时间：2022-08-19 20:59:26
一、创建有效的课堂活动让学生参与到案例教学中
初中数学知识的教学是建立在老师与学生共同配合的基础之上的，不仅需要老师引导学生学习，还应该充分发挥学生的主体地位，创建有效的课堂活动让学生参与到案例教学中。具体有以下几种方式可以将课堂活动与案例教学相结合。
（一）设计与案例教学有关的生活化问题情境
在案例教学过程中的课堂活动课上是学生将抽象的数学知识不断地具象化的最佳时机，在此过程中为学生设计相关生活化的问题情境，进而带领学生一步步的解决问题。
具体举例：比如在“方程式”的学习过程中，老师可以给学生举例――在奥运会期间，中国男篮顺利进入八强，在此次比赛中姚明一共夺得了115分，并且参加了7场比赛，那么每场平均得分是多少？进而老师可以引申到数学方程式的知识，加入一个人在篮球赛中2分球进了x个，3分球进了y个，总得分是80分？那么该如何列出方程式？（答案为2x+3y=80）
这样一个生活化的问题情境能够将数学与实际生活相结合，有利于学生在实践中具体应用数学知识，更直观地把握数学知识，并且这样也充分体现了新课改对学生实践能力和创新能力的要求。
（二）在课堂活动中增加探究式案例教学
在课堂教学活动中探究式案例是初中数学老师培养学生探究能力的重要方法，探究式的问题能够让学生体会发现问题、分析问题、解决问题的完整过程，解决了疑惑的同时更深刻地理解数学规律，从而逐步提高解决问题的技能。
具体举例：比如在学习关于“三角形的基本概念和性质”这部分内容时，涵盖了很多的难点，这个时候就需要老师带领学生一起进行探究，优化案例教学效果。在下图中，ABC中，线段AB与线段BC相等，长度为12cm，已知∠ABC是80度，∠ABD与∠DBC相等，并且DE平行于BC，问题是“求DE的长度为多少”？
这个时候就可以与学生进行合作探究式的教学活动，让学生首先分析题干中的条件，明确这是与三角形的概念和性质有关的问题；接下来老师再引导学生一起探究解决此类问题的方法，从而得出解题关键是“构建DE=・AB”的等量关系的结论；最后再让学生进行具体的解题过程。
二、案例教学设计中的主要环节
在初中数学的教学过程中，问题是学生进一步学习和探索的源动力，老师应该充分利用学生的求知欲，在案例教学设计的过程中以问题为载体，不断激发学生的数学思维，培养学生对数学的学习兴趣，进而设计出科学合理的案例教学。
（一）创设问题
比如在学习有关直线平行的条件这部分的知识时，在课堂开始前老师可以对学生提出一些与所学内容有关的问题启发学生思考。
具体举例：问题1：对于平面中的两条直线，它们之间的位置关系都有哪几种可能呢？对于这个简单的问题，学生会很容易回答出相交或平行这个答案。由此，老师可以进一步提出下一个问题。问题2：如果两条直线相交了，那么在这个图形中会有几个角？这几个角之间又有什么关系呢？这个问题可以引发学生对直线相交的情形进行思考，接着引出两条直线平行的问题。问题3：两条直线的平行应该如何进行定义？与两条直线的相交之间有哪些不同之处呢？
（二）联系实际生活，发掘数学知识
在人们的日常生活中有很多现象都蕴含着数学知识，老师应该充分联系生活中的这些数学现象，帮助学生更好地理解数学知识。
关键词：应用；初中数学；案例
中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2016）30-0159-02
DOI：10.16657/ki.issn1673-9132.2016.30.103
初中数学是在学生已有的数学基础上进行进一步的拓展。此时的数学除了继续注重基础知识之外，还尤其注重对学生思维能力的培养。案例教学就是现在一种新型的教学方式，是指给学生一些案例阅读，让他们先对案例进行讨论和研究，之后在由教师进行引导，将案例中涉及的理论知识引申剖析出来。但案例教学之前主要应用于商学和法学这一类的学科上，要将其运用在数学上尤其是初中数学上有一定的难度性。因此，教师要把握住初中数学的特点，先选择合适的案例，之后在合适的时机用合适的方式将案例应用到教学中。本文主要探讨案例的选择和案例在课堂的运用。
一、案例的选择
