时间：2023-05-30 10:07:28
一、 “图形与变换”的教学内容、目标与课时
小学阶段“图形与变换”的教学内容主要有对称、平移和旋转，以及从变换的角度（指图形对称、平移与旋转三种基本变换）欣赏图形、设计图形。教材分三段出现，具体安排见表1。
二、 “图形与变换”的教学重点与难点
对于这部分知识的教学，重点有三个：一是对称、平移、旋转现象的认识与判断。“图形与变换”中最基本的三种现象是对称、平移和旋转，只有对这三种基本现象的特征有比较清晰的认识，图形的设计与欣赏教学才有可能展开；二是画图形的对称轴和一个简单图形经过平移、旋转后的图形。这是“图形与变换”知识的基本技能；三是说出基本图形经过平移、旋转与对称变化形成新图形的过程。把这个要求当做重点，是因为能说清楚图形的变化过程，说明学生就会欣赏图案，而设计与绘制图案必须建立在观察图案变化过程的基础之上。以上重点可以概括为“认”“画”“说”三个字。
根据几年的教学实践，“图形与变换”的教学难点主要有三个：一是数平移图形的单位数。学生容易把起点也当做平移的一个单位；二是表述图形平移或旋转的变化过程。学生在表述时出现的现象主要是不完整、不严密和使用数学语言不规范。如“图形A绕O点顺时针旋转90°得到图形B”，说成“图形A绕O点旋转90°得到”，或“图形转动了90°”等；三是图案设计与绘制。特别是动手能力与美术功底较差的学生，在这一点上很难达到基本的教学要求。
三、 “图形与变换”的教材编写意图与特点
学生通过折纸、玩纸风车、照镜子等活动，较早地积累了平移、旋转、对称等生活经验。生活中的许多现象，如开门、开窗户、电风扇转动等，以及植物的叶子、动物的身体、建筑物的造型等为学生认识平移、旋转与对称提供了丰富的素材。由于现实生活中图形变换的现象随处可见，对图形平移、旋转和对称这三种现象的数学解读，有助于学生了解二维空间里图形变换现象的基本特征。从变换的角度欣赏图形、设计图案，体验变换在现实生活中的广泛应用，对学生形成初步的空间观念，了解图形之间的联系，以及感受图案之美等方面，都具有非常重要的作用。基于以上思考，教材编写了这部分教学内容。
这部分教材的编写，有下列特点：
1. 通过图形实例展示，揭示图形变化的基本特征。如“对称图形”的教学，就是通过展示蜻蜓、蝴蝶等模型图，引导学生在观察中，获得图形对称现象的认识；“平移与旋转”的教学是通过游览车的平行移动与纸风车的旋转等现象的画面展示，来引导学生认识平移与旋转的基本特征。
2. 通过图形变化实例的展示，使学生知道一个（四年级上册）或多个（六年级上册）简单图形，在旋转、平移的过程中，能形成一个较复杂的图形。通过观察实例，体会图形变化的特点。
3. 通过观察、操作、想象等大量的实践活动，获得图形变换的直观体验。如三年级下册中折对称轴、观察对称图形，画出平移后的图形，四、六年级的图案设计与欣赏等，都安排了大量的实践活动，以使学生获得图形变化的感性认识。
4. 联系生活中的变化现象，理解图形变化的基本特征。学生已经积累了大量的对称、平移、旋转现象的生活经验，教材中随内容的安排，适时与学生的已有经验联系起来，如“照镜子”“观察树叶”“设计花瓣图案”等随处可见，使教学活动能基于经验、升华经验，建立表象，便于学生理解掌握图形变化的基本特征。
四、 “图形与变换”的教学要求
1. 借助生活现象认识图形的三种基本变换现象。由于生活中变换现象非常普遍，又非常动感直观，小学生喜闻乐见，所以教学中教师要充分应用生活中儿童熟悉的变换现象，引导学生认识图形对称、平移和旋转三种基本变换现象。
2. 重视引导学生在方格纸上画出简单图形经变换后的图形。从变换的物质世界过渡到图形世界，归纳出图形变换的三种基本现象，是本部分知识教学的基本要求之一，但是仅停留在现象认识的表层是远远不够的。当学生获得对称、平移与旋转的初步认识之后，要求学生在方格纸上画出简单图形经变换（对称、平移或旋转）后的图形，是引导学生从图形变换的感性认识上升到理性认识的过程，也是“横向数学化”（“横向数学化”是指从生活或情境到数学的过程；从数学到数学的过程叫做“纵向数学化”）的过程，这是“图形与变换”教学中非常重要的任务，必须引起教师的足够重视。
3. 灵活应用轴对称、平移和旋转的变化方法进行图案的综合设计。许多复杂的图案都不是由单一的变化现象得来的，随着年级的升高，特别是在六年级上学期，必须要求学生会灵活应用对称、平移和旋转三种基本变化方法，进行图案的综合设计。有些图案的设计还可以与比的知识结合起来进行。有条件的学校，还可以利用电脑引导学生设计出更精美、更复杂的图案。
4. 欣赏并体验图形变换在现实生活中的广泛应用。由于这部分知识无论在家庭、学校或社会，无论在植物、动物、人体或建筑等方面，都联系紧密、应用广泛，所以要求教师在教学时应注意联系生活、联系实际，引导学生欣赏体验。
五、 “图形与变换”教学时要注意的问题
1. “图形与变换”这部分知识的教学定位要与美术教学区别开来。美术教学的主要任务是发现美、欣赏美、创造美，在应用图形对称、平移与旋转的变化方法进行美术创作时，主要是突出美术方法的应用与再现对称、平移与旋转图案的美感要求；而数学教学的主要任务是发现、解释生活中图形变化的数学现象，培养空间观念，以及应用图形对称、平移与旋转的变换方法解决数学问题。两者在欣赏与图案设计方面有相同的教学要求，却有不同的教学价值追求。特别要指出，美术视觉上的对称、平移与旋转图案与数学上的对称、平移与旋转图案有本质的不同，前者是视觉感受图案，如同样是平移连续图案，后一幅图与前一幅图可以有大有小，这是视觉原理在平移中的应用；后者是精确等值图案，如平移连续图案，每一幅图的大小、形状一定是完全一样的。
2. 学生画平移与旋转后的图形，都要求在方格纸上进行，并有一定的规则。不借助方格纸要求学生画变换后的图形或图案，是不规范的超越《课标（实验稿）》的要求（美术教学没有这样的要求）。平移图形只要求在上下与左右两个方向进行；旋转要求围绕一个中心点，按顺（反）时针来进行。
3. 图案的设计要求学生带好画图工具。如尺子、彩色原料盒、画笔等。教师还可以准备一些有底板的画图用纸，发给学生，以提高图案设计的效果。
4. 向美术教师了解学生的美术基础，提高学生的图案设计能力。图案设计是本部分知识的教学难点之一，除对称、平移与旋转三种图形变换的基本特征掌握程度会影响学生的图案设计水平之外，其美术基础与动手能力也将影响到学生绘制精美图案的水平，所以教师在图案设计教学时，要弄清学生的美术基础，以便因材施教。
梳理图形变换问题时，应尽量做到题型全面、方法系统化，尤其是：一要借助数形结合的方法理解题意；二要掌握相关的数学思想，能熟练用于解题；三要注意从运动过程中的特殊情况入手，找寻解题思路和解题方法，同时注意特殊情形与一般情形相结合.下面例谈几点体会：
一、关注图形变换中的基本概念与基本性质
图形变换的基本性质各具特色，通过设置单一的图形变换，关注图形变换中核心元素的变化规律，突显基础知识的应用.
例如，点P是正方形ABCD内的一点，PA=1，PB=2，PC=3，将 ABP按顺时针方向旋转，使点A与点C重合，此时点P旋转到了G点.
（1）说出此时 APB绕点B旋转了多少度？
（2）连结PG，求PG的长；
（3）猜想 PGC的形状，并说明理由；
（4）试求 APB的度数.
解：（1） APB绕B点顺时针旋转于90 .
（2）连结PG，由旋转的性质可知：BG=BP=2，且 PBG= ABC=90 ，由勾股定理得PG= .
