（x=x0）
把a=14(b-k)代入目标函数，我们可以得到：
maxx-(μ,σ2)+E[max(0,X-k)]\minb((μ-k)+(b-k))2+σ24(b-k)
=12(μ-k)+σ2+(μ-k)2
令a0=14(b0-k)，则b0=μ2+σ2μ
当b0≥12a0=2(b0-k)，即μ2+σ22u≤k，则这个界是有效的。
(b) 如果b12a，则ab2-k=0(x=0)
把a=kb2代入目标函数，我们可以得到：
maxx~(μ,σ2)+E[max(0,X-k]=minbkb2(μ2+σ2)-2kbμ+μ=μ-kμ2μ2+σ2
令a0=kb20，则b0=μ2+σ2μ，对于任意的b012a0=b202k，即μ2+σ22μk，这个界都是有效的。
三、结论
我们根据上述有效的算法（包含多期）即：单一的半正定最优化方式来解决了股票期权上界的问题，从而建立了一个意外的联系，即：经济与半正定最优化算法的关系，揭示了股票价格变化与股票期权的关系。
[关键词] Granger因果检验；Copula函数；尾部相关性
doi ： 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2014 . 18. 056
[中图分类号] F832.5 [文献标识码] A [文章编号] 1673 - 0194（2014）18- 0087- 04
1 引 言
近年来，随着金融市场的不断发展，金融市场内部的相关关系越来越复杂，这也使得对于市场间的相关性研究成为金融市场相关关系量化分析的一个重要问题。但由于金融数据往往不满足线性相关性和正态分布等常规假设，如（Rosenberg & Schuermann，2006）实证分析发现，金融风险数据并不服从正态分布；Di Clemente & Romano（2004）和Das & Geng（2006）研究发现，信用风险尾部相关性是非对称的、有偏的。因此传统的多元分布函数理论很难在分析金融市场的相关性中得到广泛应用。90年代后期Frees & Valdez（1998）开创性地把Copula函数引入到金融风险管理领域中，由于Copula函数可以较好地刻画变量之间的非线性、非对称性和尾部特性等优点而得到广泛应用。大量研究者正是基于Copula理论这一有力工具，取得了许多有意义的研究成果。如Andrew.J.P（2002）提出了条件Copula函数，并利用其分析研究了汇率之间的非对称性相关结构；Helder和Luiz（2006）利用动态条件Copula函数研究了金融资产之间的相关结构；国内学者结合国内金融实际情况对Copula函数也进行了许多有意义的研究。如余平 等（2007）利用Clayton Copula函数度量了上证综指和深圳成指尾部相关性；于波 等（2008）利用Gumbel Copula函数对上证A股指数和B股指数进行了相关性分析；任仙玲 等（2008）应用双参数非对称BBx-Copula函数对民生银行和浦发银行的尾部相关性进行实证分析。但是我国金融市场内部相关结构如何，市场间的相关结构应该利用哪种适当的Copula函数来度量，目前还没有统一的结论。
本文以沪深两市日收益率为样本数据，考察上证指数与深证指数之间的联动性，并利用Copula函数分别对美国次贷危机发生前后的沪深两个市场指数之间的尾部相关性进行实证分析。
2 Copula函数及相关理论
Copula函数理论的提出为研究变量之间的相关性提供了很好的方法。Sklar（1959）指出可以将一个n维联合分布分解为n个边缘分布函数和一个Copula函数，而这个Copula函数描述了变量之间的相关性。
2.1 Copula函数基本理论
假设F（x1，x2，…，xn）为具有边缘分布F1（x1），F（x2），…，Fn（xn）的n维联合分布函数，则存在一个Copula函数C（u1，u2，…，un）满足：
F（x1，x2，…，xn）=C[F1（x1），F2（x2），…，Fn（xn）]（1）
若F1（x1），F（x2），…，Fn（xn）是连续函数，则C（u1，u2，…，un）是唯一确定的；反之，若F1（x1），F2（x2），…，Fn（xn）为一元分布函数，C（u1，u2，…，un）是一个Copula函数，则由式（1）确定的F（x1，x2，…，xn）是具有边缘分布F1（x1），F（x2），…，Fn（xn）的n维联合分布函数。
2.2 Copula函数分布族
在金融市场研究中常用的Copula函数族包括Elliptical Copula分布族和Archimedean Copula分布族。但由于Elliptical Copula分布族具有尾部径向对称性，因此在描述金融数据之间的非对称性具有一定的局限性；Archimedean Copula分布族则可以较好刻画尾部特性且计算简单得到了广泛应用。Archimedean Copula分布族包含Gumbel、Clayton和Frank Copula函数。
2.2.1 Gumbel Copula函数
Gumbel Copula函数的生成元和分布函数分别为：
?（t）=（-ln t）α（2）
CG（u，v；α）=exp-（-ln u
）+（-ln v
）
（3）
式中，α∈（0，1]为相关参数。当α=1时，随机变量u，v，独立；当α0时，随机变量u，v趋向于完全相关。
根据分布函数（3）特征知，Gumbel Copula函数对变量在分布上尾部的变化十分敏感，能够快速捕捉到上尾相关的变化。因此Gumbel Copula函数可用于描述具有上尾相关特性的金融市场之间的相关关系。
2.2.2 Clayton Copula函数
Clayton Copula函数的生成元和分布函数分别为：
?（t）=（4）
CCl（u，v；α）=（u-α+v-α-1）（5）
式中，α∈（0，8）为相关参数。当α0时，随机变量u，v趋向于独立；当α0时，随机变量u，v趋向于完全相关。
根据分布函数（5）特征知，Clayton Copula函数对变量在分布下尾部的变化十分敏感，能够快速捕捉到下尾相关的变化。因此Clayton Copula函数可用于描述具有下尾相关特性的金融市场之间的相关关系。
2.2.3 Frank Copula函数
Frank Copula函数的生成元和分布函数分别为：
?（t）=-ln（6）
CF（u，v；α）=-ln
1+（7）
式中，α≠0为相关参数。α>0表示随机变量u，v正相关，α0表示随机变量u，v趋向于独立，α
根据分布函数（7）特征知，Frank Copula函数分布具有对称性，无法捕捉到随机变量之间非对称的相关关系。因此Frank Copula函数只适用于描述具有对称相关结构的变量之间的相关关系。
2.3 尾部相关性度量
由于传统的Kendall τ和Spearman ρ等相关系数只是对随机变量的全局相关性进行度量，而在金融领域研究中，更多的是考虑极端事件发生时，一个金融市场的变化对另一个金融市场趋势的影响，即二者尾部相关性的度量。
设随机变量X，Y的边缘分布分别为F（x）和G（y），Copula函数为C（u，v），则Copula函数相对应的上尾相关系数λup和下尾相关系数λlo分别为：
λup=P[X>F-1（q）|Y>G-1（q）]=（8）
λlo=P[X
式中，u=F（x），v=G（y），u，v∈[0，1]。
由式（8）和（9）知，Copula函数对应的上尾、下尾相关系数均属于[0，1]区间。若λup（或λlo）存在且在区间（0，1]内，则随机变量X，Y上尾（或下尾）相关；若λup（或λlo）等于零，则随机变量X，Y上尾（或下尾）独立。对于上述3种Archimedean Copula函数而言，Gumbel Copula上尾相关系数为2-21/α，下尾相关系数为0；Clayton Copula函数的上尾相关系数为0，下尾相关系数为2-1/α；Frank Copula函数尾部具有对称性且上、下尾相关系数均为0。
3 实证分析
为了考察美国次贷危机发生前后的不同时期内上证综合指数与深证成份指数之间的尾部相关关系，我们选取2006-01-04至2008-12-31期间上证、深证股票市场指数日收益率为研究对象，共729组数据。定义股票市场指数日收益率的计算公式为：
rt=ln（Pt/Pt-1），t=1，2，…，T（10）
式中，Pt为第t日的市场收盘价格指数。
鉴于2007-07-10美国穆迪、标准普尔宣布次贷级债降级而导致全球金融市场的动荡，标志着美国次贷危机正式爆发，相对应我国股市市场也随之发生剧烈波动。因此，本文以2007-10-12为分界点将样本划分为上涨期和下跌期2个子区间，即2006-01-04至2007-10-12为上涨期，共428组数据；2007-10-15至2008-12-31为下跌期，共301组数据。数据来源于国泰安数据库，数据处理利用EViews6.0及Matlab7.1软件。
3.1 平稳性检验
通过对样本数据进行ADF检验及P-P检验（见表1），我们发现上证和深证指数收益率序列的ADF检验统计值及P-P检验统计值均小于不同显著性水平的临界值，因此样本期间内上证和深证指数收益率序列均具有整体平稳性。
3.2 Granger因果检验
在实际经济问题研究中，虽然变量中有一些变量可能显著相关，但它们未必都有意义。因此，对于如何分析变量之间的相关关系就显得尤为重要。Granger（1969）提出一个检验变量之间因果关系的方法――Granger因果检验法。该因果检验方法不同于通常意义的因果关系，它的应用有助于减少时间序列的预测误差。为了考察样本期间内上证和深证指数收益率序列之间的相互关系，我们利用Granger因果检验法进行检验，结果见表2。
由Granger因果检验的结果可以看出，对于上证指数不是深证指数的Granger原因的检验的相伴概率为0.045 15，表明在95%的置信水平下，可以认为上证指数是深证指数的Granger原因；对于深证指数不是上证指数的Granger原因的检验的相伴概率为0.412 04，表明深证指数不是上证指数的Granger原因的概率较大，不能拒绝原假设，即可以认为深证指数不是上证指数的Granger原因。
3.3 数据描述性统计
表3给出上涨期和下跌期上证与深证市场指数收益率的统计性描述。从均值来看，上涨期两市均呈现正的平均收益率，而下跌期两市平均收益率出现大幅下降且均为负值，表明美国次贷危机的发生对我国证券市场指数收益率具有较大的负面影响。从标准差来看，下跌期的标准差显著大于上涨期的标准差，表明美国次贷危机的发生在一定程度上加剧了股市的波动。从偏度和峰度指标来看，不论上涨期还是下跌期上证与深证市场指数收益率均存在尖峰厚尾的特性，且结合Jarque-Bera统计量检验结果，表明沪深两个市场的日收益率序列均不满足正态分布的假设。
利用Matlab软件描绘出不同时期内上证与深证两市日收益率的散点图（如图1）。由散点图可以发现，不论上涨期或是下跌期上证和深证指数之间均具有较强的相关性和尾部特性。
3.4 Copula函数的参数估计与选择
由于常用的参数估计法都是在假定边缘分布形式的前提下进行，如果边缘分布的假设出现偏差，则Copula函数参数估计的精度性将会受到很大的影响。因此，本文利用Copula函数的非参数估计法进行参数估计，结果见表4。
对于不同时期内上证和深证市场指数之间的相关性研究，哪个Copula函数是最优的呢？本文利用拟合优度检验法：
Kc（t）=P（C（u，v）≤t）=t-（11）
式中，C（u，v）为分布函数，Kc（t）为（0，1）上均匀分布函数。
利用样本数据进行Kc（t）与U（0，1）的Kolmogorov-Smirnov（K-S）检验选择Copula函数。结果见表5。
表5检验结果表明，当市场处于上涨期时，Gumbel Copula函数对沪深两市指数日收益率的联合分布的拟合是最优的；当市场处于下跌期时，则Clayton Copula函数对沪深两市指数日收益率的联合分布的拟合是最优的。
3.5 尾部相关性研究
根据择优选取的Gumbel Copula函数、Clayton Copula函数和式（8）、（9）分别计算上涨期和下跌期上证、深证两个市场在不同置信水平α下的尾部相关系数。结果见表6。
表6中前3列为下尾相关系数，后3列为上尾相关系数。从表6可以看出，当市场处于上涨期时，上尾相关系数在α=0.95时就已经趋于α=1时的极限值了。进一步可以发现，当上证指数日收益率超过q0.95，q0.975，q0.99时，深证指数日收益率超过对应的分位数的概率分别为：0.753 6，0.749 5，0.747 1，均超过0.05，0.025，0.01。这说明上证指数和深证指数之间在指数上涨期内具有较强的上尾相关性；当市场处于下跌期时，下尾相关系数在α=0.05时就已经趋于α=0时的极限值了。进一步亦可以发现，当上证指数日收益率低于q0.01，q0.025，q0.05时，深证指数日收益率低于对应的分位数的概率分别为：0.858 529，0.858 538，0.858 541，均低于0.99，0.975，0.95。这说明上证指数和深证指数之间在指数下跌期内具有较强的下尾相关性。但相比较而言，下跌期尾部相关系数大于上涨期尾部相关系数，这意味着股市下跌时的联动趋势较上涨时的联动趋势更加明显。
4 结 论
本文通过Granger因果检验，发现深证指数的波动不能够引致上证指数的波动，而上证指数的波动没有引致深证指数波动的原假设被拒绝，说明深证指数的变化受到了上证指数变化的影响。Granger因果检验结果表明，上证指数在中国股市中具有一定的主导性，而且上证和深证市场之间具有一定的相关性。
相关系数是描述变量之间相关性的重要度量工具。常见的线性相关系数在应用中具有很大的局限性，尤其是对于具有厚尾分布特征的变量之间的相关性问题。而大量研究表明，金融市场中很多问题恰恰具有非正态、厚尾等特性，因此，尾部相关系数的研究就显得尤为重要。文中利用Copula函数研究了不同时期内上证与深证指数之间的尾部相关性，通过择优准则选取Archimedean Copula函数族中具有尾部相关特性的Gumbel Copula和Clayton Copula函数拟合不同时期样本数据，结果表明沪深两市在上涨期和下跌期具有较强的尾部相关性，且股市下跌时的联动趋势较上涨时的联动趋势更加明显。这说明沪深两市的相关性呈非对称性，其相关性在熊市期间强于牛市期间。
主要参考文献
[1]余平，钟波.基于Copula函数的沪深股市相关性研究[J].陕西师范大学学报，2007（9）：28-32.