教师在对案例进行选择时，首先要注重案例与理论的相关性。一个和理论没有任何关系的案例，不论它是多么精彩对于教学都是毫无作用的。因此，教师在选择案例的时候，要先对案例进行研究分析。最好还能对案例进行各种推论研究，这也对提高教师在课堂上对案例讨论结果的掌握能力，有助于教学的连贯性，也有助于教师帮助学生进行知识网络的构建。而且案例的选择最好具有实践性，这样才能够让学生更好地理解理论知识。当然，案例的选择最好还应带有一定的趣味性，能够提高学生的学习兴趣。如果能够找到的案列较多，教师还可以挑选一些具有叠进性的案例，有利于学生进行循序渐进的学习。人教版教材的一大特点就是附带很多案例，而且兼具趣味性、理论性和实践性，是很好的案例教学的材料。教师可以有选择性地拿去使用。以最新一版七年级上册有理数一章为例“填幻方”为例，教师在进行书上的例子前，可以要求学生先观察：下列这个三阶幻方（1）中，有哪些相等的关系？每行、每列、每条对角线上的三个数之和分别是多少？之后进行书上案例的探讨学习。这样一来，书上案例的切入就不会显得突兀，而且有了此案例的引导，之后学习的连贯性、理论知识点的导入性就会强很多。
二、案例在课堂中的运用
（一）明确教学目的
教师要想案例教学能在课堂中有效地被运用，心中一定要有明确的教学目标，就那上文“填幻方”的案例来讲，教师在使用这个案例时一定要在心中明确使用这一案例的目的是为了教授学生有理数加减法，所以要将学生尽量往这一方面引导。如果教师不能明确教学目标，自然也就不能明确自己想要达到的教学效果，对课堂节奏的把握上也会大打折扣，这对提高课堂效率也会起到相反的作用。而且学生在经过多次讨论，如果教师在此时不能给出明确的目标方向，学生很容易偏离主干线，也达不到让学生通过讨论加深对知识的记忆，反而会让他们产生记忆的混乱。
（二）注重学生在课堂中的参与性
关键词： 初中数学 案例教学 二元一次方程组 教学方法
1.案例研究背景与目标
关于方程的数学思想，在我国古代《九章算术》中就有所提及，以案例援引的“二元一次方程组”学习，笔者认为有必要引导学生了解方程的古代历史，即古代数学家为何重视方程组的研究，明确方程组与实际生活的关系，以达到提高学生学习兴趣和加强学生学习理解的双重效果。相关的案例教学目标可概括为：
（1）引导学生了解“二元一次方程组”的古代数学历史研究成果;
（2）引导学生掌握“加减法解二元一次方程组”的方法;
（3）引导学生在掌握“加减法解二元一次方程组”的同时，能够举一反三，按照这种方法掌握更多的初中数学知识。
2.案例研究阶段
围绕以上提及的教学目标，以教师引导和学生资料查阅的合作探究方式，分别从问题情境阶段、实践体验阶段、表达交流阶段、学习成果阶段入手研究。
（1）问题情境阶段。发放有关《九章算术》的资料，并介绍：《九章算术》源自于两千多年前，书内记载很多沿用至今的数学问题解决方法。譬如“牛五、羊二，等于十两黄金;牛二、羊五，等于八两黄金。问羊一值几两黄金”，按照书中的“齐同”演算，即“牛10、羊4，等于20两黄金;牛10，羊25，等于40两黄金。前后两行的牛10，而黄金多出了20两，主要是多出21头羊的价钱，则可推算出羊1值二十分之二十一”。
根据案例，我说明了以上“齐同”演算中“化归”和“消元”的数学理论，并对学生强调这些数学理论，对当前“一元一次方程”数学计算有很大的影响。
（2）实践体验阶段。初步了解“一元一次方程”亘古至今的数学意义后，让学生自由组成学习小组，每组人数为6人，要求每个小组在三天时间内，通过书刊、网络等渠道，了解有关“一元一次方程”的资料，分别掌握“一元一次方程”的“消元”、“化归”解法，同时还要结合生活中的实际问题，设计“一元一次方程”的解答题进行求解。期间，我将密切关注学生的分组研讨情况，并对主动请求帮助的学生进行学习指导。
（3）表达交流阶段。在实践体验的基础上，小组内的每个同学需要自己所查阅的资料和研究的成活，在小组内进行汇报，在合并重复资料和剔除错误资料后，将全部资料进行组内汇总，随后委托组内的任何一位同学，在班级内进行汇报。在汇报期间，由笔者进行引导，将每个小组中的资料，将最具代表性的资料、意见和建议提炼出来，再将各组编制的应用题目打乱，由各个小组随机选取一个题目，列出“一元一次方程组”，完成题目的解答。在整个表达交流阶段，我们需要综合各个小组提出的意见，检查每个小组意见中客观存在的不足之处，提出反思性的建议，促使整个交流程度内容更完善。
（4）学习成果阶段。通过以上的教学活动，我们可以看出初中数学课程中应用案例教学方法的灵活性。按照以上的方法开展案例学，笔者认为最重要的是保持教学的生动性和活泼性，并思考是否有利于学生学习积极性和主动性的提高，即强调对学生学习主体地位的尊重。至于以上案例教学的总结和评价，笔者认为可归纳为两点：一方面是案例教学兼顾学生的个体性、独立性和差异性，在教学过程中，必须建立起学生与学生之间、教师与学生之间的平等关系。另一方面是案例教学的实践性特征，直接贯穿于整个课程，正面要求教师关注日常生活中的相关数学问题，鼓励学生设计出更多的数学案例，让案例教学更彰显创新思维和创新意识。