（3） PGC为直角三角形.理由：由旋转的性质可知：GC=AP=1，由（2）可知：PG= ，又由已知得PC=3，故 ，所以 PGC为直角三角形，且 PGC=90 .
（4）由（2）可知： PBG为等腰直角三角形，所以 PGB=45 ，由（3）知： PGC=90 ，所以 BGC= BGP+ PGC=45 +90 =135 ，由旋转的性质可知： APB= CGB=135 .
本题借助于几何直观分别凸显了对图形变换前后对应点、对应线段、对应角的关系等变换性质中的核心元素的识别，体现了旋转图形的方向、角度，结合利用三角形的内角和定理、勾股定理等，涉及到几何的基础知识.
变式题：如图，点P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将 PAC绕A点逆时针旋转后得到 P′AB.求：
（1）点P与点P′之间的距离；
（2）求 APB的度数.
解析：（1）连PP′，由旋转的性质得P′A=PA=6， P′AB= PAC，
P′AP= BAC=60 ， P′AP为等边三角形，PP′=AP′=AP=6.
（2）在 P′BP中，由旋转的性质得P′B=PC=10，又PP′=6，PB=8，
P′P2+PB2=62+82=100=P′B2， P′PB为直角三角形，且 P′PB=90 ，
APB= APP′+ BPP′=60 +90 =150 .
二、突出图形变换在构造探索题中的作用
一些题目以图形变换为问题，使几何图形由静态到动态，丰富了图形间的位置关系
和数量关系，经过探索论证各种几何关系，通过这类问题解答可以提高学生的综合能力.
例如，已知 ABC的面积为3，且AB=AC，现将 ABC沿CA方向平移CA长度得到 EFA.
（1）求 ABC扫过的图形的面积S；
（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；
（3）若 BEC=15 ，求AC的长.
解：（1）连结BF，易得BF=AE，BA=FE，所以四边形BFEA为平行四边形，且SABFE=2S EFA=2S ABC，故S= S ABC+SABFE=3+6=9.
（2）由（1）知四边形ABFE为平行四边形，又AE=AC=AB，所以ABFE为菱形，所以AF与BE相互垂直.
（3）由 BEC=15 ，AE=AB得 BAC=2 BEC=30 ，过B点作BD AC于D点，则BD= AB= AC，又S ABC= AC·BD= AC· AC= AC2=3，所以AC2=12，所以AC= （负值舍去）.
本题利用图形的平移探索基本数量关系，体现了对观察、猜测、验证、推理过程，由平移前后线段扫过的面积的形状，利用特殊四边形的性质判断直线的位置关系，利用三角形的面积公式求线段，在一定程度上可以提升学生的数学素养.
变式题：如图1在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于O点.
（1）画出 AOB平移后的三角形DEC，其平移方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长；
（2）试判断上题中四边形CODE的形状，并说明理由；
（3）当四边形ABCD是什么四边形时，（2）中的四边形CODE为正方形？
三、重视图形变换在构造综合问题中的应用
通过数学综合题，设置探索图形变换中的数量规律问题，或者研究图形变换的全过
程来实现对学生数学思想和基本活动经验的培养.
例如，如图正方形ABCD的边长为5cm，在Rt EFG中， ，FG=4cm，EG=3cm，且点B、F、C、G都在直线 上， EFG由点F与点C重合的位置开始沿直线 以1cm/s的速度向左做匀速直线运动.
（1）求点E运动到CD上和运动到AB上的时间；
（2）设 秒后， EFG与正方形ABCD重叠部分的面积为 cm2，求 与 的函数关系式（其中 ）
解（1）因为FG=4cm，BC=5cm，所以点E到CD上的时间为 （秒），点E到AB上的时间为： （秒）
（2）设 秒后，EF交CD于H点，则FC= cm，易知 FCH∽ FGE，所以 ， ， ， （ ）.
这一轮课程改革,对几何作了较大幅度的调整,印象较深之一是加强了"几何变换"的内容,即从变换的角度去认识传统几何中的证题术。初中几何涉及的变换主要有平移、对称和旋转,本文从"旋转"这一角度举些例子,供大家参考。
我们知道,图形的旋转变换不改变图形的形状、大小,只改变图形的位置,故解题时可充分利用图形的旋转变换的这一特点,把图形位置进行改变,从而达到优化图形结构,进一步整合图形〔题设〕信息的目的,使较为复杂的问题得以顺利求解。
例1、如图〔1〕分别以正方形ABCD的边AB、AD为直径画半圆,若正方形的边长为 ,求阴影部分的面积。
解:连AC、BD如右图,则绕AD中点将图中②逆时针旋转 到图中③,将图中①绕AB中点顺时针方向旋转 到图中④,则原图中阴影部分的面积就和DBC的面积相等,所以图中阴影部分的面积=SDCB = S 正方形ABCD= 。这里我们用旋转变换的方法改变了图中①和②的位置,从而顺利地完成了计算。
例2、如图⑵所示,在ABC中,AB=AC,∠BAC= ,D是BC上任一点,试说明 。
证法一(非旋转法):过A点作
AEBC于E,如图⑶,则容易证明AE=BE=EC,
又BD=BE-DE,DC=CE+DE,
所以 , ,
所以 = + = ,而在直角三角形ADE中,存在 ,所以 ,这是传统的证明方法。
本题考虑到BD、DC、AD三线段分散在两个三角形中,而且构成平方和的条件不明显,若利用旋转变换,将BD、DC放到一个三角形中,若这个三角形是直角三角形,则创造 就更能接近所证的目标了.
证法二(旋转法): 将ADC绕A点顺时针方向旋转 到AEB,如图⑷, 连DE, 易知ADE、DBE均为直角三角形,且AE=AD,BE=DC, 所以在RtEBD中有 ,
在RtAED中有 ,所以 。
例3、 如图⑸所示,P为正方形内一点,且PA=1,BP=2,PC=3,求∠APB的大小
解: 如图(6),将BPC绕B点逆时针旋转 到BEA, 连EP易知∠PBE= 且AE=PC=3 BE=BP=2,在RtBEP中, ,
且∠EPB= ,在AEP中 ,又 ,所以APE是直角三角形,即∠APE= ,∠APB=∠APE+∠EPB= + = ,即∠APB为。
传统几何中,有许多旋转的例子,尤其是正方形和等腰三角形中。如图(7),正方形ABCD的边长为1,AB、AD上各有一点P、Q,如果APQ的周长为2,求∠PCQ的度数。
将CDQ绕C点逆时针旋转90°像图(8)那样,立刻可得QA+AB+BE=2,由APQ周长为2得 PQ=PE,进一步可得CPQ≌CPE,∠PCQ=∠PCE,又∠QCE=90°,所以∠PCQ=45°。
又如图(9),ABC中,AB=AC,P为三角形内一点,且∠APB>∠APC,求证:PC>PB。
将APB绕A点逆时针旋转成右图那样,不难得到条件∠APB>∠APC变成了∠PQC>∠QPC,从而PC>CQ,由旋转关系,PC>PB。
最能体现旋转法的莫过于下面这个问题了:如图(10),四边形ABCD中,AB=AD,∠A=∠C=90°,其面积为16,求A到BC的距离。通过旋转变换,将图(10)变成图(11),答案可以脱口而出:距离为4!
类似的例子可以举出许多,这里不再赘述。
摘 要 基于数学形态变换理论与方法，针对低信噪比的小目标、点目标图像，通过膨胀、腐蚀、开、闭等基本形态变换及其组合变换，实现低信噪比的图像的滤波，去除噪声；提取信号峰值，实现微弱信号的放大和增强，提高图像的识别特征。理论分析和试验结果表明该算法对低信噪比的荧光图像有很强的适应性，可用于生物医学荧光图像的处理。
关键字 图像处理，滤波，形态学
一、图形平移变换的理论和应用
1. 理论引入
图形平移变换就是在同一平面内对相关点、线或者是面进行平移，平移的过程中，移动的点、线、面上的各点都具有相同的移动向量. 除了需要运用平移解决问题，学生还需要掌握平移作图技巧，实践作图过程，有效结合现实生活中的图形平移变换进行欣赏、分析与运用，实施简单图案的设计，提升学生综合能力.