[2]韦艳华，张世英.Copula理论及其在金融分析上的应用[M].北京：清华大学出版社，2008.
①运用精炼的数学语言陈述经济学研究中的假设前提条件，使人一目了然。
②运用数学思维推理论证经济学研究的主要观点，使条理更加清晰，逻辑性更强。
③运用大量的统计数据让论证得出的结论更具有说服力。
2常见的基础数学在经济学中的具体运用举例
2.1现实世界中一切事物都在一定的空间运动着，对种种不同量的假设与推测，是许多科学理论的中心问题。在经济分析中，对成本、价格、收益等经济量的关系研究，就要用到基础数学方法，来构建该问题的数学模型，找出该问题的函数关系。常用的经济函数有：单利与复利、多次付息、贴现、需求函数、供给函数、成本函数、收入函数、利润函数等等。
2.2在经济问题中，经常会用到变化率的概念，而变化率又分为平均变化率和瞬时变化率。平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，就像我们经常用到的年产量的平均变化率、成本的平均变化率、利润的平均变化率等等。而瞬时变化率就是函数对自变量的导数，即当自变量增量趋于零时平均变化率的极限，在经济学中被称为边际函数。经济学中常见的边际函数有：边际成本、边际收益、边际利润、边际需求等等。在我们的边际分析中，讨论的函数变化率与函数改变量均属于绝对数范围内的讨论。在经济问题中，仅仅用绝对数的概念是不足以深入问题并分析透彻的。例如：A商品每个单位价格为10元，涨价1元；B商品每个单位价格为100元，也涨价1元，两种商品价格的绝对改变量都是1元，哪个商品的涨价幅度更大呢？我们只要用它们与原价格相比就能获得答案。此时我们就有必要讨论函数的相对改变量与相对变化率，也就是经济学中的“弹性概念”。而常见的弹性函数有：需求弹性、供给弹性、收益弹性等等。对于商家来说，进行边际分析和弹性分析是非常必要的，商家如果离开边际分析而盲目生产，就会造成资源的极大浪费；商家如果离开需求与价格的弹性分析，就不可能达到利润的最大化。这时候就要用到导数，因为导数是边际分析和弹性分析的最有力的工具，可以给决策者提供客观的、精确的数据，进而做出比较合理的决策。
2.3经济学中的最值在经济问题中，我们经常会遇到这样的问题，怎样才能使“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效益最高”等等。这样的问题在数学中有时会归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题。例如：在分析收入最大化与利润最大化的过程中，假定价格不变的情况下，产量最大就会形成收入最大的局面，但是，收入最大时的产量不一定产生最大的利润。而产量为多少时才能取得最大利润，就需要运用导数的知识来解决问题。利用导数解决最值问题的步骤是：求一阶导数，找出可能取得最值的点（包括驻点、一阶导数不可导的点和区间端点），再计算各点的函数值，对其进行比较，哪个最大就是最大值哪个最小就是最小值。经济学中常见的最值问题有：最大利润问题、最大收益问题、经济批量问题和最大税收问题等等。
2.4经济学中的积分“积分学”是微分学的逆运算，积分学的主要经济应用是对已知的边际函数求积分，得出总经济量函数。定积分是求原函数在某个范围内的改变量，是积分学中的重要概念之一，它在自然科学和经济领域中有着广泛的应用。在经济学中经常用改变上限的定积分来讨论总经济量函数问题。如某商品的价格p是销售量x的函数，此时我们要想计算当销售量从a变动到b时的收益，就需要用到定积分的计算方法。
2.5经济学中的微分方程为了研究经济变量之间的联系及其内在的规律，常常需要建立某一经济函数和经济变量的导数所满足的关系式，由此而确定所研究的函数关系，从而根据一些已知的条件来确定该函数的表达式。以上一套套路，从数学上说，就是建立微分方程并求解微分方程。具体步骤如下：在相关的背景知识下，用数学知识来描述经济问题中的变量和参数之间的关系，从而建立微分方程；根据具体问题适当的调整假设使建立的微分方程，尽可能地使其接近实际，这样可以相对的减小误差；运用已知的条件和测量的数据，对所建的微分方程中的参数给出相应的估计值；继而分析比较方程中的结果与实际观测之间的差异，若结果与实际情况基本一致，说明建立的微分方程符合实际问题，接下来就可以将它应用于对实际问题的进一步分析或者预测中；如果微分方程结果与实际观测不一致，就需要重新检查方程在哪出现了问题，以便对方程进行调整修正，再重复前面的过程直到建立出一个经检验符合实际问题的微分方程为止。微分方程在经济学中的实际应用主要有：分析商品的市场价格与需求量（供给量）之间的函数关系、预测商品的销售量、进行成本分析、净资产分析、国民收入与储蓄、投资的关系分析等等。
3基础数学在经济学应用中的局限性
基础数学是分析问题解决问题的一种方法，也是一个计算工具，它可以把实际问题抽象化。而经济学重要的是经济思想。基础数学只有在经济理论的合理框架下去研究分析问题才能发挥它的实用性。因此，基础数学在经济学中的应用要时刻注意以下几点：
3.1经济学不仅仅是数学概念和数学方法的简单叠加，不能把经济学中的数字随意的数学化，在分析问题、解决问题的时候要充分考虑到经济学作为社会科学的一个分支，会受到多方面的影响（如制度、法律、道德、历史、社会、文化等等）。
3.2经济理论的发展要有自己独立的研究角度，只有从经济学的本质出发，分析、研究现实生活中的经济规律，才能得到较为准确的结论。在此基础上，在一定条件的假设基础上，辅之以适合的数学方法和数学运算，才能解决实际生活中出现的一些经济问题。
律师行动
7月26日，郝际广从报纸上看到，包括华龙、白象等在内的多个中低价位方便面品牌即日起统一上调价格。此前，方便面涨价的消息已充斥各大网站。
郝际广身份为石家庄铁道学院法律系教授，也是是河北冀华律师事务所律师，有着20多年的教学与实践经验。凭着职业的敏感，他觉得方便面企业如此涨价是不妥的。
当天，他和几位同事一起聊天时，都认为方便集体涉嫌违法价格法。郝际广等律师觉得有必要去市场购买一些方便面以便留下证据。“桶装的，袋装的，各种包装，各种品牌都买了，共花一百多块。”郝际广接受《经济》采访时坦承，他是特意去买作为证据而不是为消费。
“原来堆积如山的方便面，现在竟然有些没货了。”郝际广很纳闷，为何有了涨价消息后市场上就断货了？他猜测，可能是销售商之前得到涨价消息后先压一段时间，等统一涨价后会卖得更多，故意制造一种紧缺现象。郝际广另一个感受就是，方便面的确涨价了，而且是普遍涨。“平均涨幅在10%-20%，比如原来一块五的，现在一块七。”
后来，郝际广同十几名从事经济法的同事开了一个律师研讨会，一致观点是：不反对企业自行涨价，但反对结成价格卡特尔集体涨价。
7月31日，在与同单位梁子显、赵红民等律师商讨后，郝际广等人共同决定，向发改委提出申请。他为申请人，梁子显、赵红民为委托人。 他们一同向国家发改委发了一封电子邮件，对方便面集体涨价涉嫌违反价格法提出质疑并要求查处相关企业和行会。
次日，郝等人再次以特快专递的形式将意见发给国家发改委。当天上午，郝一行三人专程赶到国家发改委，以“石家庄市民，职业是律师”的身份提交申请，发改委价格司与部门接待了两人，表示涨价已引起重视，正在调查。
比郝际广等人早些，北京的邱宝昌是在7月27日，也就是华龙等企业集体涨价后的第二天便向国家发改委发了电子邮件。邮件中，邱宝昌对近期一些主流方便面厂商集体涨价行为提出质疑，希望发展改革委对其合法性给予认定。邱宝昌是中国消费者协会的法律顾问，北京汇佳律师事务所主任。
“我主要是表达一个声音，政府应对行会类似的情况有所作为。”邱宝昌接受《经济》采访时表示，作为一个价格主管部门，如果不去对类似行为实施监管的话，任其发展会导致市场混乱。
与邱宝昌只是致函不同，郝际广等人并不想仅仅“上书”发改委就完事了。郝曾讲过5年的宪法课程，对工商企业与社团组织的登记注册非常了解。“背后的行会成为我们关注的重点，同时我们也感觉到问题的严重性。”
8月7日，郝一行来到民政部，查询“方便面中国分会”的注册信息，被当场告知该会没有在民政部门注册登记。根据民政部2004年出台的《取缔非法民间组织暂行办法》，未经登记，擅自开展社会团体筹备活动的；未经登记，擅自以社会团体或者民办非企业单位名义进行活动的等情形均属于非法民间组织。为此，郝等人请求民政部利用这次机会对全国的行业协会进行一次规范整顿，“让他们知道自己该干什么，不该干什么。”
政府回应
8月2日，发改委发出通知，要求各级价格主管部门立即组织开展主要食品价格和相关收费专项检查，重点对经营者之间串通或者通过行业协会、中介组织，以协议、决议、会议纪要、协调、口头约定等方式合谋涨价等不正当价格行为依法查处。这被看作是政府对企业集体涨价的正式回应。
“发改委有了一个强有力的声音。”邱宝昌说，虽然作为致函人的他本人没有得到任何回应，但他很高兴地看到这个通知。“通知重申了严格执法，要求依法查处此类行为。毕竟法律比通知本身更有效力。”
郝际广等人也没有得到发改委的回函，不过他们认为，国家价格主管部门当然会充分考虑法律界人士的呼声，“发改委的一系列通知与呼吁也有很大的关系。”
此后，8月6日、15日，发改委连续下发关于严厉禁止串通涨价行为的通知，并部署了专项检查。
8月16日，国家发改委网站公布对方便面价格串通案调查情况的通报指出，“7月下旬以来，方便面涨价的消息，引起社会各界广泛关注。国家发改委不断收到群众投诉举报和律师来函……”
通报认定：方便面中国分会和相关企业的行为，违反了《价格法》第七条“经营者定价，应当遵循公平、合法和诚实信用的原则”，第十四条“经营者不得相互串通，操纵市场价格”，第十七条“行业组织应当遵守价格法律、法规，加强价格自律”的规定，以及国家发改委《制止价格垄断行为暂行规定》第四条“经营者之间不得通过协议、决议或者协调等串通方式统一确定、维持或变更价格”的规定，已经构成相互串通、操纵市场价格的行为。
同一天，“方便面中国分会”公开发表致消费者的公开信，承认串通涨价事实并致歉。
郝际广认为，这主要是因为政府的通知在行政系统的效力很大，通知纵向下达各级发改委以及物价局后，下面的执法部门会行动起来，直接介入相关调查。
不过，郝际广、邱宝昌等人当初提出的对相关行会和企业进行行政处罚至此还没有出现。发改委的通报只是表示，对“方便面中国分会”和相关企业的串通涨价行为，国家发改委将深入调查，并依法作出进一步处理。
《价格法》第四十条对此有相应的处罚措施：“责令改正，没收违法所得，可以并处违法所得五倍以下的罚款；没有违法所得的，予以警告，可以并处罚款 ；情节严重的，责令停业整顿，或者由工商行政管理机关吊销营业执照。”