3.教学经验总结
以“加减法解二元一次方程组”作为案例，笔者认为初中数学案例教学中，至少有以下经验值得参考借鉴。
（1）为学生量身定制。学生是初中数学案例教学的学习主体，课程开展的目的，是让学生更快更好地掌握课程知识，因此初中数学案例的设计，务必考虑学生的发展水平和个性特征。一方面是根据学生的学习经验，选择学生周围最熟悉的事物，另一方面是结合学生的个性特征，将数学知识循序渐进地融入案例中。
（2）有利于学生数学能力发展。初中数学案例教学的目的，除了提高学生的知识和素养外，还要求让学生的观察能力和动手能力等都得到锻炼。在初中数学案例教学中，学生可进行案例形式之间的优势互补，充分调动学生的积极性。最后在课堂上，每个小组进行互动性讨论，以此全方位了解初中数学案例教学知识。这种方式，既能减少教师的工作程序，又能调动学生探索的积极主动性。
（3）间接“点拨”。初中数学案例教学属于自主性的教学模式，在没有标准教学预案的情况下，由学生作为课程的主体，充分发挥自身的主观能动性，因此在活动期间，难免会遇到难以解决的困难。适时，教师不需要即刻为学生提出解决方案，而是在案例内容的基础上，引导和启发学生，让学生在自主思考的情况下，进行深入分析，最后获得攻克难关的具体方法。
（4）师生交流的加强。活动过程中，无论是问题的解答，还是气氛的调节，都离不开师生之间的有效交流，具体要结合数学知识的内容，以及学生所能接受的程度而定。但总体的原则，要求能够有效引发学生的新奇感，这样才能保持学生探究初中数学知识的积极性和主动性。
3.结语
初中数学案例教学中，最重要的是保持教学的生动性和活泼性，并思考是否有利于学生学习积极性和主动性的提高，即强调对学生学习主体地位的尊重。通过研究，以“加减法解二元一次方程组”为例，基本明确了初中数学案例教学的方法，但考虑到不同数学课程学习要求和条件的差异性，笔者认为以上方法需紧扣具体的课堂教学实践，予以因地制宜地灵活应用。
参考文献：
关键词：初中数学；合作式学习；案例教学法
中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2016）01-0171-01
1.案例教学法在数学课教学中的作用
案例教学法，就是为了培养和提高学生知识能力的一种基本教学方法，它是将已经发生或将来可能发生的问题作为个案形式让学生去分析和研究，并提出各种解决问题的方案，从而提高学习者解决实际问题能力的一种教学方法。而数学课教学一直是一个以案例作为基础进行教学的课程，只有通过例题等方式才能传达数学知识。在案例教学中，学生是课堂的主体，教师是课堂的组织者和引导者，而案例教学中，我们能通过小组讨论等形式激发学生的学习兴趣，同时能在教学中减轻数学课的枯燥乏味。利用案例教学法同时能更好地促进小组交流，以优代弱，更好地促进后进生的培养和多种学习方法的交流。案例教学法同时能缓解学生的学习压力，重视学生的教学参与性，通过主动参与，有效提高学生的学习能力和基本技能。同时在数学教学中，通过案例教学能有效激发学生的思维和想象空间，挖掘学生的潜力，开发学生的智力。案例教学中能通过大量的讨论、合作、交流等多种途径提升学生的学习效果，因此在初中数学教学中起到很重要的作用。可见，案例教学法是以培养学生的能力为核心的新型教学法，案例教学法体现了教学论的人本化思想和现代心理学的建构主义认识论思想，适应了学习者建构知识、接受知识的内在认识秩序。案例教学法的目的在于促进学生创新能力和解决实际问题能力的提升，是引导学生不仅向书本和教师学习，而且要相互学习的一种教学方法。
2.合作式学习是案例教学的最大优势
在当前基础教育改革中，学生主体地位的确立已经毋庸置疑，而在教学过程中，学生的充分参与是案例教学在合作式学习中的具体表现。充分参与主要指学生和教师两方面的内容。我们既要求学生在课前准备相关知识内容，又要求教师在教学中投入到学生的讨论中去。在实施的过程中，因为参与者会以不同视角、经历及情感考虑案例，学生和教师之间分析问题会产生不同的意见。因此，在教学中所采用的案例必须是教师精心准备的，要考虑周全，涉及所有学生的背景及知识面，要能调动学生学习积极性使教师在准备案例时充分考虑案例的实效性。只有这样，学生才能在学习中完全融入案例，能准确了解教师的意图，在合作学习时感触更加深刻，从而达到教学目标。另外，在案例选择时也应该注重难度，如果案例有难度，学生就会一直在思考并且努力寻找更多信息来解决问题。而作为数学课中的案例教学，教师首先要考虑以下几点：