2. 案例说明
2.1 案例分析
例1 在右图六边形ABCDEF中，AB∥ED，AF∥CD，BC∥FE，AB = ED，AF = CD，BC = EF，又有对角线FDBD，FD，BD长度分别为24 cm，18 cm，求该六边形的面积？
分析过程 题目中实质上给出了三对平行且相等的线段组AB与ED、AF与CD、EF与BC，该六边形图形面积的计算首先想到了分割图形，而实质解答过程中，题目中给出的数据又只有两个，如何将有用的已知数据与这三组平行且相等结合起来，就需要运用到平移知识.
2.2 案例解答
将BCD平移到GAF位置，作出右图辅助线进行分析. 由GA与CD平行且相等，传递出GA与EF也平行且相等，而同时AB与ED也平行且相等，所以GAB与FED也是两个大小形状相同的三角形. 所以六边形ABCDEF的面积可以划分为三部分四边形ABDE、BCD、DEF，转换为三部分四边形ABDE、GAF、GAB，结合FDBD，得出六边形ABCDEF面积为S = FD × BD = 24 × 18 = 432 cm2.
2.3 案例总结
在初中数学相关图形面积计算、几何证明、代数式证明相关问题的解答过程中，图形的平移变换起到了画龙点睛的作用，有效将图形进行巧妙分割与组合，使得解题过程更加方便快捷.
二、图形轴对称变换的理论和应用
1. 理论引入
关于轴对称相关问题比较多，主要是关于图形轴对称识别、转换之后的计算等. 考查问题一般为将简单的平面图形经过一次、二次或者更多次的轴对称之后其变换后图形，或者结合轴对称的相关性质分析纸片的折叠、添加小方块后构成轴对称等.
2. 案例说明
2.1 案例分析
例2 将右图添加一个小方块，使得其构成轴对称图形，请用三种方法添加.
例3 将矩形ABCD沿着AE直线折叠，使得D点落在BC边上F点处，CE = 3 cm，AB = 8 cm，求右图中阴影部分面积为多少？
分析过程 例2是简单的添加方块的题目，结合轴对称的性质就可以得到相关答案. 例3是与轴对称相关的图形对称与面积计算相关问题，解答过程中，需要分析出对称轴、对称轴引出的图形中线段相关关系，以及要求出面积可以划分为几个部分等.
2.2 案例解答
例4 结合图形中对称轴为AE，可以知道，EF = DE，AD = AF，所以也可以得出，DC = DE + EC，也就是8 = DE + 3，得出DE = 5 cm = EF. EFC中，由勾股定理得出CF = 4 cm. 结合ABF中，AF2 = AB2 + BF2，且AF = AD = BF + 4，得出BF = 6，阴影部分面积为EFC与ABF面积之和. 计算出为30 cm2.
2.3 案例总结
对于例2，这是一道简单的轴对称性质分析的题目，例3是关于平行四边形折痕的相关问题，结合折叠前后这两个三角形全等，很容易的可以发现相关相等线段，再运用勾股定理就可以得出相关线段长度. 图形变换中的折叠问题，是轴对称图形中的重要考法，立意新颖，对培养学生的识图能力、分析能力、灵活转换等能力有重要作用.
三、图形旋转变换的理论和应用
1. 理论引入
旋转变换是基于中心对称变换的相关问题，它的理论基础是将一个图形基于某一点进行旋转，或者是分析两个图形甚至多个图形的旋转对称问题. 每个点经过旋转后都能找到对应点，同时，每对对应点与旋转中心，都能构成旋转角. 关于旋转问题的应用与考察，一般是有关旋转变换的证明问题、计算问题等，进行简单的作图、图案设计等.
2. 案例说明
2.1 案例分析
例5 右图等边ABC内有一点P，PA = 2，PC = 4，PB = 2，求BC的长.
分析 如果只是观察原始图形，可能会感觉到无从下手，三个已知线段长度都不在一个小三角内，而内部点P具有随意性，而结合图形变换中的旋转变换方法，就可以实现问题解决.
2.2 案例解答
等边ABC，将PBA绕着点B旋转60°，旋转到虚线位置，由旋转可以知道BM = BP，MC = PA. 结合等边三角形以及旋转角度∠MBC与∠PBA相等，从而∠MBP = 60°，结合BM = BP，得出等边BMP，PM = PB = 2，CMP中，结合线段关系MC = PA = 2，PM = 2，PC = 4，得PC2 = MC2 + MP2，∠CMP = 90°，∠CPM = 30°，结合∠MPB = 60°，得出∠CPB = 90°，由勾股定理求出BC = 2.
一、建构主义基本理论
建构主义理论提倡在教师指导下的以学习者为中心的学习，教师是意义建构的帮助者、促进者，而不是知识的传授者与灌输者。
二、几何图形变换的教学策略分析
【例1】（阅读理解式的几何模型问题），如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=3，PC=1.求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长.甲同学的思路是：将BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）然后求解。如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=5，BP=2，PC=1.求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长。
学生在遇到这样的问题时，通常学生会认为无从下手，但是这时教师首先要树立学生的自信心，从题目所给材料出发，寻找建立模型的突破口。材料中小明的做法是通过图形的旋转来解决问题的，关键是旋转的角度是60度，此时教师要重点向学生提出质疑：为什么旋转的是60度？如果旋转的是30度、45度又会如何？引导学生主动发现旋转60度的玄机就是：题目中原来大图形是等边三角形，需要用60度去构造另一个等边三角形。此时，教师注意引导学生观察所求的问题中原图形是有什么特征的图形，旋转角度定为多少才更合适？学生自己观察会发现，所求题目中原图是一个正方形，这样只有旋转90度才能成功构造一个直角三角形，从而解决问题。
解：如图，将BPC绕点B逆时针旋转90°，得BP′A，则BPC≌BP′A。
∠BPC=∠AP′B=135°。得AB=5。即∠BPC=135°，正方形边长为5。
对于一些材料问题，大部分学生将实际问题转化为数学问题的能力偏低，教师必须要教会学生通过阅读理解根据自己的建构准确地将文字语言转化为数学符号语言，这一点恰恰是教学的一个盲点，学生即使阅读了问题，也没有办法将文字语言转化为数学语言，这要求教师在课堂教学中要注意指导学生在阅读中通过想象、联想、思考等活动将阅读的内容与所学知识联系到一起，坚持不懈地训练，学生一定会养成良好的阅读理解能力。笔者在读期间一直做中学数学家教，曾经教过初一到初三16个学生，这16名学生基础参差不齐，有期末考试可以得115分的高分学员有只靠42分的后进生学员，但是他们大多数存在一个问题，就是不愿意做阅读类题目，当遇到阅读信息题，或者是探究类题目时会在没有做题前就产生抵触情绪，宁可多做几道纯数学题。甚至在阅读期间由于字太多不能理解而被气哭了，但是事后我们曾经交流过这样的原因：学生说，她读不懂是什么意思，不知道那么多字是什么意思，即使读了也不明白和以前学习过的知识有什么联系，不知道从何下手，不会提取文字中的信息，好胜心强就被气哭了。这位学生就是得115分的高分生，在这之后我也让其他的学员练习了这道题，但是他们都说老师太长了，考试不能考，再说了我这样的水平只要做简单的题就行了，这么难的题我不会也可以的。
学生没有尝试就直接放弃了，这其中有太多的问题存在，有学生对自己能力的否定，当然也有学生学习的惰性，但是更多地是学生对阅读类题目的陌生，学生通常认为考试不会出这样的题，应试教育导致了建模课程的开展困难，因此教师必须要端正学生学习的态度，加强学生阅读能力。在解决问题时，只有理解了题目的内容，才能真正解决它，才会更自主去学习数学知识。教师在进行几何图形变换教学时，教师应该加强课本教材的钻研、为学生创设自主建构学习情境、培养学生几何图形转换能力、注重发展学生的非智力因素。
（作者单位：延边大学理学院）
关键词：初中数学；“几何变换”；内容与考法
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）07-0093
随着教育教学改革的深入发展，现代数学思想也随之不断渗透，几何变换以运动变换的观点研究几何问题，体现了“形”与“数”的知识融合，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决，逐渐成为中考考查热点、重点，它的数学思想已越来越引起人们的重视和关注。明确“几何变换”的内容本质特点及中考测试点，有利于提高教学与复习效率。
一、内容剖析
1. 知识结构
2. 知识要点
全等变换问题（轴对称、平移、旋转）全等变换：是指不改变图形形状与大小的变换。