但是，该法没有规定经营者的民事赔偿责任，同时我国刑法中也没有对垄断行为刑事责任的规定。
发改委的进一步处理还有相关的规定作为依据，比如1999年8月1日实行的《价格违法行为处罚规定》，以及之后2004年9月1日实行的《价格违法行为行政处罚实施办法》。
去年，《价格违法行为处罚规定》经国务院修改重新颁布实行，第四条规定，针对相互串通，操纵市场价格，损害其他经营者或者消费者的合法权益的等行为，将受到责令改正，没收违法所得，可以并处违法所得5倍以下的罚款；没有违法所得的，给予警告，可以并处3万元以上30万元以下的罚款；情节严重的，责令停业整顿，或者由工商行政管理机关吊销营业执照。
显然，价格执法部门可以依据上述规定处罚相关企业，但让邱宝昌和郝际广等人担心的是，《价格法》并没有针对行业协会的条款，因此不可能直接对行会实施处罚。“行会属于民政部门监管，也应得到相应处罚。”邱宝昌认为，由于方面便集体涨价是行会操纵的典型，对行会的处罚更具有警示作用。
不过，由于“方便面中国分会”没有在民政部门注册登记，其连合法身份都不具备，何谈处罚？有人认为，既然不合法就应直接取缔。由此看来，民政部门的监督职能还需要进一步到位。毕竟在现实中，价格垄断行为处处可见行业协会匆忙的身影。
难
既然方便面集体涨价已被认定违法，是否可以据此相关企业？
邱宝昌认为，从政府处理来说，可以依法没收相关企业的违法所得；对于消费者，如果在调价后取得了证据，也可以与企业协商。
与郝际广一起上书的梁子显律师接受《经济》采访时表示，取证困难将阻碍相关部门的进一步措施。价格联盟或价格垄断的消息一般首先是通过媒体透露出来的，但是当行政部门知道了价格违法行为的线索再去追查，参与、实施价格垄断的经营者或协会往往会矢口否认，并给调查设置种种障碍，使得行政机关难以作出相应的处罚。
“如果我以涨价前后的差价为由告相关企业，很难赢得官司，也解决不了问题。”郝际广认为，以一个消费者的身份相关企业，走打民事官司这条路几乎行不通。“作用非常微弱。”
消费者作为个人，而与作为组织的企业，再加上背后的行业协会，力量对比悬殊，导致在利益的博弈中很难维护自身的利益。
【关键词】 直接投资； 通货膨胀； 中国； 中亚五国
中图分类号：F752 文献标识码：A 文章编号：1004-5937（2016）11-0030-04
一、引言
随着经济全球化进程的不断推进，各个国家的对外开放度均在不断提高，而资本的频繁流动对新兴经济体国家的冲击越来越严重。“丝绸之路经济带”背景下，哈萨克斯坦、吉尔吉斯斯坦、塔吉克斯坦、乌兹别克斯坦及土库曼斯坦中亚五个国家作为中国重要的战略伙伴，无论是在区域经济合作还是在政治文化合作方面均将迎来跨越式的发展机遇。稳定的经济发展趋势及良好的投资环境是中国与中亚国家区域合作的基础，然而，中亚五国作为新兴与发展中的转型经济体，其政治经济体制、制度安排及市场运作都有其特殊性，自独立以来国内通货膨胀率不断上升，严重影响到国内经济的稳定性；另外，中亚五国自1993年以来，吸引外国直接投资规模也在不断扩大，直接投资的大量流出可能是造成中亚五国通货膨胀的主要原因。
国内学者关于直接投资对通货膨胀的影响作了大量研究，且研究领域主要集中在国内，研究结果显示：直接投资对我国通货膨胀产生了显著的影响。部分学者构建了通货膨胀多因素影响模型，如黄新飞等（2007）[ 1 ]选取了FDI、外汇储备、货币供给量、国内投资及贸易开放度作为自变量，运用协整分析和ECM等方法分析各变量对我国通货膨胀的影响，结果表明除贸易开放度外其他变量均与通货膨胀呈正相关性，但由于模型中所选自变量间存在一定的相关性，这就使得研究结果缺乏可靠性；王凯等（2008）[ 2 ]运用月度数据，通过协整检验、误差修正模型和脉冲响应函数分析了FDI、货币供给量与中国通货膨胀的动态关系，结果表明FDI、货币供给量都是我国通货膨胀的重要原因，由于FDI对通货膨胀的部分影响机制是通过外汇储备、货币供给的变化来实现的，因此该模型同样存在一定的缺陷；彭小兵等（2009）[ 3 ]基于柯布道格拉斯生产函数构建了外商直接投资与通货膨胀的模型，考察了外商直接投资对我国通货膨胀的影响，得出外商直接投资与通货膨胀存在长期的协整关系，短期内对通货膨胀产生冲击，且时滞较长，由于该模型存在一定的假设条件限制，因此研究结果缺乏说服力。
也有部分学者构建了直接投资对通货膨胀影响的单因素模型，如王健超（2005）[ 4 ]通过平稳性检验、协整检验、建立误差修正模型等方法分别考察了我国FDI对货币供给以及物价指数的影响，结果表明，外商直接投资是造成我国通货膨胀的原因之一；龚沁宜（2012）[ 5 ]、赵妍（2013）[ 6 ]利用VAR模型分析了FDI与中国通货膨胀的关系，研究表明FDI变动是我国通货膨胀产生的重要原因。由于直接投资对通货膨胀的影响主要是通过作用于其他变量来实现的，因此选择通货膨胀单因素模型可以很好地衡量直接投资对通货膨胀的影响，避免变量间相关性问题对研究结果的干扰。同时国内学者关于中亚五国直接投资与通货膨胀关系的研究相对较少，对于处在特殊发展背景下的中亚国家，直接投资对通货膨胀的影响是否会出现中国学者研究得出的普遍结论呢？借此，本文在相关研究的基础上，通过建立通货膨胀单因素VAR模型，利用1993―2014年数据分别对中亚五国直接投资对通货膨胀的影响进行分析，同时将中国作为参照系，为相关领域研究提供一定参考。
二、实证分析过程
（一）指标选择与数据来源
本文研究期限为1993―2014年，采用消费者价格指数（CPI）作为通货膨胀率的衡量指标，外国直接投资净流入（FDI）作为直接投资指标，其中中亚五国消费者价格指数（CPI）及外国直接投资净流入（FDI）数据来源于世界银行和亚洲开发银行国别数据及中国驻各国参赞处；中国消费者价格指数（CPI）及外国直接投资净流入（FDI）数据来源于历年中国统计年鉴。其中各国消费者价格指数（CPI）采用以2010年不变价格为基期计算出的实际值，同时为了消除异方差的影响，分别对消费者价格指数（CPI）及外国直接投资净流入（FDI）进行对数化处理。
（二）VAR模型的实证结果
由于本文使用的是年度数据且研究期限相对较短，同时为了消除误差项自相关的影响，使模型具有更好的解释能力，根据AIC最小化原则，确定VAR模型最优滞后阶数为2。
VAR模型要求指标数据必须是平稳性序列，因此首先对各国采用消费者价格指数（CPI）及外国直接投资净流入（FDI）进行单位根检验。经检验，中国与中亚五国LNCPI、LNFDI原序列的ADF统计量均大于在10%显著水平下的临界值，说明原指标序列均存在单位根，为不平稳序列；一阶差分处理后，差分序列的ADF统计量均小于在10%显著水平下的临界值，说明LNCPI、LNFDI差分序列不存在单位根，为平稳序列。LNCPI、LNFDI序列为一阶平稳序列，满足VAR模型条件。
采用Eviews6.0软件，VAR模型计算结果如表1所示（括号中为t统计量）。
估计方程为：
从实证结果可以看出：首先，中国与中亚五国消费者价格指数（CPI）均受到前两期CPI滞后的影响，前一期影响均显著为正，表明前一期价格的上升会对消费者形成物价上涨的预期，从而推动当期价格的螺旋上涨。其中预期系数较大的是哈萨克斯坦（1.34755）、塔吉克斯坦（1.12103）与乌兹别克斯坦（0.88973），更容易受到通货膨胀预期的影响。中国的消费者物价预期系数为0.74559，高于吉尔吉斯斯坦（0.69804）、土库曼斯坦（0.60885），低于哈萨克斯坦、塔吉克斯坦、乌兹别克斯坦。滞后两期影响在不同国家作用效果不同，其中吉尔吉斯斯坦（0.16248）、土库曼斯坦（0.34559）预期系数显著为正，表明两国的通货膨胀预期存在连续性，且近期价格上涨预期大于远期价格上涨预期对当期通货膨胀的影响；中国（-0.2467）、哈萨克斯坦（-0.3156）、塔吉克斯坦（-0.1474）、乌兹别克斯坦（-0.0277）预期系数显著为负，说明价格的持续上涨会对预期产生一定的冲销作用，但是这种冲销效应仍小于滞后一期预期通货膨胀上涨的影响，表明通货膨胀预期的形成更容易受到近期价格波动的影响。
其次，中国与中亚五国直接投资的流入均对消费者价格指数（CPI）产生一定影响，但是不同国家外国直接投资对消费者价格指数的作用效果存在差异性。其中在中国、吉尔吉斯斯坦及塔吉克斯坦外国直接投资在不同滞后期对消费者价格指数的影响均显著为正，中国的影响因子最大，滞后一期、两期的回归系数分别为0.03444、0.0418，高于吉尔吉斯斯坦（0.02118、0.02736）、塔吉克斯坦（0.02490、0.02614）；同时，FDI对不同国家消费者价格指数影响的远期效应强于近期，体现了直接投资影响国内通货膨胀的作用机制存在滞后性。哈萨克斯坦、乌兹别克斯坦及土库曼斯坦外国直接投资在不同滞后期对消费者价格指数的影响存在差异性，其中乌兹别克斯坦、土库曼斯坦滞后一期的影响因子显著为负，分别为-0.0284、-0.0345，滞后两期的影响因子显著为正，分别为0.04015、0.01831，而哈萨克斯坦滞后一期的影响因子为0.01251、滞后两期的影响因子为-0.0283，哈萨克斯坦、乌兹别克斯坦FDI对消费者价格指数影响的远期效应强于近期。两期综合的影响效果：外国直接投资的增加促进了乌兹别克斯坦国内通货膨胀的上升，而抑制了哈萨克斯坦、土库曼斯坦国内价格水平的提高。
通过构建VAR模型，得出不同滞后期外国直接投资对消费者价格指数的作用效果在不同国家存在异质性，但是这种差异是否存在持续性，笔者通过脉冲响应函数来说明。
（三）脉冲响应函数
脉冲响应函数描述的是在随机误差项上施加一个标准差大小的冲击后对内生变量的当前值和未来值所产生的影响。由建立的VAR模型可知，不同国家消费者价格指数（CPI）与外国直接投资（FDI）相互影响，均可看作内生变量，因此可以通过向量自回归模型测算外国直接投资对消费者价格指数的冲击响应。不同国家LNCPI、LNFDI对LNCPI的脉冲响应函数如图1所示。
从图1中的脉冲响应函数可以得出以下结论：
首先，当期价格的上升会对消费者形成价格上涨预期，从而推动通货膨胀率的螺旋上升。其中哈萨克斯坦、塔吉克斯坦国家形成的价格预期效应呈增加趋势，而这种价格预期在中国、吉尔吉斯斯坦、乌兹别克斯坦、土库曼斯坦国家则呈现递减特点；从累计冲击效应来看，当期价格的波动对塔吉克斯坦形成的累计价格上涨预期达到42.05780，远远高于哈萨克斯坦（0.405754）、吉尔吉斯斯坦（0.370184）、乌兹别克斯坦（0.313625）、土库曼斯坦（0.234410），中国的累计冲击效应最小为0.145620，反映了中国的市场环境相对稳定，价格机制较完善，消费者形成的价格预期较为理性。