2.1 要考虑学生现有知识水平，尽量使教学案例与学生的知识理论水平在同一层次上。案例的展现必须求实，并通过多种形式来表现，使学生在现有的案例下更加与实际相贴近，激发学生学习兴趣。
2.2 在教学中必须课前有学习任务的布置，学生课前做必要的准备。学生课前准备主要是为了在课堂上能让学生在更短的时间融入学习当中，我们应该相信学生的能力，因此在案例学习中应当让学生做一定的准备，这样在合作学习中同学们才能融合大量的信息，对学生学习能力的提高大有益处。
2.3 在教学中必须体现合作式教学。而合作式教学主要又体现在分组讨论、思维交流、运算创新等方面。对不同层次的学生分组而后组织学生学习会促进学生整体水平的提升和后进生的培养，同时在学生合作学习中能让不同的思维方式在同组中交流，促进学生能用多种方式学习，还能激发学生更多的创新思维。这样在教学中不但提高了学习效率和学习效果，还极大地提高了学生的学习兴趣，激发了学生的学习潜力。
2.4 教师作为课堂教学的组织者，必须在案例分析时发挥引导作用，投入到学生的讨论中去。在案例讨论时教师必须做到案例展示，教师将精心选择的案例展示给学生，以便开展合作学习。还要引导小组讨论，讨论时根据案例结合学生预习的内容，进行现场指导和解疑。同时还要在小组讨论后由每组发言人进行问题阐述，教师对其阐述的问题进行总结后由不同小组的人员进行提问，小组发言人进行解答。最后要做的就是汇总各组讨论结果，并对这个讨论过程及结果给予点评，最终达到教学目标。
3.案例教学也要避免个别问题
案例教学虽然在教学中有很好的效果，但在案例教学和合作式学习中往往会出现很多问题。一是教师对案例的选择。教师在案例教学中一定要认真选择适合学生特点和学习实际的案例，避免出现假、大、空的案例。二是学生的合作式学习不是放羊式学习，学生在合作中一定要带着问题参与，也要在合作中解决自己的疑惑，还要在合作中分享自己的见解和体会。三是师生也要建立合作学习体系。教师在案例教学和合作式学习中不仅要高屋建瓴，也要参与到学生的合作学习中，及时分享小组的合作成果，也要指导学生的思维走向。只有注意这些问题，才能更好地提高案例教学的效果。
总之，在数学教学中要更好地运用案例教学法，必须要发挥学生的主体地位和教师的主导作用，师生要做大量的课前准备，同时要更好地开展好合作式教学。只有组织好案例教学，才能达到更好的学习效果，促进数学课的教学。
参考文献：
关键词：教学案例；教材分析；学情分析
一、教材分析
“平行线的特征”是北师大版七年级数学（下册）第二章第三节的内容。它是在学生已经初步了解并且学习了平行线的概念、平行线的判定等内容的基础上进行教学的。它是直线平行的继续，是空间与图形领域的基础知识，是后面学习和研究平移、三角形内角、三角形全等、三角形相似以及平行四边形等知识的基础，所以学好这部分内容至关重要。
二、学情分析
1.学生的知识技能基础
通常，平行线的基础学习在小学阶段已经开始，因此，学生对其特征有一定的了解，只是还不够深入。在学习“平行线的特征”之前，学生已经学习了平行线的判定方法，并能够利用其解决一些问题，让学生对同位角、内错角和同旁内角的概念及应用有了一定的了解，这些知识储备为学生接下来的平行线特征学习奠定了良好的知识技能基础。
2.学生的活动经验基础
在前面知识的学习过程中，学生已经经历了一系列的数学活动，积累了初步的数学活动经验，具备了一定的图形认识能力、借助图形分析能力和解决实际问题的能力，并且初步掌握了在直观认识的基础上进行合情说理和直观与简单说理相结合的方法，初步感受到推理说明的必要性与作用。同时，在以往的数学教学中，学生已经经历了多次合作学习的过程，具备了与同学沟通交流的能力，积累了相当多的合作学习经验。
三、教学目标
从整体上看，数学课程教学目标包括结果目标和过程目标。结果目标使用“了解、理解、掌握、运用”等术语表述，过程目标使用“经历、体验、探索”等术语表述。
1.知识与技能
通过本章节的学习，要让学生充分掌握平行线的特征，能利用其特征解决相关数学问题。
2.过程与方法