首先要理解运用这种变换的一些基本情况：
（1）按指令语言，按规定的变换移动图形；
（2）按指令语言拼接图形；
（3）根据题目的需要设计变换（需要理解变换的条件与相应的方式与方法；需要解读好题目的直接或隐含的条件）。
相似变换问题。位似变换：是指不改变图形形状只改变图形大小的变换。
由于相似的知识不是建立在以平行线为依据的前提下，所以我们对图形的认识是建立在位似变换的基础之上的，即从位似化为相似，也就是说需要先从相似的角度认识问题.从新课标的角度讲相似问题的知识只是要求为基本认识，纯推理的问题相对困难，所以我们对这部分知识的定位是以数量计算为主要对象的。
等积变换问题。等积变换：是指不改变图形大小只改变图形形状的变换。
这是新课标在重视几何变换的前提下与实际问题相结合而形成的问题，它主要体现在以下问题中：①图形在不改变大小的情况下的移动；②图形的分割与组合；③图形的拼接。
3. 主要思想方法
轴对称你变换：轴对称是平面到自身的变换，若存在一条定直线l，使对于平面上的每一点P及其对应点P′，其连线PP′都被定直线l垂直平分，则称这种变换为轴对称变换，定直线l称为对称轴。轴对称变换有如下性质：（1）把图形变为与之全等的图形；（2）关于l对称的两点连线被l垂直平分。
证题过程中使用翻折变换，可保留原有图形的性质，且使原来分散条件相对集中，以利于问题的解决。
平移变换：平移变换是平面到自身的变换，将平面上任一点P变换到P′，使得：（1）射线PP′有给定的方向；（2）线段PP′有给定的长度，则称这种变换为平移变换。在平移变换下，图形变为与之全等的图形，直线变为与之平行的直线。
在解几何问题时，常利用平移变换使分散的条件集中在一起，具有更紧凑的位置关系或变换成更简单的基本图形。
下面是一些常用到的平移变换的特殊情形：（1）与定长、定向的线段有关的问题，常作平移；（2）与梯形、正方形有关的问题，常可利用梯形、正方形的特性作平移。
旋转变换：旋转变换是平面到它自身的变换，使原点O变换到它自身，其他任何点X变到X′，使得：（1）OX′=OX；（2）∠XOX′=θ（定角），则称这样的变换为旋转变换，O称为旋转中心 。旋转变换保持图形全等，但图形方位可能有变化。在几何解题中，旋转的作用是使原有图形的性质得以保持，但改变其位置，使能组合成新的有利论证的图形。
在运用旋转变换解几何题时，注意下面一些特殊情形：
（1）与等腰三角形有关的问题，常取顶角的顶点为旋转中心，作旋转变换；
（2）与正三角形（或正方形）有关的问题，常可利用正三角形（或正方形）的特性作旋转变换；
（3）与圆有关的问题，常取圆心为旋转中心作旋转变换。
当图形中存在（或适当添加辅助线之后存在）等线段、特别角、全等形、正多边形等情况时，常常可以试探作一个有用的旋转变换，使得这个变换带来新的全等形、相等的线段、相等的角等，从而将巳知条件相对集中，以利于问题的解决。
位似变换：位似变换是两个图形不但相似，且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这就是位似图形。（初中数学中考中暂不命题）
等积变换：等积变换是指在解某些几何问题时，通过几何图形的面积相等，相互间进行转换，从而使问题得到解决。
4. 重点与难点
几何变换的重点：了解图形轴对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换的概念；会按要求作出简面图形经轴对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换后所得的像；理解轴对称变换、平移变换、旋转变换的性质：均不改变原图形的形状和大小；了解图形相似变换的性质；通过对图形变换的欣赏和探索，使学生体会图形变换在现实生活的存在，激发学生的数学学习兴趣，增强审美观念，培养学生的科学探究精神。
几何变换的难点：平移变换得根据所提供的平移方向和移动的距离两个条件作图；旋转变换得根据旋转中心、旋转的方向和角度三个条件作图，“以局部带整体”的作图思想方法，进一步发展学生的空间观念；能利用轴对称、平移、旋转等方法绘制精美的图案。
二、考法剖析
几何变换以运动变换的观点研究几何问题，体现了“形”与“数”的知识融合，逐渐成为中考考查热点、重点，提高了学生运用几何变换的思想分析、解决问题的能力，它的数学思想已越来越引起人们的重视和关注。
1. 概念性问题――考查学生的基本概念
例1. （2015北京市中考题） 剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（ ）
例2. （2015年哈尔滨市中考题）如图，在RtABC中，BAC=90°，将ABC绕点A顺时针旋转90°后得到AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接C。若CC′B′=32°，则B的大小是（ ）
A . 32° B. 64° C. 77° D. 87°
2. 开放性问题――考查学生的创造能力
例3. 已知每个网格中小正方形的边长都是1，图1中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成。
（1）填空：图1中阴影部分的面积是 （结果保留π）；
（2）请你在图2中以图1为基本图案，借助轴对称、平移或旋转设计一个完整的花边图案（要求至少含有两种图形变换）。
这类开放题不同于在固定条件下研究固定结论，学生可以从日常生活、生产或学习中多角度、多层次、多侧面地思考问题，发展学生的求异思维，对于激发学生的学习兴趣，发挥学生的主体精神，考查学生的个体很有益处。
3. 应用性问题――考查学生的综合应用能力
例4. （2015年葫芦岛中考题）如图，在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此规律继续下去，则矩形ABnCnCn-1的面积为 。
例5. （2015年庆阳市中考题）在如图所示的平面直角坐标系中，OA1B1是边长为2的等边三角形，作B2A2B1与OA1B1关于点B1成中心对称，再作B2A3B3与B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（ ）
4. 探究性问题――考查学生的分析能力
例6. （2015年岳阳市中考题）已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点。
（1）操作发现：直线lm，ln，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系： 。
（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
二、教学过程简录
第一阶段:旨在“资源生成”的“有向开放”——预习基础上的交互反馈
第1步:课前预习——自主探索
课前,教师设计如下的“先行组织者”,要求学生课前预习(允许合作研讨).
(1)先指出下列图形的运动特点(从ABC到A′B′C′),再按运动特点将其分类.
(2)生活中有类似于图3、图5的运动现象吗?如果有的话,请你举出尽可能多的生活实例!
(3)通过经历上述观察、分类、举例的过程,对图3、图5的这类运动现象有何感触?
第2步:汇报交流——交互反馈
上课一开始,教师出示课前布置的问题,并要求学生汇报预习成果.同时教师倾听学生的汇报、交流,必要时,教师进行追问、激励、评析.在此基础上教师进行总结:
(1)图1与图4,图形的运动特点是翻折(运动前后的两个图形关于某条直线成轴对称);图2与图6,图形的运动特点是定向移动(运动前后的两个图形的对应点连线平行);图3与图5,图形的运动特点是绕定点旋转(运动前后的两个图形的对应点旋转相同的角度).
(2)图形的旋转运动具有丰富的现实情景,如“电风扇叶片的转动”、“钟表分针的转动”、“螺旋桨叶片的转动”、“钟摆的转动”等.
(3)生活中旋转现象具有广泛的存在性;图形旋转是物体旋转运动的数学抽象?图形旋转能使局部的图形变成整体的图形,能使分散的图形集中起来,能使分散的条件相互沟通.
第二阶段:旨在“发展思维”的“互动生成”——研讨基础上的综合概括
第3步:引导探究——合作研讨
正因为这样的图形改变(旋转)有丰富的现实情景和广泛的应用价值,就决定了从数学角度研究这样的图形改变的必要性.这节课的研究对象就是这样的图形改变(旋转).(揭示课题)
接着,教师依次提出以下3个挑战性的问题,要求学生合作研讨并发表自己的观点.
问题1 如图3、图5,这样的图形改变(旋转)的本质特征是什么?你是怎样发现的?如果回答这个问题有困难,请先思考:①图形是由点组成的,图形运动能否看成是图形上点的运动?②考察图形上点运动特征的策略是什么?