其次，外国直接投资对消费者价格指数的冲击效应在不同国家呈现不同的特点。FDI在中国、吉尔吉斯斯坦、塔吉克斯坦国家对CPI的冲击效应在前10期均为正，其中中国、吉尔吉斯斯坦的冲击响应呈现先递增后递减的趋势，且均在第5期达到最大，分别为0.031102、0.074245，累计冲击响应分别达到0.225254、0.535159；而塔吉克斯坦FDI对CPI的冲击响应则不断增加，累计冲击响应达到2.252623，远远高于其他国家。乌兹别克斯坦国家FDI对CPI的冲击响应除了在第2、3期为负外，其他时期均为正，累计冲击响应为0.102117；哈萨克斯坦国家FDI对CPI的冲击响应除了在第2期为正，其他时期均为负，累计冲击响应为-0.010207；土库曼斯坦国家FDI对CPI的冲击响应在所有时期均为负，累计冲击响应达到-0.122539，即外国直接投资的流入在短期内抑制国内价格水平的上涨。
脉冲响应函数的分析结果与VAR模型实证结果相同，均表明不同国家外国直接投资对消费者价格指数的作用效果存在差异性，但是脉冲响应函数证明这种差异性存在一定的持续性。
（四）方差分解
方差分解是在脉冲响应函数的基础上，进一步考察各冲击变量对内生变量变化的贡献度，从而评价不同结构冲击的重要性。不同国家LNCPI、LNFDI对LNCPI的方差贡献度如表2、表3所示。
从表2、表3可以看出，在仅考虑外国直接投资及消费者价格指数本身对CPI贡献度的情况下，中亚五国消费者价格指数更容易受到自身波动的影响，外国直接投资对价格水平的贡献度相对较小，但随着时间推移对五个国家CPI的贡献率均在不断增加，分别对哈萨克斯坦、吉尔吉斯斯坦、塔吉克斯坦、乌兹别克斯坦、土库曼斯坦CPI的累计贡献率为4.045388%、12. 01905% 、 6. 941097% 、
16.2913%、 22.03936%，远远低于消费价格指数本身的影响；中国则反之，外国直接投资对消费者价格的累计贡献率达到74.33780%，远远高于CPI对自身的影响。在一定程度上反映了中国庞大的外资流入规模，大规模的资本流动更容易引起国内价格水平的上升，从而引发通货膨胀。
三、主要结论
从消费者价格指数对自身的影响来看，过去时期价格的上升会对消费者形成物价上涨的预期，从而推动当期价格的螺旋上涨，同时通货膨胀预期的形成更容易受到近期价格波动的影响；当期价格的上升同样会对消费者形成价格上涨预期，其中哈萨克斯坦、塔吉克斯坦国家形成的价格预期效应呈现增加趋势，而这种价格预期在中国、吉尔吉斯斯坦、乌兹别克斯坦、土库曼斯坦国家则呈现递减特点，累计的预期效应中国明显低于中亚国家，反映了中国的市场环境相对稳定，消费者形成的价格预期较为理性。
从外国直接投资对消费者价格指数的影响来看，不同国家外国直接投资对消费者价格指数的作用效果存在差异性。FDI对不同国家消费者价格指数影响的远期效应强于近期，直接投资影响国内通货膨胀的作用机制存在滞后性；滞后期的外国直接投资与中国、吉尔吉斯斯坦、塔吉克斯坦、乌兹别克斯坦国内消费价格指数存在显著正相关，与哈萨克斯坦、土库曼斯坦国内价格水平呈现负相关，脉冲响应函数证明了这种差异性存在一定的持续性，即当期FDI的变化仍将在短期内对各个国家产生同于滞后期的相同结论。方差分解说明了外国直接投资对中国消费者价格指数的贡献度高于中亚国家，而消费者价格指数对自身的贡献度中亚国家高于中国。
【参考文献】
[1] 黄新飞，舒元.基于VAR模型的FDI与中国通货膨胀的经验分析[J].世界经济，2007（10）：58-66.
[2] 王凯，庞震.外商直接投资与中国通货膨胀关系的实证检验[J].太原理工大学学报，2008（9）：23-26.
[3] 彭小兵，张保帅.FDI对东道国通货膨胀影响分析：基于中国的实证研究[J].国际贸易问题，2009（1）：101-106.
[4] 王健超.外商直接投资通货膨胀效应的实证分析[J].世界经济研究，2005（4）：40-44.
通过对行为金融学中的基础理论——前景理论进行探究，比较前景理论与传统期望效用理论的不同，揭示前景理论在解释金融异象中的优势。同时，结合中国证券市场进行实证分析，选取深圳成指和中小企业板块中的40只股票为样本，计算样本在2004年6月25日——2005年4月1日期间的周收益率，进行比较分析。实证分析结果，得出以下结论：（1）中国股市确实存在“小公司效应”，但在中国股市中“小公司效应”只是一种金融异象，很多情况下收益率与流通股本呈正相关。（2）运用前景理论能够对“小公司效应”做出合理的解释。（3）行为金融学是对传统金融学的完善和修正，而不是颠覆。
关键词：前景理论,行为金融,小公司效应,实证分析
自金融学问世以来，金融学乃至整个经济学都构建在“理性分析框架”之下，“经济人”、“理性”等分析前提在经济学理论中随处可见。传统金融学沿袭了经济学的分析方法、框架,其研究范式、研究模型均置于“理性”框架之内，假设人的行为是完全理性,甚至人们在作金融决策时被想象成具有经济学家一样的知识和一致的预期。然而，在20世纪80年代，学者们在实证研究中发现传统金融理论存在一些无法克服的缺陷，缺乏实证的支持和模型与实际的背离使得传统金融理论的理性分析范式陷入了尴尬的境地，这不得不使经济学家们把研究视角投向经济现象的背后，于是运用心理学及行为分析的理论方法研究金融市场中决策的行为金融学便脱颖而出。作为一门新兴的学科，行为金融学的绝大部分研究成果都集中在对资本市场产生系统性影响的投资者决策行为的特征上。行为金融学在对人们的金融行为的研究当中，合理地引入了心理学的分析，成功地解释了投资者非理性的金融决策行为。
前景理论是行为金融学的基础理论，是由卡曼尼教授和特维尔斯基共同提出的。它是一种研究人们在不确定的条件下如何做出决策的理论，它主要针对解释的是传统理论中的理性选择与现实情况相背离的现象。行为金融研究学者们通过实验发现，与期望效用理论相反，大多数投资者并非是金融投资者而是行为投资者，他们的行为并不总是理性的，他们的效用不是单纯的财富函数，他们并不总是风险规避的，个人在作决策时是基于财富的变化量而不是存量。前景理论的主要理念在一定程度上继承了传统金融理论关于人具有根据成本收益采取效用最大化的倾向，同时又提出，由于有限理性、有限自制力和有限自利的存在，人们不完全像主流理论所假设的那样，在每一种情境下都清楚地计算得失和风险概率，人们的选择往往受到个人偏好、社会规范、观念习惯的影响，因此未来的决策存在着不确定性。本文就前景理论的基本架构作一探讨，并就我国深圳中小企业板块股票交易进行实证分析。
一、前景理论架构
前景理论包括三个重要概念：价值函数、参考点、权值函数。
1、理论假设
（1）前景理论提出最基本的假设是人类的理性是有限的。
认知的局限决定了人类存在着许多理性之外的情绪、冲动和决策。显然，这与传统金融理论中把人假设为是完全理性的，并且在任何情况下都能运用理性客观地比较成本收益，据此作出对自己效用最大化的决策相矛盾。例如，在证券市场上，常常会发生股价的变化并不是根据公司的运营情况，而往往是由于投资人情绪、感受或心理预期的变化。但是，这些理性之外的行为未必都是无理性的。
（2）由于存在外在条件的限制，即使在有限理性的条件下，有时也未必能够实践理。
在真实的金融市场中，往往存在着不可逾越的客观障碍，局限了行为人实施理性最大化的行为。例如，信息的不对称，信息的收集和消化受到人的时间、精力和自身内在条件的限制；投资期限和投资成本会局限投资人理性决策的实际运用。
（3）在特定情境下，人的多样化动机会导致其放弃使用理。
现实生活中的人并非如传统金融理论假设的那样那么客观、中立、作决策时不带任何感彩、不受任何外界影响。人无法脱离社会而存在，社会化过程当中所形成的利他主义、公益责任、行为定势、偏见歧视以及其他观念导引都会影响人的行为。这方面的例子不胜枚举。虽然这类行为是理性之外的，但却不无理性。由此人们对理性的判断有两种不同的角度，一种是经济学上的，一种是社会上的。经济学上的不理在社会学看来未必如此。有着丰富情感的人类所采取的行为并非都是出于纯粹的经济动机、完全用效用最大化来计算的。现代金融学所倡导的“经济人”到了行为金融学中就比较接近“社会人”的理念，他们在行为中显示出明显的社会化痕迹，往往是追求最满意的方案而不是最优方案。
综上所述，前景理论中提出的假设可归纳为人类具有有限理性、有限控制力和有限自利。现代人更习惯称此为“情境理性”，由此说明投资者未来决策具有不确定性。
2、价值函数与参考点
前景理论中用价值函数反映投资者的“效用”，而在传统金融理论中则是用期望效用函数反映投资者的“效用”。
根据图1.1所示，价值函数的基本描述：价值函数是一条中间有一拐点OW,称为参考点的S形曲线。纵轴表示价值(效用)，横轴表示财富的变化量，正半轴表示盈利，负半轴表示损失。在盈利范围内曲线形状表示为凹，在损失范围内表示为凸。在参考点附近，价值函数在损失范围内的斜度明显比盈利范围内更陡。表明对风险态度的变化，因损失所感到的痛苦远大于盈利时的喜悦，投资者在损失的情况下由风险厌恶转变为风险偏好，在盈利时表现为风险规避。这也体现了前景理论的主要结论：投资者并非总是风险厌恶者，个人作决策时是基于财富的增量而不是存量。
与传统的期望效用函数相比,价值函数具有以下特征:
（1)价值函数不再是财富的函数而是盈利或损失的函数，其自变量是投资者的损益,是财富的变化量，可表示为Wi=Wi-0W,是财富值Wi相对于一个参考水平0W的偏离值而不是财富的绝对水平,因此投资者不是从资产组合的角度来作投资决定,而是按照组合中各资产的损益水平将其分别对待。
（2）参考点：投资者总会以自己身处的位置和衡量标准来判断行为的收益与损失，即选取一个决策参考点，以此点来决定行为者对风险的态度，从而作出投资决策。作为投资者判断损益标准的参考点取决于投资者的主观感觉,并且因人而异。卡曼尼和特维尔斯基在研究中指出，在参考点上，人们更重视预期与结果的差距而不是结果本身。因此，决策参考点是价值函数的关键。也正是由于决策参考点的存在，使得预期具有不确定性和不稳定性，由预期所带来的行为也不可能与理性选择理论完全相符。
（3)价值函数的形式是一条中间有一拐点的S形曲线,在盈利部分是凹函数,在亏损部分是凸函数。不同于传统效用函数所有点都表现为凹的。这意味着投资者的风险偏好不是一致的,存在处置效应,即当投资者处于盈利状态时,投资者是风险回避者,愿意较早地锁定利润；当投资者处于损失状态时,投资者是风险偏好者,愿意继续持有。