在平行线的特征教学过程中，要让学生经历观察、猜想、比较、联想、分析、归纳、概括的全过程。通过对平行线的特征的学习，使学生逐渐形成数形结合的数学思想，以及提高学生的建模能力、创新意识和创新精神。
3.情感态度与价值观
在探究活动中，让学生获得亲自参与研究的情感体验，增强学生学习数学的兴趣和热情，培养学生团结协作的精神，激发学生探索未知知识的欲望。
四、教学重点和难点
本章节的教学重点是平行线特征的探索及应用。教学难点是平行线特征的探究和平行线的判定与特征的区分以及综合应用。
五、教学设计
《义务教育数学课程标准》强调：“数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程；动手实践，自主探索，合作交流是孩子学习数学的重要方式；合作交流的学习形式是培养孩子积极参与、自主学习的有效途径。”本课堂将以“生活・数学”“活动・思考”“表达・应用”为主线开展课堂教学，以学生看得见、感受得到的基本素材创设问题情境，引导学生活动，并在活动中激发学生认真思考、积极探索，主动获取数学知识，同时通过小组内学生相互协作探讨，培养学生的合作性学习精神。
六、教法和学法
为了避免传统的单向灌输式教学带来的不良后果，教师要注意转变观念、转换角色，让学生真正成为课堂的主人，在课堂中选用引导探索、自主探究、合作交流等教学方法，希望通过这些教学方法，让学生形成自主学习、合作学习的良好习惯。
在学习方法上，教师要注意引导。俗话说：“老师引进门，修行靠个人。”因此，学生要主动动手画图、测量、对比，主动动脑猜想、讨论、分析、思考，在自主探索的活动过程中形成自己独有的观点，逐步培养学生勤于动手、乐于思考、勇于表达的学习习惯，提高学生的学习能力。
七、教学设备和教辅用具
在数学教学前，必要的工具准备是必须的，比如，多媒体、相关课件、三角尺、量角器、剪刀以及其他纸质模型等。
八、教学过程
1.创设情境，设疑激思
（1）提问导入
首先，教师可以在教授知识前，设置一个导入性的问题。譬如：“日常生活中我们经常会遇到平行线？能说出直线平行的条件吗？”学生思考后回答时可能说出以下答案：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行。如果学生不能完整地回答，教师应当做一些适当的补充。
（2）深入再问
这是导入问题后的第二个步骤，在第一个问题的基础上再一次提出问题。接下来，可以结合图形提问，例如，“如图1是在三星堆考古工作中发掘出的一个残缺玉片，工作人员复原后发现其形状是梯形（如图2），并且已经量得∠A=115°，∠D=100°。你能不能求出另外两个角的度数？”带着这个问题，教师就可以引出本课堂的内容，即平行线的特征（板书在黑板上），由此引出课题。
设计意图：通过复习平行线的判定和生活中的实例来引入新课程，一是温故知新，促使学生实现知识思维的正迁移；二是提高学生的学习兴趣，激发学生探索知识的热情，使学生认识到数学来源于生活，又服务于生活。
2.数形结合，探究特征
（1）画图探究，归纳猜想
教师提要求，让学生实践操作。比如，让学生任意画出两条平行线（a∥b），画一条截线c与这两条平行线相交，标出8个角（注：统一采用阿拉伯数字标角）。接着教师可以提出研究性问题一：请指出图中的同位角，并度量这些角，把结果填入下表：
紧接着教师提出研究性问题二：将图中的任意一对同位角剪下后叠合。
学生活动一：画图―度量―填表―猜想
学生活动二：画图―剪图―叠合
让学生根据活动得出的数据与操作得出的结果归纳猜想，如两直线平行，同位角相等。
最后，再提出研究性问题三：再画出一条截线d，看你的猜想结论是否仍然成立？
学生活动：探究并进行小组讨论，从而得出结论仍然成立。
（2）展示平行线的特征
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简记为：两直线平行，同位角相等。
设计意图：此环节为本课堂的重点内容，所以给学生留有充分的操作和探索空间，让学生通过测量、剪拼、猜想、讨论、归纳概括出平行线的特征，让学生在充分的活动中能发挥自己的聪明才智，用不同的方法来验证结论，开拓学生的思维，培养学生的创新能力，也让学生体会从特殊到一般的数学思想。当然，最重要的是培养学生的操作能力，为以后探究更多更复杂的图形性质打好基础，积累经验。
3.合作探究，归纳结论
教师提出研究性问题四：请判断两条平行线被第三条直线所截，内错角、同旁内角各有什么关系？
学生活动：独立探究―小组讨论―成果展示。
教师活动：评价学生的研究成果，并引导学生进行简单的