学生独立学习(允许合作研讨),教师巡视指导,约2分钟后进行交流、评析.
问题2 怎样确定图形改变后的新图形?如图7,O是ABC外的一点.怎样作ABC绕定点O按逆时针方向旋转60°后的图形?
学生独立学习(允许合作研讨),教师巡视指导,约2分钟后进行交流、示范.
问题3 ①分别指出图3、图5和图8改变前后两个图形的对应点、对应边、对应角?②问:改变前后两个图形有哪些不变关系(位置关系或数量关系)?(提示:可从整体(着眼于图形)和局部(着眼于边、角、点)多个视角进行观察)
学生独立学习(允许合作研讨),教师巡视指导,约3分钟后进行交流、评析.
第4步:建构理论——综合概括
在此基础上,教师引导学生概括得出旋转变换的概念、确定旋转变换后像的方法、旋转变换的性质、旋转变换蕴涵的思维方法和思想方法及“三种几何变换”的异同.
(1)旋转变换的概念:由一个图形改变为另一个图形,在改变的过程中,原图形上的所有点都绕一个固定的点,按同一个方向(按顺时针,或逆时针),转动(作圆周运动)同一个角度,这样的图形改变叫做图形的旋转变换,简称旋转.这个固定点叫做旋转中心,旋转的角度叫做旋转角,经变换所得的新图形叫做原图形的像.
(2)确定旋转变换后像的方法:①操作法——图形整体旋转(依据是旋转的含义).这种方法的优点是直观,缺点是操作不方便;②作图法——图形旋转化归为点旋转(依据是旋转的特征),这种方法的优点是操作方便(更有“数学味”),缺点是抽象.两种思想方法都有应用价值,不可偏废.
(3)旋转变换的性质:旋转变换不改变图形的形状和大小——旋转前后的两个图形的对应边相等、对应角相等;对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.旋转变换前后的两个图形的不变关系是进一步认识几何的理论基础.
(4)旋转变换蕴涵的思维方法:一般到特殊(图形运动点运动特殊点运动)和特殊到一般(特殊点运动点运动图形运动);旋转变换蕴涵的思想方法:通过图形旋转运动将局部的图形变成整体的图形,将分散的图形集中起来,将分散的条件相互沟通.这些思维方法和思想方法具有广泛的应用价值.
(5)“三种几何变换”的异同:轴对称变换、平移变换、旋转变换的相同点:①它们都是过程性概念,描述的是图形运动;②它们变换前后的两个图形的形状、大小都不变;③它们蕴涵的思维方法和思想方法都相同.轴对称变换、平移变换、旋转变换的不同点:①它们图形运动的特点不同——轴对称变换的运动
特点是翻折,平移变换 的运动特点是定向移动,旋转变换的运动特点是绕定点旋转;②它们运动前后两个图形的方向不同——轴对称变换改变图形方向,平移变换不改变图形方向,旋转变换改变图形方向;③它们改变前后两个图形的部分不变关系不同、应用范围不同等.
第三阶段:旨在“发展技能”的“尝试运用”——解答基础上的反思拓展
第5步:尝试运用——解答问题
教师在综合概括的基础上,依次提出下列4个有代表性问题,要求学生在独立学习的基础上交流合作.
问题4 (辨别)如图9,正确表示将正方形X绕点O按顺时针方向旋转60°的是哪一个?为什么?
学生选择与分析,必要时,教师进行追问、评析.
问题5 (概念识别)①如下页图10,经过怎样的旋转变换,可由射线OP得到射线OQ?②下页图11是一双手的图片,能否经过一定的旋转变换,使左手的图形与右手的图形重合?经过轴对称变换呢?从中可以得到什么结论?
学生口述,必要时,教师进行追问、评析.
问题6 (方法演示)如图12,以点O为旋转中心,将线段AB按顺时针方向旋转60°,作出经过旋转变换后所得的像.请你提供尽可能多的方法,并求出像与线段AB所成的锐角度数.
学生作图操作,教师巡视指导,约2分钟后进行交流、评析.
问题7 (问题解决)图13是一个直角三角形的苗圃,由正方形花坛和两块直角三角形的草皮组成,如果两个直角三角形的两条斜边长分别为3米和6米,你能求出草皮的面积是多少吗?
学生独立学习(允许合作研讨),教师巡视指导,约2分钟后进行交流、评析.
第6步:做后思考——反思拓展
教师在学生用数学方法和理论解答有代表性问题的基础上,依次提出以下2个反思性问题,要求学生合作研讨并发表自己的观点.
问题8 问题6,作图的策略(思想)是什么?用的是什么方法?具体使用了哪些技巧?一般地,旋转变换前后两个图形对应边所在直线的夹角与旋转角有何关系?
问题9 问题7,解题的策略(思想)是什么?用的是什么方法?具体使用了哪些技巧?一般地,用旋转变换的思想方法解题的条件是什么?
教师在学生充分发表意见的基础上给出问题的答案:
(1)问题6作图的策略是用图形旋转的特征,用的是用作图工具作图的方法,使用的技巧是:①先将点A,B绕定点O按顺时针方向旋转60°得A′,B′,再连结A′,B′;②先过点O作线段AB所在直线的垂线,设垂足为N,然后将点N绕定点O按顺时针方向旋转60°得N′,再过点N′作ON′的垂线,并在垂线上取N′A′NA,N′B′NB.一般地,旋转变换前后两个图形对应边所在直线的夹角等于旋转角或等于周角减去旋转角.
(2)问题7解题的策略是用图形旋转的思想,用的方法是将BEC绕点B按逆时针方向旋转90°,使用的技巧是:先将BEC绕点B按逆时针方向旋转90°,使分散的两个三角形变成一个大的直角三角形,再用三角形面积公式求此三角形的面积.一般地,问题涉及等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形、正方形时,可考虑用旋转变换的思想方法.; 第四阶段:旨在“拓展生成”的“开放延伸”——学生回顾基础上的教师总结
第7步:回顾思考——交流合作
教师在解题后反思的基础上,列下“问题清单”,鼓励学生围绕问题进行交互反馈.
(1)学习旋转变换有何意义?旋转变换有何特征?旋转变换有何特性?
(2)描述旋转变换有几种方法?确定旋转变换后所得的像有几种方法?
(3)旋转变换与轴对称变换、平移变换的相同点是什么?不同点是什么?
(4)你在学习过程中,感受到了哪些思维方法?获得了哪些数学活动的经验?
(5)你在学习过程中,感受到了哪些思想方法?碰到了哪些困难?有何感触?
第8步:课堂总结——课后欣赏
教师在倾听学生交互反馈后,让学生欣赏旋转变换的自述(这部分内容可以移至课后):
Hi!我是旋转变换.我与轴对称变换、平移变换一样是描述图形运动的一种形式.我运动的特点是图形上所有点绕定点按同一个方向转动同一个角度.表示我的方式有两种:文字表示和图形表示.确定变换后像的方法有两种:操作法——图形整体旋转(依据的是我的含义);作图法——图形旋转化归为点旋转(依据的是我的特征).我有许多性质:变换不改变图形的形状和大小——旋转前后的两个图形的对应边相等、对应角相等;对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度;变换前后两个图形对应边所在直线的夹角等于旋转角或等于周角减去旋转角.我能将局部的图形变成整体的图形,将分散的图形集中起来,将分散的条件相互沟通.之所以人们喜欢我,是因为我是解决涉及等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形、正方形等几何问题的有效工具.告诉你:认识我要运用一般到特殊(图形运动点运动特殊点运动)以及特殊到一般(特殊点运动点运动图形运动)的思维方法,要重视用我解决几何问题的思想方法,你可以类比认识轴对称变换和平移变换的方法来认识我,你在认识我的过程中,还能发展智力、能力和个性.
三、教后反思
像古生物学家依据动物一个牙齿化石恢复已灭绝动物的全貌一样,我们从这个课例中也可以得到以下基于“过程”哲学观的数学教学操作方法.
(1)依据“规律”构建教学结构.如本节课教学过程结构的构建依据是数学发展规律、学生学习数学的认知规律和教育的规律.它是一个“具体(旨在激活新知识‘生长点’的定向活动)抽象(旨在生成‘数学方法和理论’的引导探究)具体(旨在发展‘智慧技能’的数学应用)”的自然、简单、动态、和谐的过程,是一个以数学知识发生发展过程为载体的学生认知过程和以学生为主体的数学活动过程.这是贯彻“过程”哲学观的前提.