4)价值函数呈现明显的不对称性,这说明投资者对损失的感受大于盈利,投资者对损失更敏感。
图1.1价值函数
图1.2期望效用函数
3、权值函数
前景理论的另一个重要的概念就是权值函数。所谓权值，就是根据不同选项之间的比较和多次重复选择，根据其概率来确定的数据。在前景理论中,对不同选择可能产生的结果(即预期值)的计算和比较,是通过价值(效用)乘以决策权值π。期望效用理论中，期望值的计算也是通过效用与事件发生的概率，两者间有一定的联系并且相似。但要注意的是权值不是概率，其运算也不遵循一般概率的公理。
权值函数对自变量的概率取值做系统性变换。权值函数中“极不可能”概率的权值为0，“极可能”的权值为1,而对“很不可能”赋予相对较高的权值,对“很可能”赋予相对较低的权值,换而言之,权值函数对较高的概率指派较小的权数,而对小概率则指派较大的权数。在“很可能”与“很不可能”之间,权值函数具有小于1的斜率。
图1.3权值函数
根据图1.3所示，权值函数曲线在两端斜率较大,而中间趋于平缓，由于权值函数涉及个体对不同概率事件的评价，即是主观的而且看法因各种因素而变化，虽无法得出具体的函数表示形式，但是可以通过经实证研究划出的曲线表示人们对事件概率的最大偏移。
通过价值函数和权值函数，许多异常现象都可以用前景理论得到合理的解释。如：阿莱悖论、彩民的非理、股利之谜等等。但是由于都是通过举例来说明并且带有实验性质，如何确定价值函数中的关键——参考点、价值函数和权值函数的具体形式，前景理论都无法给出，这是理论上的很大缺陷。
二、实证分析——以深圳中小企业板块为例
1、研究原因
所谓“小公司效应”，又称“小盘股效应”，即收益率与公司规模之间存在反向变动关系，收益率随着公司规模的增大呈现减少的趋势。这是一种明显违背资本资产定价模型（CAPM）的异象。然而，国内外学者通过对上市公司股票收益率与规模之间的关系进行了广泛研究发现在现实中，股市确实存在“小公司效应”。
最早发现美国股票市场具有“小公司效应”是Banz，随后Keim、Blume、Reinganum和Stambaugh发现了“小公司1月效应”。而国内学者宋颂兴和金伟根（1995）、周文和李友爱（1999）也研究了中国股票市场的“小公司效应”。
本文以深圳中小企业板块作为研究对象，通过收益-股本研究考证我国股市是否存在“小公司效应”，并运用前景理论结合相关因素进行分析。
2、样本选择
国外学者在研究中通常以上市公司的总市值衡量其规模，然而本文中是以流通股本衡量我国上市公司的规模。其原因是：
（1）中国股市与国外股市有一个明显的区别就是中国上市公司有三分之二的股份不流通，这是投资者在股票定价和参与二级市场投资时必须考虑的现实情况。因此，选择流通股本或流通市值比总市值更合理。
（2）由于流通市值=流通股本X股价，为了规避股本与各股市价同时变动给样本带来的不利影响，故本文在两者间选择流通股本来衡量公司规模。
选择中小企业板块中40只2005年4月1日之前上市的股票作为小盘股的样本集合来研究的原因：
（1）所涉及的样本股票具有小盘股的性质，流通股本较小且较为相近，大约在2000-3000万股左右。
（2）以流通股作为权重，在作为整体研究时不考虑权重因素。
选择深圳成指作为大盘研究原因：
（1）深圳成指与中小企业板块都是以流通股本计算权重，而深圳综指是以总股本计算权重，并且其中流通股本仅占很小部分。
（2）证券市场人士习惯用深圳成指来表示深市的走势。
（3）由于深圳成指也包含40只股票，与选取的中小企业板块40只样本股在作比较时更具参照性。
（4）深圳成指具有集优性质，与综指相比相对业绩更好。
3、数据的来源及处理
（1）根据深圳交易所的交易行情，收集了自2004年6月25日——2005年4月1日中小企业板块编号为002001-002040的40只样本股票每周周末收盘价及深圳成指每周周末收盘指数。详见附录A.
在收集过程中，若遇到周五停牌无数据的股票则以其在该周最后一天收盘价代替。2004年6月25日是中小企业板块股票最早上市的日期，故作为始点。在2005年4月1日上市的中小企业板块股票不作为样本。
（2）根据周收益率分别计算出中小企业板块各样本股及深圳成指38周的周收益率。详见附录B。
（3）根据求出的中小企业板块40只样本股的周收益率计算整个中小板块38周的周收益率。详见附录B.
由于考虑到中小企业板块股票上市有先后，即用各股周收益率的平均值表示小盘股的周收益率。
（4）将中小企业板块40只样本股组合为一个整体研究，与作为大盘研究的深圳成指进行对比。由于所涉及的中小企业板块各股流通股本较为相近，大多都在2000-3000万股左右，在计算时不考虑权重因素。可能会因此产生一些偏差。
（5）计算各样本股在研究区间的平均收益率作为其收益率的期望值。
4、研究思路
在研究区间（2004年6月25日——2005年4月1日）内，划分若干个区间进行研究，包括上升阶段、下跌阶段和震荡调整阶段。分别计算深圳成指和中小企业板块在各时期的期望收益率（为该区间周收益率的算术平均值）和标准差。用数据和图形进行两方面比较，分析是否存在小盘股效应，并且对一些异常情况加以分析说明。
5、数据处理结果
表2.1为根据附录B得到的2004年6月25日——2005年4月1日中小企业板块和深圳成指各周的平均收益率统计表。在计算中小企业板块这一组合的周收益率时用该板块中40个样本股各周收益率的算术平均值来表示。同时，并未根据CAPM模型用风险系数β进行调整，原因是：根据马静如学者的研究证明股票收益率历史数据和系统风险之间不存在显著的正相关关系，β值基本没有反映出股票的风险；吴文锋、芮萌、陈工孟通过对深沪两市的研究检验了传统资产定价模型不适用中国市场，中国股票市场的收益率与风险β值不呈现相关关系。
表2.12004年6月25日至2005年4月1日共38周周收益率
周数中小板块深圳成指周数中小板块深圳成指
t=1-0.23-0.005t=200.0420.023
t=2-0.02-0.016t=21-0.014-0.012
t=3-0.034-0.026t=220.029-0.017
t=4-0.021-0.002t=23-0.031-0.003
t=5-0.011-0.042t=24-0.015-0.012
t=6-0.001-0.009t=25-0.003-0.01
t=7-0.074-0.033t=26-0.009-0.019
t=8-0.0930.001t=27-0.019-0.01
t=9-0.064-0.021t=28-0.0220.007
t=100.021-0.037t=290.0040
t=11-0.002-0.058t=30-0.0210.003
t=120.1550.036t=310.0940.065
t=130.041-0.006t=320.044-0.01
t=140.0630.088t=330.0160.047
t=15-0.15-0.022t=34-0.07-0.016
t=160.0360.029t=350.010.023
t=170.018-0.06t=36-0.035-0.045
t=18-0.0090.015t=37-0.029-0.012
t=190.066-0.023t=380.0340.022
均值-0.0130.001标准差0.05820.0309
根据此表收益率，分别作出中小企业板块和深圳成指在研究区间的各自收益率分布图（采用数据折线图）及两者收益率分布的对比图。如下所示：
图2.1中小企业板块收益率分布
图2.2深圳成指收益率分布
中小企业板块-*-深圳成指
图2.3中小企业板块及深圳成指收益率分布
6、结果分析
（1）图示分析
根据图2.3：可以直观地看出，从t=4开始，这两个组合的周收益率走势基本相同。但作为大盘的深圳成指的收益率曲线起伏相对中小企业板块相对平缓，而中小企业板块收益率波动较大。中小企业板块在整个研究区间（t=1~t=38）内的标准差为0.0582明显大于深圳成指的0.0309，且在各个分区，其收益率的标准差均大于深圳成指（具体数据详见下表2.3），这解释了由于中小企业板块投资风险较大，故收益率波动较大。
两者在t=12,即2004年9月10日-9月17日那周都有较为大幅的上涨，而t=15即2004年10月11日-10月15日都出现明显下跌。这可以根据当时的具体事件分析。在2004年10月8日两个组合出现小幅的上涨（收益率>0）之后又大幅下跌（收益率<0），可以认为与人们的心理预期有关。在十一长假前两周都出现上涨形势（收益率>0）并且中央诸如要保护中小投资者的较好的消息，因此在长假前使人们往往因此产生过高的预期，使得长假过后的第一个开盘日（2004年10月8日，周四）各股大都上涨。但由于市场消息较空洞，没有实际的举措，市场整体疲软，经过一周后人们由买空变为卖空，信心受挫，导致过度反应，使股价大幅下挫。
（2）运用价值函数分析
由图2.3所示，当中小企业板块周收益率在<-0.05的范围内，其下跌时波动幅度大于周收益率在-0.05~0的范围内。这个现象可以用前景理论的价值函数解释。以收益率=0为参考点，在参考点附近，价值函数在损失区间为凸函数，表现为风险偏好。但在偏离参考点很远处，即发生了较大的损失时，投资者变为风险厌恶者。结合图2.3，-0.05是临界点，收益率小于此点，则投资者由风险偏好者变为风险厌恶者，不再选择继续持有股票而是抛售，导致了收益率<-0.05时曲线坡度较陡。
（3）组合区间分析
为研究小公司效应，特构建了两个组合。中小企业板块40只样本股作为一个整体组成小盘股集合，深圳成指作为一个整体构成大盘股集合。
由于中小企业板块和深圳成指从第四周起走势大致相同，因此在从第4周起，在原研究区间上取四个子集，在这四个研究子集的区间内，两个组合的走势要求一致。分别研究[t=4,t=9],[t=12,t=14]、[t=21,t=26]、[t=31,t=36]这四个区间，求出平均周收益率（期望值）和对应标准差分别列于表4.2和表4.3。
表2.2各区间内平均周收益率
中小企业深圳成指
t=4~t=9（2004.7.19-2004.8.27）下跌-0.044-0.0165
t=12~t=14（2004.9.13-2004.10.8）上涨0.08630.0513
t=21~t=26（2004.11.12-2004.12.31）下跌-0.0213-0.0122
t=31~t=36（2005.1.31-2005.3.18）震荡平衡0.01080.0107
表2.3各区间内平均周收益率对应的标准差
中小企业深圳成指
t=4~t=9（2004.7.19-2004.8.27）下跌0.03460.0090