说理。
如图3，因为a∥b（已知）
所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）
又因为∠1=∠3（对顶角相等）
所以∠2=∠3（等量代换）
又因为∠1+∠4=180°（邻补角的定义）
所以∠2+∠4=180°（等量代换）
教师展示：
平行线的特征2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相
等。简记为：两直线平行，内错角相等。
平行线的特征3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简记为：两直线平行，同旁内角互补。
设计意图：通过学生的自主探究和师生之间的合作交流，让
学生体会与他人合作的重要性，体会转化、归纳的数学思想。在说理和归纳的过程中，鼓励学生大胆发表自己的见解，培养学生的推理能力和语言表达能力。
4.辨析关系，加深理解
教师提出研究性问题五：平行线的判定与平行线的特征有什么区别和联系？
学生活动：独立思考―填写下表―成果展示。
教师活动：归纳总结――证平行，用判定；知平行，用特征。
设计意图：通过表格的填写，让学生从结构特征上明晰平行线的判定和特征的区别与联系，加深对结论的理解，明确在解决具体问题时如何选择运用判定和特征。
5.实际应用，深化理解
为了深化和巩固所学知识，教师应当举一些典型的例子进行讲解。
例1.如图4，已知AD∥BC，AB∥DC，∠1=100°，求∠2，∠3的度数。
例2.如图5，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1=∠2，∠3=∠4。（1）∠1，∠3的大小有什么关系？∠2与∠4呢？（2）反射光线BC与EF也平行吗？
设计意图：例1是特征的直接应用，例2是判定与特征的综合应用，题目的难度都不大，主要是让学生体会知识的应用和推理论证过程，感悟推理的依据和结论之间的关系，养成合情推理的习惯。例2要求学生进行小组讨论、综合分析、自主提高，使学生能够灵活应用平行线的判定和特征来解决问题。
6.练习巩固，应用提高
课后教师应当布置一些练习题目，比如，1.解答本课堂前面提出的“残缺玉片”问题；2.课本随堂练习。
设计意图：通过布置练习题的方式，既巩固了新知，又训练了学生思维的灵活性与开阔性，还能让教师及时发现问题，做好评讲纠正工作。
7.梳理反思，感悟收获
最后教师可以进行总结性的提问，如：谈谈本课堂你的收获？
（1）学生总结：a.平行线的特征；b.平行线的判定与特征的
异同。
（2）教师补充总结：a.用“运动”的观点观察数学问题（如我们前面将同位角剪下叠合后分析问题）；b.用数形结合的方法来解决问题（如我们前面将同位角测量后分析问题）；c.用准确的语言来表达问题（如平行线的特征表述）；d.用逻辑推理的形式来论证问题（如我们前面对特征2和3的说理过程及例题的解答过程）。
设计意图：引导学生对知识进行再回顾，加强理解，形成知识体系，为运用打牢基础。
8.分层作业，培养能力
进行总结性发问后，教师还要布置适量的作业，并把作业分成必做题、选做题以及实习作业等，这就是检验学生是否将知识消化的措施。
设计意图：学生可以根据自己的学习水平去自行选择选做
题，减少不必要的作业负担，使不同层次的学生得到不同的发展。通过作业进一步巩固所学知识，使之学有所用。
数学教学要注重引导学生探索与获取知识的过程，而不仅仅是注重学生对知识内容的汲取，因为“过程”不仅能引导学生更好地理解知识，还能够引导学生在活动中思考，更好地感受知识的价值，增强应用数学知识解决问题的能力；能够感受生活与数学的联系，获得“情感、态度、价值观”方面的体验，让学生亲身体验到数学知识来源于实践，从而激发学生的学习积极性。同时，课堂设计为学生提供了大量操作、思考和交流的机会，学生通过“操作―思考―交流”的过程层层深入，最终得出了平行线的三个特征。通过这样的过程，学生逐步体会到数学知识的产生、形成、发展与应用的过程。另外，在教学过程中还需要注重引导学生在具体操作活动中进行独立思考，鼓励学生发表自己的见解。通过自主发现问题、探索问题、获得结论的学习方式，还有利于培养学生独立思考的能力。当然，笔者的教学方式也有一些不足之处，驾驭课堂的能力还有待加强。
参考文献：
[1]董彩君.初中数学“情境―问题―讨论―反思”教学模式的实践研究[D].华东师范大学，2008.