(2)用合适的问题来驱动学生思考.思维和思想的展开过程始于问题,设计一些具有一定思考性、探索性、思想性、趣味性的或能引起学生认知冲突的问题与讨论作业等是引发学生思考的支持性条件.如本节课的4个学习阶段都用问题来驱动学生思考.导人性学习活动中的问题含有新知识的“生长点”且具有定向指导性.探究性学习活动中的问题关注了四性:必要性——内容是否有探究的必要;目的性——探究目标是否明确;可操作性——学生是否有思维前进的方向;有效性——能否引发学生积极思维.应用性学习活动中的问题具有代表性和反思性,总结性学习活动中的问题检测性.这是贯彻“过程”哲学观的策略.
(3)用适度引导来促进学生思维.要求学生经历过程中的思维站点,有时需要教师价值引导.如本节课,引导的策略有:在新旧知识的衔接处“导”;在重难点知识的关键处“导”;在操作探究的迷惘处“导”;在思维障碍处“导”.引导的方法有:思维跨度大时的问题暗示;困惑或认识模糊时的点拨;思维受阻时的“元认知提示语”发问;思维混乱时的辨析;思维偏离方向时的干预;观念碰撞时的评价;方法多样化时的价值分析;回答不完善时的追问;回答有创意时的激励等.引导的技巧有:用系统连贯的“问题清单”或设置问题的提示语;用直观演示或有启发性的语言;用化归的方法或以“退”求“进”的策略;用反思性问题、激励性语言等.这是贯彻“过程”哲学观的方法.
1.图形的平移有两个要素：平移的方向和平移的距离；平移后的图形与原来图形相比，只改变位置，不改变大小和形状.
2.图形的旋转有三个要素：旋转中心和旋转角度及方向，旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置.
3.关于某条直线对称的两个图形，沿对称轴对折后的这两个图形是完全重合的，它们的对应线段相等，对应角相等.
4.图形的相似变换不改变图形中的每一个角的大小，图形中的每条线段都扩大或缩小相同的倍数.
5.利用平移、旋转、轴对称及其组合设计图案.
二、考点聚焦
图形变换的种类很多，初中阶段主要涉及全等变换和相似变换，这是新教材特有的内容。近年来的试题在设计中都会跳出陈旧的考查方法，大胆创新，较全面地考查学生的想象力、借助图形变换的方法解题的能力.由此可见，本单元在以后的中考中，必将占有突出的位置，而且是命题的热点.
1.图形的平移变换
能够识别平移变换，探索它的变换规律，会解答有关平移变换的证明或计算问题.简单图形平移的作图，以及现实生活中图形平移变换的欣赏和应用，会运用平移变换进行简单图案的设计.
例1.如图，在六边形ABCDEF中，AB∥ED，AF∥CD，BC∥FE，AB=ED，AF=CD，BC=EF，又知对角线FDBD，FD=24cm，BD=18cm，则六边形ABCDEF的面积为多少？
分析：此题显然不能直接运算，但仔细观察，题中彼此平行
且相等的线段有三组，只要将图形适当地分割并平移一下就可以了.
解：将DEF平移到BAG的位置，将BCD平移到GAF的位置，则长方形BDFG的面积等于六边形的面积，即S■=S■=18×24=432cm■。
2.图形的轴对称变换
有关这一考点的试题非常多，主要涉及轴对称图形及其对称轴的识别.主要考查能够按要求作出简面图形经过一次或几次轴对称后的图形，有关试题考查轴对称性质的问题情境常为纸片的折叠，而且着重探索基本图形如等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称相关性质.会利用轴对称进行图案设计，主要考查应用意识，多为容易题.
例2：如图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为轴对称图形：
方法1 方法2 方法3
练习2.在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示，这时的实际时间应该是？摇 ？摇.
折叠型问题是近年中考的热点问题，常常会见到把几何图形的某个部分折叠，而后求线段、面积等问题，在折叠问题中由于折叠前后的部分成轴对称，因此对于解决这类问题其切入点是利用轴对称图形的性质，把未知的量通过对称性转化到已知的量，从而使问题得到解决.
例3.如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在边BC上点F处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分的面积为？摇 ？摇？摇？摇.
解.ADE和AFE关于AE成轴对称，EF=ED=8-3=5，AF=AD=BC=BF+FC.在RtECF中，利用勾股定理可得AF■=AB■+BF■，则（BF+4）■=8■+BF■，解得BF=6.所以图中阴影部分的面积为■×BF×AB+■×FC×EC=■×6×8+■×4×3=30（cm■）.
点评：折叠的规律是折叠部分的图形折叠前后关于折痕成轴对称，两图形全等，折叠图形中有相似三角形，常用勾股定理.
折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效.
3.图形的旋转变换
能够识别旋转变换（包括中心对称变换），探索它的变换规律，并理解和运用“每对对应点与旋转中心的连线所组成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离都相等”的规律，会解答有关旋转变换的证明或计算问题，简单图形旋转变换的作图，运用旋转变换进行简单图案设计.
例4.如图，P是等边ABC内一点，PA=2，PB=2■，PC=4，求BC的长.
分析：此题乍一看似乎无从着手，但只要运用旋转的方法来解题，就十分容易了.
解：将BPA绕点B旋转60°，则BA与BC重合，BP=BM，PA=MC，连接MP，则MBP为正三角形，即MP=2■，PC=4，MC=2，得到MP■+MC■=PC■，从而∠CMP=90°，因为MC=■PC，所以∠MPC=30°，又因为∠MPB=60°，所以∠CPB=90°，得BC=■=2■.
点评：可见，经过旋转后的图形给我们的解题带来了很大的好处，是一种捷径.因此，我们应多利用旋转的方法解决更多的问题.
图形的变换是中考的重要内容，命题既考查学生分析、综合、概括、逻辑推理的能力，考查几何建模及探究活动的能力，是学生展示个体思维的好平台，又考查学生对几何与代数之间的联系、多角度、多层次综合运用数学知识、数学思想方法分析和解决问题的能力.复习备考时要注意以下几个方面的问题：
（1）重视巩固“知识梳理”中所涉及的基本知识、基本规律、与基本技能.
（2）注意通过大量的观察、动手操作、团设计等实践活动进一步理解各种变换的内涵，去抓住各种图形变换的关键点.
（3）注意观察现实生活中图形变换的案例，认识和欣赏各种图形变换在现实生活中的应用.
一、平移变换
平移变换是通过作平行线的手段把图形中的某条线段或某个角移到一个新的位置上，使图形中分散的条件与结论有机地联系起来.我们几何中常见辅助线，如倍长中线、三角形的中位线、梯形中平移腰、平移对角线等，本质上都是平移思想.平移一般可分为三种情况：
（1）平移条件，即把图形中的某个条件平移；
（2）平移结论，即把结论中的线段或者角平移;
（3）平移条件和结论，即把图形中的条件和结论同时平移.
现用下面例子对平移的三种情况分别作说明.
例1：四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是DC、AB的中点，直线EF分别与BC、AD的延长线交于点G、H.求证：∠AHF=∠BGF.
分析：本题条件比较分散，解本题的关键是将分散的条件集中在一个三角形中.若用平移结论的方法，则可把结论中的两个角平移到同一个三角形中，故可这样添辅助线（如图1）：连结AC，取AC的中点M，边结ME、MF.由ME、MF分别是ACD、ACB的中位线，得ME∥AD，MF∥BC，∠AHF=∠MEF，∠BGF=∠MFE，从而将结论中的两个角∠AHF，∠BGF平移到同一个三角形MEF中，故只要证ME=MF.因为AD=BC，又由中位线定理得ME、MF分别为AD、BC的一半，所以ME=MF，故命题得证.
若用平移条件的方法，如图2，可连结AC，将线段CB沿CA平移到AM位置，连结BM、CM、DM，这样就把条件中的线段AD、CB集中到ADM中，可得AD=AM，故∠1=∠2，又由于AM∥CB且AM=CB，故四边形AMCB为平行四边形，故对角线CM、AB互相平分，即CM过点F，可得BF为CDM的中位线，BF∥DM，∠2=∠AHF.又由于BF∥DM，AM∥CB，所以∠1=∠BGF，故∠AHF=∠BGF.