t=12~t=14（2004.9.13-2004.10.8）上涨0.04940.0323
t=21~t=26（2004.11.12-2004.12.31）下跌0.01380.0051
t=31~t=36（2005.1.31-2005.3.18）震荡平衡0.04710.0380
如表2.2和2.3所示，在市场上涨阶段2004.9.13-2004.10.8时，流通股本较小的中小企业板块收益率显然高于流通股本较大的深圳成指，收益率与流通股本呈负相关。在上涨阶段存在明显的“小公司效应”。
在市场处于震荡平衡阶段，2005.1.31-2005.3.18时，中小企业板块收益率略高于深圳成指，收益率与流通股本呈负相关但趋势较弱。在此区间也存在一定的“小公司效应”。
在市场处于下跌阶段2004.7.19-2004.8.27与2004.11.12-2004.12.31时，中小企业板块收益率低于深圳成指，收益率与流通股本呈正相关的趋势，但在2004.7.19-2004.8.27阶段正相关趋势较强，2004.11.12-2004.12.31阶段正相关趋势较弱。在下跌阶段没有出现“小公司效应”。
从表2.2可以发现在上涨阶段和震荡平衡阶段，中小企业板块的收益率大于深圳成指，对应的标准差也大于深圳成指，表示高收益伴随高风险，符合一般投资规律。然而，在下跌阶段，中小企业板块的收益率明显小于深圳成指但对应的标准差却大于深圳成指，说明中小企业板块股票的风险较大，表现为收益率曲线的波动较大。
7、实证分析结果
通过考察各个阶段收益与流通股本之间的关系可以初步得到以下结论：
（1）中小企业板块股票的收益率波动幅度较大，风险较高。
（2）在研究区间内存在小公司效应，即收益率与流通股本间存在负相关，且小公司效应强弱不一。
（3）收益率与流通股本规模的关系并未呈现单一性，既存在小公司效应也存在大盘股效应，即收益率与流通股本有时负相关有时正相关。在上涨区间表现出明显的小公司效应，而在下跌区间区却未表现小公司效应，相反呈现出大盘股效应。
（4）并不是在任何情况下都是高收益伴随高风险，在研究时，中小企业板块上涨阶段呈现高风险伴随高收益，而下跌阶段却是低收益伴随高风险。
8、对小公司效应异象的解释
在中国股市存在小盘股效应有其合理的背景。
（1）上市公司总体现今分红少，投资者股利收入较少，股市投资收益主要来源是资本利得。股价相关的税收政策对现金分红征收所得税，而对资本利得暂不征收所得税。使得投资者的投资收益更少，而投机者相对获利丰厚。表现为股价波动与公司经营业绩的弱相关性。
（2）中国股市没有卖空机制，引入机构投资者的理性获利模式就是集中投资，推高股价，再获利。中小企业板块具有得天独厚的优势，其便利性和号召力是大盘股不能比及的。由于小盘股股本规模较小，用相对较少的资金就能推动股价的变动，小盘股受价格操纵的可能性更大，表现为中小企业板块股票收益率波动明显大于深圳成份股股票。
（3）中国股市信息不对称现象严重，小盘股盘子小重组成本低、重组成功率高，通过重组可以给投资者带来经营效绩显著改善的预期，市场操纵者可以利用兼并重组等内幕信息推高股价，对于个体投资者，需要靠机构的力量推动股票的价格，获利的出路在于跟随机构投资者，从而使得投资小盘股在一定时期具有号召力。
（4）前景理论有限理性很好的解释了中小企业板块的这种现象。
首先由于我国证券市场处于改革调整的关键时期，整个股市处于低潮，股指接连创下近几年的新低，走势极为疲弱，市场内的机构投资者和个人投资者股票深度被套，大量资金游离在外，观望等待，对未来预期的不确定使得整个市场交投极为冷清，体现出投资者的一定理性，但无论是基本面还是技术面，读显示出市场的超跌，体现出投资者的非理性。
其次，中小企业板块上市不久，参差不齐，存在机构投资者操纵和投机现象，所选取的研究区间距离上市时间较短，上市后股票交易的市场定位未能有效确定，投资者信息的收集和消化受到时间、精力和自身内在条件的限制，即使在有限理性的条件下，有时也未必能够实践理，导致中小企业板块收益率偏低。
再次，小盘股个体投资者明显具有从众心理。由于小盘股盘子小，流动性较差，机构投资者大量资金的进出，势必引起其价格的剧烈波动，因此一有风吹草动，个体投资者便反应过度，无论在上涨还是下跌时均具有从众心理和过度反应，致使小盘股波动加剧，表现为中小企业板块收益率分布曲线明显要比深圳成指更陡，波动幅度更大，风险更高。上涨时收益率增加，同时风险较大。而下跌时，收益率减小却风险依然较大。这显示出投资者并非完全理性，而是情境理性。
三、结论
通过对中小企业板块和深圳成指在2004年6月25日——2005年4月1日期间周收率进行实证分析后，得到以下结论：
（1）我国股市中确实存在一定的“小公司效应”，即收益与流通股本规模呈负相关。但在我国股市中“小公司效应”只是一种金融异象并非普遍存在。由于我国股市处于改革调整的关键阶段，近年来一直较为疲软，所选取的研究区间处于“大熊市”阶段，因此在实证分析中股市下跌时没有表现出明显的小公司效应。
（2）运用行为金融理论可以对小公司效应做出合理的解释，主要是由于个体投资者存在从众心理，过度反应的特征。
（3）行为金融是传统金融理论的完善和修正，它能解释传统金融中不能解释的现象，但它不是对传统金融理论的颠覆。
总之，由于我国股市广大中小企业板块投资者大多为投机者，同时个体投资者数量多，由于其经济条件及背景，大多是风险厌恶者。当出现利好时表现为过度自信，出现利空时表现为反应过度，急于抛售，心理因素影响尤为显著。同时由于市场处于改革调整关键时期，市场信息不对称等原因，使得未来投资决策行为具有不确定性。投资者正如前景理论所假设的，是“社会人”，而非“经济人”，存在有限理性，表现为明显的“情境心理”，导致中小企业板块收益率波动较大，风险较高。
参考文献：
（1）乔齐姆?高德伯格,鲁狄格?冯?尼采.行为金融.第1版.北京：人民大学出版社,2004.6
（2）文凤华，马超群，胡春艳.从不确定性的研究看行为金融学的发展.探索，2005(01):50-53
（3）刘火，晃松.行为金融学挑战传统金融学.上海证券报2005-1-6
行情分析
五一小长假，花卉市场因节日的到来而价格有小的上涨，但基本不会对消费者的热情有很大影响。中高档鲜切花上市量增加了20％左右，价格上涨1 0％不等，主要以母亲节的用花康乃馨为主。
生产周期短、多季开花、花期持久的品种在五月比较畅销，如红绒球、三角梅、龙船花、扶桑等。此类苗木历来市场需求稳定，没有太大的变化，但各种造型产品因产量小，价格有所上涨。地被植物更新快，用量大，以木本或草本的小型花灌木最受欢迎；盆栽类五一期间销量有所上升但价格平稳：其他种类的苗木以8cm～10cm的中等乔木销得较好：观花树木如凤凰木、美人树、红花鸡蛋花等需求也有所下降，价格平稳：仙人球类盆栽则是供不应求，价格略有上涨，但有些品种有市无货。
5月下旬后，随着气温的升高，漳州的绿化苗木、盆栽、盆花销售量明显回落，鲜切花市场平稳，总体价格稳定在上个月的水平，但苗木中的黄金宝树因库存少，价格有所上升。
榕树、香樟、桂花、芒果、天竺桂、广玉兰、大花紫薇、杜英、垂叶榕等传统品种，各地都有充足的储量，但多为中小规格的苗木。胸径大于15cm的大苗十分紧缺，个别品种胸径大于10cm的苗都很少，造型良好的榕树、垂叶榕、龙爪槐、黑松、罗汉松等缺口更大，而大多数观赏棕榈植物进入了销售低潮。
资料来源：海峡花木在线()
11月，我们相聚台北――关于组团参观考察2010台北国际花卉博览会的通知
2006年11月，国际园艺家协会(AIPH)正式发函授权台北市政府与台湾花卉发展协会举办2010台北国际花卉博览会(A2／B1级)，台北市成为亚洲第七个经AIPH授权认证举办国际园艺博览会的城市。
经过四年的筹备，2010台北国际花卉博览会将于今年11月6日至2011年4月25日在台北市占地91.8公顷的花博园举行。以“彩花、流水、新视界”(Flower、River、New Horizon)为主题的台北国际花卉博览会，将全方位的展现台湾地区花卉园艺产业成就及国际花卉园艺产业的最新态势，是国内同行考察、学习和寻求合作的良好机会。
为进一步加强两岸花卉园艺界的合作与沟通，花木盆景杂志社将组团于11月初赴台参观2010台北国际花卉博览会并考察台湾地区花卉园艺产业。本次组团限额30人，请有意参加本次参观考察活动的单位和个人积极报名，以便及时办理相关手续；需要出具书面邀约函者请与本社联系。
具体行程安排另行通知。
关键词：欧式看涨期权；隐含波动率；BlackScholes方程；总变分正则化；Tikhonov正则化
中图分类号：O175.26 文献标识码：A
Total Variation Regularization Method for Determining Implied Volatility
WANG ShouLei,YANG Yufei
(College of Mathematics and Econometrics, Hunan Univ, Changsha, Hunan 410082, China)
Abstract: Implied volatilities are more efficient in the longterm prediction of volatilities than the series models. Solving the implied volatility is a typical PDE inverse problem. The traditional Tikhonov regularization method may oversmooth the solution. Considering the jump, overnight, weedend effect of the volatility and the advantage of the total variation regularization which preserve the edge of the restored image, we put the problem of determining the implied volatility into a parabolic equation of the terminal problem under the BlackScholes theoretical framework, propose the total variation regularization method and prove the existence to the solution.