[2]孙雅琴.渗透数学基本思想的初中数学课堂教学实践研究[D].重庆师范大学，2012.
[3]耿岩.初中数学课堂情境探究式教学模式的应用探索[D].扬州大学，2011.
[4]牟丽华.几何画板优化初中数学教学的案例研究[D].重庆师范大学，2012.
[5]张力琼.初中数学教学中渗透数学思想方法的教学策略研究[D].西北师范大学，2007.
[6]尤如龙.从一次课堂上的教学案例来认识初中数学教学[J].数学学习与研究，2011（6）：80.
[7]聂芬.初中数学教学中“支架式”教学模式的应用研究[D].西北师范大学，2012.
[关键词] 初中数学；合作学习；教师干预；案例研究
为了在初中数学教学中充分发挥合作学习的作用，数学教师在备课阶段就需要准备课题，并在教学过程中适时进行干预. 如何把握干预时机，对教师来说挑战性较大. 通过反思教学案例，发现大部分数学教师通常不能很好地指导学生展开深入讨论，普遍是过早干预，当进行深入讨论时，学生已经失去了讨论的兴趣. 而且，数学课堂不是一成不变的，不同的学生对同样的课程的学习情况也是不同的，这种差异为合作学习带来了更多的乐趣，同时也对教师提出了更高的要求. 针对不同的教学内容，如何利用教学素材，如何安排各教学班的合作时间，如何分组才能保证不同层次的学生都能学到知识，这些问题数学教师必须要深入思考，通过教学实践，找寻答案.
教师干预在初中数学合作学习
中的重要意义
1. 教师能够实时掌握学生的学习情况
在初中数学合作学习中应用教师干预，能够让教师及时掌握学生的学习动态. 虽然合作学习强调的是学生独立自主学习，但是教师还必须对整个过程进行跟踪，如此才能了解每个学生的学习情况，才能发现学生学习过程中存在的疑惑，及时给予解答. 从某种意义上来说，小组合作学习并不只是一种学习形式，更多的是为学生创造自主学习的机会，特别是初中学生正处于思维开阔的阶段，而且初中数学课程对学生来说，既是重点又是难点，初中数学教师必须实时进行跟踪观察，掌握小组学习的效果，以免合作学习流于形式.
2. 能够让教师在第一时间为学生解惑
相较于传统的授课方式，教师干预下的小组合作学习利弊参半. 传统的教学模式虽然单调古板，但是教师能够准确把控教学重点和难点，而这种新型的教学方法给学生提供了蒙混学习的机会，不但浪费了大量的学习时间，而且学生根本学不到知识. 众所周知，初中数学涉及的知识点十分繁杂，而且具有较强的思维跳跃性，学生很容易遗漏一些知识点，因此初中数学教师必须在最短时间内了解学生的知识疑点，并给予解答. 教师应该在自主学习之后，将学生认为的疑难知识记录下来，统一进行讲解.
3. 有助于培养学生共同学习的能力
在传统教学中，始终遵循的是“教师讲解，学生听记”的教学模式，然而小组合作学习强调的是学生间的交流与协作，测试的不仅仅是单个学生数学学习的能力，而是整个小组成员共同学习的能力. 在新时代下，单独的个体已经不能将生活和工作中遇到的各种难题完美解决，必须借助集体力量，才能将复杂的难题解决. 虽然初中学生还没有正式成为社会成员，还处于学习知识的状态，但是应该提前学习与人合作的方法，为以后生活、工作做好准备. 而且这种方法，也能够帮助学生更好地掌握数学知识，提高数学成绩.
初中数学合作学习中教师干预
的案例研究
1. 初中数学教师应鼓励学生提出并解决问题
在教师未实施干预前，学生提问是合作教学效果的直观反映，能够帮助数学教师做出正确的判断，及时给予各小组教学帮助. 教师在进行干预前，主要是通过观察学生或小组而得出相应的结论，这会对教师判断学生及小组进程状况带来一定的影响. 初中数学教师应该鼓励各小组的成员通过独立思考分析问题，得出答案. 若学生遇到自己不能解决的问题时，数学教师首先应该指导学生弄清楚问题类型，通过分析对问题进行阐述. 比如，在学习《探索直线平行的条件》时，数学教师让学生分小组讨论两条直线平行需要具备的条件. 小组成员互相讨论后得出以下结论：①同位角相等；②内错角相等；③同旁内角互补. 此时有学生向数学教师提出疑问：这三个条件，若缺少一个条件，那么会出现什么情况？教师针对这个问题再次让小组进行讨论，学生最后发现：若同位角或者内错角不相等或者同旁内角没有形成互补关系，那么两条直线都不能平行. 通过鼓励学生提出并解决问题，能够使教师及时掌握学生的学习情况，进而更好地指导学生进行数学学习.