若用平移条件和结论，如图3，将线段DA沿DE方向平移到EQ，连结AQ，则四边形DEQA为平行四边形，EQ、DA平行且相等，DE、AQ平行且相等.同样将线段CB沿CE方向平移到EP，连结BP，同理可得CB、EP平行且相等，CE、BP平行且相等.所以EQ=EP，∠1=∠AHF，∠2=∠BGF，BP、AQ平行且相等，可证FAQ≌FBP，所以AQ=AP，再根据等腰三角形三线合一得到∠1=∠2，故∠AHF=∠BGF.
二、轴对称变换（反射变换）
轴对称变换是通过作图形关于直线的对称图形的手段，把图形中的某一图形对称地移到一个新的位置上，使图形中的分散条件和结论有机地联系起来.轴对称变换应用时通常有两种情况：⑴图形中有轴对称图形条件时，可考虑用此变换.⑵图形中有垂线条件时，可考虑用此变换.现举例说明.
例2：在四边形ABCD中，∠ADB=∠ABC=105°，∠BAD=∠C=45°，作AEBD，垂足为E，求证：CD=2AE.
分析：本题思路即将题中分散的条件与结论集中起来，构造轴对称，可以作A关于直线BD的对称点F，连结DF、BF交CD于G，由∠ADB=105°，∠BAD=45°得∠ABD=30°，故∠FBE=30°，所以ABF是等边三角形，BF=2AE.只要证CD=BF，因为∠ABC=105°，∠ABF=60°，所以∠FBC=45°.又∠C=45°，所以∠BGC=90°，又∠BAD=∠BFD=45°，所以GBC和DGF都是等腰直角三角形，所以BG+GF=CG+GD，即BF=CD，故命题得证.本题如果作C关于直线BE的对称点，方法类似.
三、旋转变换
旋转变换是通过将图形中某一图形绕一定点旋转一个角度，使之转移到一新位置上，使图形中的分散条件和结论有机地联系起来.旋转变换常用于有等腰三角形条件的题目中.旋转变换通常有下面三种情况：（1）当题目条件中有正方形或等腰直角三角形时，常将图形绕直角顶点旋转90°.（2）当题目条件中有等边三角形时，常将图形绕等边三角形一顶点旋转60°.（3）当题目条件中有等腰三角形时，常将图形绕等腰三角形顶角的顶点旋转顶角的度数.举例如下：
例3：正ABC中，D在ABC外，且∠BDC=120°，DB=DC，E在AB上，F在AC上，且∠EDF=60°，求证:AEF的周长=2AB.
分析:图中BDC为顶角为120°等腰三角形，可考虑将BDE绕点D顺时针旋转120°到CDG的位置.再证EDF≌GDF，可得EF=GF=CG+CF=BE+CF，所以AEF的周长=AE+AF+BE+CF=AB+AC=2AB.
例4：在ABC中，AB=AC，P为ABC内一点，且∠APB=∠APC.求证：BCP是等腰三角形.
分析：本题ABC为等腰三角形，可考虑将ABP绕点A逆时针旋转∠PAC的度数得ACD，则AP=AD，PB=CD，∠APB=∠ADC=∠APC，所以∠1=∠2，所以∠APC－∠1=∠ADC－∠2，即∠3=∠4，所以PC=CD，PB=PC.
综上所述，对具体的题目，要求分析题中的条件和结论，选择合理的方法，构造正确的变换，灵活地运用合同变换，在解几何等量关系的题中能起到事半功倍的效果.
[关键词]图像变形Morphing技术MATLAB
中图分类号:TP3文献标识码:A文章编号:1671-7597(2009)1110095-01
一、引言
图像变形技术是指将一幅图像A平滑地变换为另一幅图像B的方法,它实质上是将原图像平滑地变换到目标图像的一种数学变换。它是一种非常有效的视觉效果,常被用在教育及娱乐业上。如著名的科幻影片《终结者Ⅱ》中就大量地采用了图像变形技术,影片中的液态机器人杀手经常变换外形,相信给观众留下了深刻的印象。
图像变形的思路与技术方案有多种,其中有一个重要分支是Morphing
技术。其思想是指定一个变换,该变换把第一幅图像变形成为第二幅图像。它的逆变换把第二幅图像变形成为第一幅图像。由变形而生成的图像序列中,前面部分很像第一幅原始图像,中间部分既像第一幅原始图像又像第二幅目标图像,后面部分则很像第二幅目标图像。
MATLAB软件是一个功能强大的科学及工程计算软件包,它的基于向量(数组)的特点使它从本质上提供了对图像处理的支持。MATLAB软件还提供了一个功能强大的图像处理工具箱,使得开发者可以方便快速地用MATLAB软件来实现自己的算法。本文采用MATLAB软件实现了Morphing技术的实现图像变形的方法。
二、原理与算法
显然,图像变形不但是图像在空间域(x,y)上的变换,同时也是在时间域t上的变换。本文的目的是利用图像变形算法产生图像A逐渐变换到图像B的过程中的每一“祯”图像,并将由变形而生成的图像序列生成一个视频文件(如AVI格式)。
设图像A与B的空间域描述函数为f(x,y)和g(x,y),其中(x,y)表示像素点的位置,f(x,y)和g(x,y)表示该位置像素点的值(可以是灰度值或RGB色彩值)。则每次变形变换产生的“一祯”图像是A图像和B图像的线性组合:
其中,t表示经过变换的时间。上述公式即是图像变形技术的基础。在这里,需要注意的是,不能将像素点值直接相加,而应该将它的RGB分量求出后(灰度图像的RGB分量值是互相相等的),再利用上面的公式分别计算新像素点的RGB分量并合成为新像素点的值。MATLAB中提供了一个名为imlincomb的函数,它可以实现多幅图像的线性组合,该函数在实现中考虑了上述分量的计算问题,其原形为:
Z = imlincomb(k1,a1,k2,a2,…,kn,an)
其中ki(1≤i≤n)为组合系数,ai(1≤i≤n)为各个被组合的图像数据(各个图像尺寸相同)。组合结果图像为:
至此,整个图像变形过程可以用伪代码描述如下:
Procedure MorphingImages;
Begin
// 读入图像文件A和B,变形为A->B
F = LoadImage(A);
G = LoadImage(B);
Avi = CreatAVIFile;// 创建一个AVI动画文件
T = 0.00;
While ( T
Begin
H(x,y) = (1T) * F(x,y) + T * G(x,y);// 图像变形
AddFrame(Avi,H);// 将变形后的图像加入AVI文件使之成为“一祯”
T = T + Step;// 处理下一祯(Step为可以调节的时间步长)
End;
SaveAVIFile(Avi);// 生成最终的AVI文件
End;
需要指出的是,上面处理的A图像和B图像大小和格式应该是一致的。
三、实验结果
利用上面的算法,本文采用Matlab6.5(release R 13)作为开发工具,在Windows 2000平台下实现了图像变形技术。
在Matlab下运行后,生成一个名为“One_TO_Another.avi”的视频文件,放映该文件可以清楚地看到两幅美少女图像的变形过程。图1、图2和图3分别是变形前、变形中和变形后的图像。
四、结论
图像变形技术是非常有趣的一种技术。利用如此简单的原理可以产生如此有趣的结果是令人激动的。我们还可以在本文的基础上进一步实现一些更为高级的变形技术,如外形的改变等,这将是一项有趣味和挑战性的工作。
参考文献:
[1]劳志强、潘云鹤,一个基于特征的图像变形算法[J].计算机辅助设计与图形学学报,1998,10(1):1～6.
[2]张志涌、徐彦琴等,MATLAB教程-基于6.x版本[M].北京航空航天大学出版社,2001.
[3]徐飞、施晓红等,MATLAB应用图像处理[M].西安电子科技大学出版社,2002.