Key words:European call options;implied volatility;BlackScholes equation;total variation regularization;Tikhonov regularization
波动率是金融经济分析中非常重要的变量, 投资组合选择、资产定价及风险管理等都离不开对波动率的准确度量. 传统的BlackScholes公式［1］以及新兴的美式期权定价公式中股价波动率的统计推断问题在金融方面有相当重要的应用, 一直是人们致力于研究的问题. BlackScholes理论体系中有一个假设, 认为原生资产波动率σ为常数. 然而在实际市场中, 波动率是变化的［2］.
不同敲定价格和不同期限的期权定价得到的原生资产的隐含波动率σ为S,t的二元函数. 如何运用期权市场的报价来获取有关未来原生资产波动率的信息是一个典型的PDE反问题, 也称为IPOP(the inverse problem of option pricing). 一般而言, 反问题是不适定的. 正则化策略是求解不适定反问题的一类重要方法, 而应用最广泛的是Tikhonov正则化方法, 通过加入的正则项对解进行约束或起稳定性的作用.
针对单变量σ=σ(S)的情形, Isakov, Ngnepieba和Jiang等建立了求解隐含波动率的Tikhonov正则化模型, 并给出了稳定性、解的存在(唯一)性等理论分析; 针对σ=σ(S,t)的情形，Lagnado和Osher, Carl等, Crepey, Egger和Engl等提出了求解隐含波动率的Tikhonov正则化策略. 然而, 传统的Tikhonov正则化方法可能改变原问题的实时性质( 求正则化近似解时, 用未来的值求现在的值 )或导致解的过度光滑化, 这些缺点在图像处理问题中表现为在复原图像边界处出现模糊. 为此, Rudin等［3］基于总变分(TV)正则化具有较好地保持图像边界的优点, 提出了下面的TVL2模型(也称为ROF模型):
min u∈Ωλ2u－f2L2(Ω)+|
SymbolQC@u|L1(Ω).
该模型能得到非光滑解, 因而能较好地保持复原图像锐利的边界.
考虑到TV正则化的优点, 本文结合TV正则化策略提出求解BlackScholes模型中隐含波动率的总变分正则化方法.主要研究如何运用BlackScholes理论框架, 从期权市场获取的信息去重构在风险中性测度意义下原生资产价格的过程, 也就是导出原生资产价格的隐含波动率.
1 总变分正则化方法
以欧式看涨期权为例, 本文只讨论σ依赖于S, 而与t无关的情形, 即σ(S,t)=σ(S). 在风险中性测度下, 原生资产价格演化的随机过程可修改为:
dSS=(r－q)dt+σ(S)dwt.
q为红利率,从而欧式看涨期权U(S,t,K,T)适合下列定解问题: 对于(S,t)∈R+×［0,T］, 有
Ut+12σ2(S)S22US2+(r－q)SUS－rU=0.(1)
U(S,t,K,T)|t=T=max (S－K,0)(S－K)+.
本文研究期权定价反问题, 即通过当前市场报价
U(S0,t,K,T)=U*(K,T),K∈R+,T＞0
湖南大学学报(自然科学版)2012年
第4期王守磊等:确定隐含波动率的总变分正则化方法
来确定σ(S). 该问题最早由Dupire［4］提出, 并得到σ的一个显示表达式, 但该表达式对数据的变化异常敏感, 是不适定的, 因此必须对它进行必要的修改. 该问题可表述为问题1:
设U(S,t,K,T)为欧式看涨期权的定价, U适合式(1), 当S=S0,t=0时, 已知
U(S0,t,K,T0)=U*(K),K∈R+,
式中T0＞0, U*(K)为关于K的已知函数, 如何确定σ=σ(S)?.
考虑到期权平均价格包含更多的市场信息, 问题1进一步修改为问题2:
设U(S,t,K,T)为欧式看涨期权的定价, 并且U适合式(1), 假设当S=S0,t=0时, 已知
1T0∫T0U(S0,t,K,T)dT=U*(K),K∈R+.
式中T0＞0, U*(K)为关于K的已知函数, 如何确定σ=σ(S)?.
式中:1T0∫T0U(S0,t,K,T)dT的金融意义是指0到T0这一段时间所有固定敲定价格和不同到期日的期权价格U的平均, 即平均期权价格.
对于问题2, 可按照Dupire提出的思路, 利用Green函数性质将其转化为一个“终端”控制问题:
设U(S,t,K,T)为欧式看涨期权的定价, 令
G(S,t,K,T)=2UK2,
则G满足
Gt+12σ2(S)S22GS2+(r－q)SGS－rG=0, (2)
G(S,t,K,T)=δ(K－S). (3)
因为δ(x)=δ(－x), 因此G(S,t,K,T)为式(2)的基本解. 因而G作为K和T的函数为式(2)的共轭问题的基本解, 即对T∈(t,+
SymboleB@)和K∈(t,+
SymboleB@)满足
GT=122K2(K2σ2(K)G)－(r－q)K(KG)－rG， (4)
G(S,t,K,T)|T=t=δ(K－S). (5)
对式(4)关于K进行两次积分, 可得
UT=12K2σ2(K)UKK－(r－q)KUK－qU,
U(S,t,K,T)|T=t=(S－K)+,
(T,K)∈(t,+
SymboleB@)×(0,
SymboleB@).
于是求σ=σ(S)的问题进一步转化为问题3：
U(K,T):=U(S0,0,K,T)满足定解问题：
UT=12K2σ2(K)UKK－(r－q)KUK－qU,
U(K,T)|T=0=(S0－K)+,
(T,K)∈(t,+
SymboleB@)×(0,
SymboleB@).
假设函数1T0∫T0U(S0,t,K,T)dT=U*(K)已知, 如何求σ=σ(S)?
作变换
y=ln KS0,τ=T,V(y,τ)=U(S0,0,K,T)S0,
并令a(y)=12σ2(K) (记T=T0), 实际市场中, 假设K为有界的, 即假设y∈［A,B］, 记区间为Ω,则V(y,τ)满足如下问题: 对于y∈Ω, τ∈(0,T］,有
Vτ－a(y)(Vyy－Vy)+(r－q)Vy+qV=0, (6)
V(y,0)=(1－ey)+,y∈Ω.(7)
1T∫T0V(y,τ)dτ=V*(y).
这里V*(y)=U*(K)S0.
本文将V(y,τ)看作关于a(y)的非线性算子并且假设它是连续的,基于波动率的跳跃性,隔夜周末效应等及总变分正则化方法在图像处理中的优点,提出求隐含波动率的总变分正则化方法:
求∈Λ使得
T()=min a∈Λ12∫Ω|1T∫T0V(y,τ)dτ－
V*(y)|2dy+N2J(a)+μ2G(a),
式中:
J(a)=∫Ω|
SymbolQC@a|dy,G(a)=∫Ω|
SymbolQC@a|2dy.
N和μ都是正则项系数, 当a为单变量函数时，
SymbolQC@为a',其它情形表示梯度算子, C为常数，Λ={a(y)|0≤a≤C,
SymbolQC@a∈Lp(Ω),1≤p≤2},V(y,τ)是式(6)和式(7)中任意给定a∈Λ所对应的解. 考虑到平坦区域|
SymbolQC@a|≈0, 利用|
SymbolQC@a|β=|
SymbolQC@a|2+β2代替|
SymbolQC@a|, 这里β为很小的数. 从而相应的总变分正则化问题修改为
T()=min a∈Λ12∫Ω|1T∫T0V(y,τ)dτ－
V*(y)|2dy+N2Jβ(a)+μ2G(a),(8)
式中:Jβ(a)=∫Ω|
SymbolQC@a|2+β2dy.
据Lp范数的定义, 极小化问题(8)等价于:
T()=min a∈Λ121T∫T0V(y,τ)dτ－V*(y)2L2(Ω)+
N2Jβ()+μ2
SymbolQC@a2L2(Ω), (9)
极小化问题式(9)与标准的Tikhonov正则化完全不同, 因为∫Ω|
SymbolQC@a|2+β2dy涉及到了无界变分. Groetsch［5］在Tikhonov方法基础上提出逼近无界变分算子的概念, 通过L(I+γL*L)－1La近似La, 其中L(I+γL*L)－1L:D(L)H1H2是从Hilbert空间H1映射到Hilbert空间H2的封闭无界线性算子.
这个“稳定”的算法中, L*为L的伴随算子(Hilbert空间H1和H2), γ为正则化参数. 通过引入Groetsch的思想来逼近极小化问题(9),
SymbolQC@a用稳定的近似Lγa=L(I+γL*L)－1La来代替, 其中L*是L的L2伴随, 这样式(9)就演变为如下极小值问题:
T()=min a∈Λ121T∫T0V(y,τ)dτ－V*(y)2L2(Ω)+
N2Jβγ(a)+μ2Gγ(a). (10)
我们也可以用其它有界算子来替代a
SymbolQC@a,例如差商和有限元方法。已知Ω=［A,B］为R中有界区域, 在接下来的存在性证明中进一步假设Lγ:L2(Ω)L2(Ω),γ＞0是有界线性算子.
2 解的存在性
引理1［6］若序列{an}弱收敛于a*, 则序列{an}对应于式(6)和式(7)的解{V(an)}弱收敛于V(a*).
引理2［7］设1≤q≤
SymboleB@. {fk}在Lq(Ω)中弱收敛于f, 当且仅当
1）{fk}在Lq(Ω)中有界;
2）lim k
SymboleB@∫Efkdx=∫Efdx对每个可测集EΩ成立.
推论1 若序列{an}有弱收敛的子序列{anl}, 则{an}相对应的{∫T0Vn(y,τ)dτ}亦有弱收敛子序列{∫T0Vnl(y,τ)dτ}.
定理1 对于极小化变分问题:
T()=min a∈Λ121T∫T0V(y,τ)dτ－V*(y)2L2(Ω)+
N2Jβγ(a)+μ2Gγ(a).
至少存在一个极小元∈Λ.
证明 假设不存在极小值, 则存在一组序列{an,Vn},使得
121T∫T0Vn(y,τ)dτ－V*(y)2L2(Ω)+
N2Jβγ(an)+μ2Gγ(an)q:=
inf a∈Λ{121T∫T0V(y,τ)dτ－V*(y)2L2(Ω)+
N2Jβγ(a)+μ2Gγ(a)}.