作者简介:
摘 要：在生产过程中，香烟盒的角度不可避免地会出现偏移。本文在基于机器视觉的香烟盒生产线上，提出一种基于Hough变换矩形检测的香烟盒偏转角计算方法。首先对香烟盒的图像进行预处理，其次根据Hough变换得到香烟盒的矩形轮廓，最后计算出香烟盒偏转角。实验结果表明整个算法速度快、准确度高。
关键词：Hough变换；矩形检测；图像预处理；香烟盒偏转角
0. 引言
机器视觉是将图像处理应用到工业生产的现代化技术[1]。香烟盒自动生产线上，常用机器视觉来对香烟盒定位，指导机械手抓取或进行缺陷检测。然而由于生产线快速运转和传送带抖动，香烟盒角度不可避免地会出现偏移[2]。因此，香烟盒偏转角的计算是基于机器视觉的香烟盒生产线持续正常工作的基础。
Hough变换通过一种投票算法检测具有特定形状的目标。该过程是在一个参数空间中通过计算累计结果的局部最大值得到符合特定形状的集合作为Hough变换结果。Hough变换于1962年由Paul Hough首次提出[3]，开始只能检测参数已知而位置未知的曲线，而D.H.Ballard于1981年将Hough变换推广到可以检测任意形状的物体，大大扩展其应用范围[4]。
本文首先介绍香烟盒图像必要的一些预处理技术，其次提出了基于Hough变换的矩形检测原理，最后通过检测的矩形来计算香烟盒的偏转角。
1. 基于图像的香烟盒偏转角计算流程
基于图像的香烟盒偏转角计算主要分为两大部分：一是香烟盒图像的预处理；二是根据Hough算法计算偏转角。整个计算方法的基本流程如图1所示。香烟盒图像预处理在整个计算过程中也起着重要作用，首先要考虑香烟盒轮廓为矩形的特点，做出相应的图像预处理方案，并通过大量的试验来调整方法和参数。另外还要考虑香烟盒图像偏转角计算的速度，过慢的定位速度不会被用户所接受，会严重限制了算法的实用性。香烟盒图像预处理基本流程有灰度变换、中值滤波和边缘检测。
图像的灰度化处理是指将彩色图像转化成为灰度图像的过程。常用的方法有：分量法、最大值法、平均值法和加权平均法。其中加权平均法是根据重要性及其它指标，将R、G和B分量以不同的权值进行加权平均，计算公式如下图：
无论是由彩色图像转换得到的灰度图像，还是直接获取的灰度图像，都会有噪声的存在，而噪声对图像质量有很大的影响，也会直接影响目标识别和定位。中值滤波是基于排序统计理论的一种能有效抑制噪声的非线性信号处理技术，其基本原理是把数字图像中一点的灰度值用该点的一个邻域中各点灰度值的中值代替，让周围的像素值接近的真实值，从而消除孤立的噪声点。
图像边缘检测目的就是标识图像中亮度变化明显的点，图像的边缘含有丰富的信息，常常借助空域一阶或二阶微分算子进行计算，通过将其模板与图像卷积完成。经典的算子有Roberts算子、Prewitts算子、Sobel算子、Laplace算子、Log算子和Canny算子等。考虑到图像边缘检测必须满足两个要求：一是有效的抑制噪声，二是尽量精确的确定边缘的位置。因此，选择Canny算子进行边缘检测，步骤包括用高斯函数平滑图像、计算梯度的幅值及方向、对梯度幅值进行非极大值抑制、双阈值方法检测和连接边缘等四个部分。
2. 基于Hough变换的偏转角计算方法
2.1 Hough变换原理
Hough变换是以数学对偶性原理为基础，从二维空间到参数空间的一种映射。以直线变换为例，这种映射表现为从二维空间上的点到参数空间上的曲线的对应关系，即二维空间上的点的共线性对应于参数空间上曲线的共点性。Hough变换以此为依据来提取直线的相关参数。
在笛卡尔坐标系中，直线可以用斜截方程y=kx+b表示，如图2；也可以用极坐标方程ρ=xcosθ+ysinθ表示，如图3，其中ρ是直线到坐标原点的距离，θ是直线与x轴正向的夹角。设（x1，y1）和（x2，y2）为同一直线上的两个点，满足y1=kx1+b和y2=kx2+b，映射到参数空间后的两条正弦曲线ρ=x1cosθ+y1sinθ和ρ=x2cosθ+y2sinθ将相交于一点。同理，同一条直线上的所有点在变换到参数空间后的正弦曲线都将交汇于同一点（ρ，θ）。
实际应用中，通常首先将参数空间量化成累加器矩阵，按照上述极坐标方程将图像空间中点（x，y）映射到参数空间对应的累加器中，使对应的累加器加1。若在图像空间中有直线，则遍历完图像空间中的每一点后，参数空间中对应的累加器会出现局部最大值，则可得出与该直线对应的一对参数（ρ，θ）。
2.2 基于Hough变换的矩形检测
分析笛卡尔坐标系中的某一矩形，如图4所示，四个顶点分别为：P1=（x1，y1）、p2=（x2，y2）、p3=（x3，y3）和P4=（x4，y4），P1P2和P3P4为长度为a的边，P2P3和P4P1的长度为b。该矩形在Hough参数空间的对应图像如图5所示，有四个相应峰值点分别为：H1=（ρ1，θ1），H2=（ρ2，θ2），H3=（ρ3，θ3）和H4=（ρ4，θ4），分别对应矩形的四条边：P1P2，P3P4，P2P3，和P4P1。
根据矩形特征，进一步分析图5，可得到四个峰值点有如下关系：（1）H1与H2的θ 值相同，记为θ12 ；H3 与H4 的θ 值相同，记为θ34 ；且│θ12-θ34│=90° 。（2）因为矩形对边的长度相等，所以Hough参数空间中相应的峰值累加值也应该是相同的，即C（H1）=C（H2）=a，且C（H3）=C（H4）=b。
由上述分析，基于Hough变换矩形检测的香烟盒偏转角计算方法步E如下：
（1）对预处理后的香烟盒图像进行Hough变换；
（2）在Hough参数空间中寻找符合上述分析特征的峰值点；
（3）对符合条件的峰值点进行配对，得到对应原图像的平行直线对；
（4）对得到的平行直线对进行组合，得到预选的矩形；
（5）对预选矩形进一步筛选，得到香烟盒的矩形轮廓；
（6）根据香烟盒矩形的轮廓，计算香烟盒的偏转角。
3. 实验分析
为了验证本文提出的基于Hough变换矩形检测的香烟盒偏转角计算方法的正确性和有效性，通过多次实验进行验证。实验中采用的是浙江中烟工业有限责任公司生产的利群香烟，整个算法在MATLAB中编程实现。
图6是一幅香烟盒的图像及其检测后的结果，图7为该图像在Hough参数空间中的坐标图。该香烟盒图像经人工测算偏转角度是2°，而基于Hough变换矩形计算方法得出的结果是1.86°，计算时间为0.376秒。经过多次试验并统计后，基于Hough变换矩形检测的香烟盒偏转角计算方法的检测精度为0.1°，平均准确率为99.47%。平均时间为0.412秒。
4. 结论
本文在提出了一种基于Hough变换的香烟盒偏转角计算方法，应用在香烟盒生产线上。该方法利用Hough变换检测出预处理后图像中的矩形，在根据该矩形计算出香烟盒的偏转角。显然，根据检测的矩形也可计算出香烟盒的中心位置，再结合已经计算出来的偏转角，就实现了对香烟盒的精确定位，为后续机械手自动搬运和香烟盒缺陷检测打下基础。
参考文献：
[1] 赵阳，杨永跃等. 彩色图像处理在香烟包装检测上的应用[J]. 合肥工业大学学报（自然科学版），2006，29（8）：1032-1034.
[2] 孙军，辛海波. 智能相机在香烟包装领域的应用[J]. 企业技术开发，2010，29（6）：15-16.
[3] C. Rosito Jung and R. Schramm. Rectangle Detection based on a Windowed Hough Transform [J]. SIBGRSPI’04， 2004， 113-120.
[4] DH Ballard. Generalizing the Hough transform to detect arbitrary shapes[J]. Pattern Recognition， 1987， 13（2）：111-122.
作者介：
一、陈亮性别：男
研究方向：信息技术与管理、烟机设备自动化控制与管理
出生年月：1979.2
专业技术职称：工程师学历：工程硕士
二、王德胜性别：男
研究方向：烟机设备自动化检测和控制