但对a∈Λ, 有
q＜121T∫T0V(y,τ)dτ－V*(y)2L2(Ω)+
N2Jβγ(a)+μ2Gγ(a),
即q为序列的下确界, 但序列不能取到q. 因为序列{an}在Lp(Ω)中有界, 所以它在Lp(Ω)中有弱收敛的序列{am}收敛于, 又因为我们假设Lγ是有界线性算子, 所以它在Lp(Ω)中同样弱连续Lγam收敛于Lγ, 并且对应的Vn有相应的弱收敛子列Vm收敛于, 由范数的弱下半连续性:
121T∫T0(y,τ)dτ－V*2L2(Ω)≤
12lim inf 1T∫T0Vm(y,τ)dτ－V*2L2(Ω),
∫Ω|Lγ|2dy≤lim inf ∫Ω|Lγam|2dy.
因此存在序列{am,Vm}的子序列组{aml,Vml}, 使得
lim l
SymboleB@1T∫T0Vml(y,τ)dτ－V*2L2(Ω)≤
lim m∈Ν inf 1T∫T0Vm(y,τ)dτ－V*2L2(Ω),
lim l
SymboleB@∫Ω|Lγaml|2dy≤lim m∈Ν∫Ω|Lγam|2dy.
根据文献［8］，凸函数f(x)=|x|2+β2满足
|x|2+β2=sup |y|≤1x・y+β1－|y|2.
则有
∫Ω|Lγ|2+β2≤sup v∈∫ΩL*γv+β1－|v|2,
式中v∈:={v∈L2(Ω,R):|v|≤1}.
对于所有的v∈
∫ΩL*γv+β1－|v|2=
lim l
SymboleB@∫ΩamlL*γv+β1－|v|2≤
lim sup l
SymboleB@∫Ω|Lγaml|2+β2,
进而有
∫Ω|Lγ|2+β2≤lim sup l
SymboleB@∫Ω|Lγaml|2+β2.
综上所述, 有
121T∫T0(y,τ)dτ－V*2L2(Ω)+
N2∫Ω|Lγ|2+β2dy+μ2∫Ω|Lγ|2dy≤
lim sup l
SymboleB@{121T∫T0Vml(y,τ)dτ－V*2L2(Ω)+
N2Jβγ(aml)+μ2Gγ(amm)}≤q.(11)
式(11)与假设矛盾. 所以存在极小值, 证毕.
3 结 论
以BlackScholes理论为框架, 从期权市场获取的信息去重构在风险中性测度下原生资产价格的过程, 在Tikhonov正则化方法的基础上, 将总变分正则化方法引入到隐含波动率的求解模型中, 提出了基于总变分正则化方法的最优控制模型;通过极小化目标函数来求解原生资产价格的隐含波动率, 并证明了解的存在性定理. 总变分正则化模型较Tikhonov正则化模型有利于保持跳变边缘, 从而更加精确地度量隐含波动率.参考文献
［1］ 姜礼尚. 期权定价的数学模型和方法［M］. 北京: 高等教育出版社,2003:74-193.
JIANG Lishang. Mathematical modeling and methods of option pricing ［M］. Beijing: Higher Education Press, 2003:74-193.(In Chinese)
［2］ FRANKS J R, SCHWARTZ E J. The stochastic behaviour of market variance implied in the price of index options［J］. Economics Journal, 1991,101: 1475-1460.
［3］ RUDIN L, OSHER S, FATEMI E. Nonlinear total variation based noise removal algorithms［J］. Physica D, 1992,60:259-268.
［4］ DUPIRE B. Pricing with a smile［J］. Risk, 1994,7:18-20.
［5］ GROETSCH C W. Spectral methods for linear inverse problems with unbounded operators［J］. Journal ofApproximation Theory, 1992,70:16-28.
［6］ EGGER H, ENGL H W. Tikhonov regularization applied to the inverse problem of option pricing: convergence analysis and rates［J］. Inverse Problem, 2005,21: 1027-1045.
［7］ 刑家省. 空间Lp中的弱收敛序列的一些性质［J］. 河南科学, 2001, 19(4):331-336.
不少人说，中国人赶走了旧的三座大山之后，又产生了新的“三座大山”。持续上涨的房价，摸不清底细的医疗费用，不断拔高的教育成本，成了国人心中的巨痛！几千年来，人们笃信“安居才能乐业”的信条，房子问题首当其冲。房价问题现在成了普通老百姓和各级政府特别是中央政府关注的焦点。这几年房价一直都在上涨，到2004年时理论界和房地产商关于房地产市场是否存在泡沫的争论达到了顶峰。但中央政府的行动已说明了一切：自2005年下半年以来，央行和国土资源部痛下杀手，分别采取了令房地产市场胆战心惊的包括加息、紧缩房地产信贷、收紧土地供应等若干措施，国家发改委也发出了几道令牌，但整个房地产市场在经过短暂的心焦后仍在我行我素，少数主导房地产市场的大城市的房价甚至出现了加速上扬的现象，市场出现了与中央宏观调控背道而驰的走势，这显然是不正常的，也是耐人寻味的。其结果直接导致了国务院在今年3月底下达了《关于切实稳定住房价格的通知》：“对住房价格上涨过快、控制措施不力，造成当地房地产市场大起大落，影响经济稳定运行和社会发展的地区，要追究相关责任人的责任。”通知中这样的表述，表明中央政府在一系列市场化的调节手段不甚奏效以后，已对房地产市场逆宏观调控而行的表现极为不满，中央政府不得不动用行政调控这一“尚方宝剑”。
笔者以为，房价问题实际上反映了地方政府与中央政府在房地产市场上的博弈。
博弈论研究的是博弈各方（决策主体）之间发生直接作用时的对策、选择及其均衡问题，即它主要研究理性主体之间的相互冲突（对抗、竞争）与合作。博弈依当事人是否达成具有约束力的协议，分为合作博弈与非合作博弈。合作博弈强调团体理性、效率、公正、公平；非合作博弈强调个人理性、个人最优决策，其结果可能是有效率的，也可能是无（低）效率的。博弈的基本概念包括局中人（参与者）、战略、支付函数（效用水平）、行动、信息、结果和均衡。其中局中人、战略、支付函数是描述一个博弈所需要的最少要素，行动、信息将三要素联系在一起；局中人、行动和结果统称为博弈规则。博弈按局中人行动的先后顺序可以划分为静态博弈和动态博弈，按局中人对其他局中人的特征、战略空间以及支付函数等知识的了解程度可以划分为完全信息博弈和不完全信息博弈。由于普遍存在的信息不对称问题使市场中的某些参与者拥有比另一些参与者更多的信息，从而导致在现行制度下的寻租行为并进而演变为市场的逆向选择和道德风险；同时，由于个人理性导致的集体非理性，致使制度制定者的良好愿望在实际工作中被歪曲，导致一系列有害市场的参与者行为，使制度的演进未能达到预期目的。现有市场格局的形成和参与者的选择都是基于利益最大化的理性市场参与者相互博弈后达成的均衡，尽管这一均衡价格并非合理和有效率。
在过去统收统支的税制下，高度集中的财政体制使地方政府在政策方面也高度依赖中央政府。然而，上个世纪90年代实行分税制改革以后，地方政府在税收上相应地有了自己的利益。分税制一方面赋予了地方政府发展经济的激励性动机，另一方面也赋予了地方与中央政府博弈的财政力量。而房地产作为不少地方的支柱产业，在地方GDP中贡献非常大；不仅如此，房地产对于其他产业的带动作用也不可小视；更主要的是来自于房地产业的财政收入在地方财政收入的增量中占有相当大的比重，这在一些房地产主导城市的财政收入构成中很容易就可以看出来；另外不少城市的管理者还认为房价的不断上涨有助于提升城市形象。
显然，一些地方政府和中央的目标函数并不总是一致的，特别是在房地产市场的调控上。在好多地方，财政收入和政府的土地收入几乎相当，提高土地价格，地方的财政收入自然也可以水涨船高。此外，房价上涨下的房地产是经济增长的一部分，对GDP增长的拉动巨大，这是政府官员政绩方面的强大动力所在。在这样的利益机制下，地方政府的最佳选择是不理会中央政府的宏观调控，以地方特殊为理由默许甚至暗中继续推动房地产快速发展，支持房价的提高，并在可能的情况下联合已买房的部分群众和投机商以保护群众利益为由制造舆论，采取“上有政策下有对策”的方式拒不执行中央政府的调控措施。
在这样的背景下，我们可以清晰地看到一些地方政府的有形之手是如何在房地产市场中“翻云覆雨”的。新华社今年3月16日曾经发过题为《“有形之手”岂能如此“操盘”》的评论：一家房地产公司的老板报料，某些城市房地产价格的过快增长是政府“操盘”的结果。因为卖地越多，政府“手头”越活；价格越高，收益越多。有个别城市为了抬高出让土地的价格，甚至特意请人当“托儿”，与外地投标企业竞价。按照道理，房价是由市场这只“看不见的手”调节的，但是现在地方政府的“有形之手”伸得太长，行政职能行使得“越了位”，这种不正当的竞争直接造成了房价一直高居不下的局面。
而中央政府呢，一直希望“居者有其屋”，整个社会和谐、秩序井然。总理在政府工作报告中如是说：“让百姓安居乐业是中国政府一以贯之的主张和行动方向，无论是以前的福利分房，还是到如今的要求加紧建设经济适用房、安居房，都是围绕一个目标：让百姓能拥有一片自己的天地。”也就是说，它更期待的是一个和谐的房地产市场和一个和谐的社会。一些地方政府无视中央的有关规定和宏观调控措施，按照自身的短期利益去规划房地产市场。这样的结果，不仅使广大群众的利益受损，也使整个房地产市场面临崩盘的危险。对房价的变化，中央政府当然不会坐视不管，但中央政府采用什么调控措施却一定程度上取决于地方政府。之前的调控土地供应、优化住房结构、以及相应的税收、金融等经济手段，中央政府都是想以此来确保房价与居民可支配的收入保持合适的比例。但是这些措施现在看来并没有太好的效果。
按照博弈论的观点，我们可以假设在中央政府对房地产市场的宏观调控中地方政府为了自身利益采取相似的行动，也就是作为一致行动人成为博弈的一方，而中央政府为了全国利益采取行动成为博弈的另一方，那么，双方的博弈大致就是一个有限次的轮流出价博弈模型。这一博弈过程由中央政府首先出价，然后双方通过不断出价来试图摸清对方的底牌，由于中央政府拥有对地方政府负责人的任免权，因而中央政府拥有最终出价权，地方政府在其负责人肯定不愿意为此葬送自己的政治前途的限制下最终注定会妥协。博弈的结果是只要中央政府有决心就一定会胜出。
因此，一些一直以来极力游说地方政府推高房价的房地产商一定要早日认清形势。你可以影响地方政府，但你却不见得能影响中央政府。而中央政府显然是决心已下。早在2005年4月，央行副行长吴晓灵谈到宏观调控时就表示，“地方不要和中央博弈，否则会导致更强硬措施，对大家都不好。”目前，已经有一些省份试行房地产成本价格公开，说明地方政府已经开始向中央政府和老百姓妥协；中央房价问责制度的出台，也正应验了吴晓灵这句话。显然，房价博弈的结果是不言自明的。
（作者单位：广东轻工职业技术学院）