2. 初中数学教师应利用实验性问题展开合作学习
在课堂教学中，导入数学实验能够加深学生对数学概念的理解程度，尤其是许多实验需要大量的数据作支撑，课堂时间有限，学生不可能独立完成实验，所以，合作学习的优势就充分发挥了出来.
比如，在学习频率与概率时，针对概率统计，教师必须要科学安排教学环节：首先，每位学生都必须做20次抛硬币实验，并将自己的结果记录在表格上；其次，小组成员互相交流，分析不同成员的实验结果，看是否一致；再次，小组成员将单个实验结果进行累加，同时用表格记录累加结果；最后，将所有小组的数据进行汇总，再次展开小组讨论，根据实验结果，总结规律. 利用实验教学设计，让学生在合作学习过程中明确随机事件发生的不确定性以及随机事件发生频率的稳定性.
3. 初中数学教师应该充分发挥小组作用
（1）指导学生开展小组讨论.在实施数学合作学习过程中，若小组中有个别组员遇到问题时，数学教师不应该立刻进行干预，应该鼓励小组成员对问题进行讨论，充分展现小组的价值. 因此，当小组个别组员遇到困难时，数学教师应该给予学生充足的讨论时间，让小组中其他成员进行指导；或者所有成员就问题展开讨论，如此不但能够发挥小组作用，增强小组成员的凝聚力，而且还能提高小组的独立性.
比如，在学习《比0小的数》时，数学教师提出问题：有没有比0更小的数？学生按照原来的学习思维，大都认为0是最小的数，所有的数都是从0开始的. 也有少数同学提出疑问：在天气预报中，为什么会说零下十几度，零下多少的数字会比0小吗？数学教师此时不能立刻进行干预，应该鼓励小组成员进行讨论，发现答案. 最终，有小组得出结论：有比0小的数字. 此时，数学教师引入负数的概念，就能让学生更好地理解正负数.
（2）讨论完毕后实施干预.初中数学教师在进行干预前，应该给予小组成员足够的时间讨论问题，让整个小组能够得出一致的意见. 若完成讨论后，小组中没有一个成员发现问题根源，或者没有找到解决问题的方法，数学教师此时再进行干预.
比如，在学习《不等式的解集》时，初中数学教师让学生对不等式解和解集的差别进行区分，并在黑板上写下一道题让学生思考. 题目为：①x=2是不等式3x>2的解；②x=2是不等式3x>2的唯一解；③x=2不是不等式3x>2的解；④x=2是不等式3x>2的解集. 通过小组讨论，学生得出了不等式解和解集的差异：不等式能够拥有无数个解，通常是在一定范围内所有的数，未知数选择解集中的任一数值时，不等式成立；反之，不等式不成立. 掌握不等式解与解集的区别后，学生轻易选择了正确答案①.
（3）加强学生间的合作交流.数学教师应该指导学生加强交流合作，并给予适当指导，使小组成员能够针对问题展开深入研究，保证小组合作学习能够达到预期的效果.
比如，在学习《分式的加减》时，数学教师在黑板上写出了两个公式让学生通过计算找出分式加减的原则. 经过小组讨论，学生给出了答案，即，总结得出结论：同分母的分式相加减，分母不变，将分子相加减即可. 然后，数学教师对这个问题进行扩展，提出了另外一个问题：异分母分式相加减的方法及原则. 学生经过新一轮的计算后，得出结论：异分母分式相加减，先将异分母通分，化成同分母后，再根据同分母分式相加减的原则进行计算. 数学教师在学生学习过程中适时进行指导，不但加强了组员间的合作交流，而且还提高了学习的深度和广度，增强了小组合作学习的效果.
4. 教师应给予表现优异的学生更多的关注
一、几何画板在初中数学教学中的优势
（一）操作简单
在几何画板的教学中，几何画板具有操作简单、灵活性强等特点。为了便于学生更好地了解数学知识，教师可以利用几何画板激发学生在学习数学知识的主动性、积极性。从而有效提高学生的思维能力。近年来，在初中数学教学中已经普遍使用几何画板进行教学，几何画板不仅可以使初中数学的教学模式变得生动有趣、新颖、形象，还可以激发学生学习的主动性和积极性。几何画板可以生动形象地反映出图形的性质，从而突出该知识点的本质。如：“三角形”这门课程，对于三个角的平分线相交问题，学生经常出现错误，使得三条线不在同一点相交。如果相交，也会出现不确定的情况，从而导致学生不能掌握该知识的本质。通过“几何画板”的三角形图形，以中角的平分线画三条角平分线，这样就可以使三条直线相交，之后拉动任何一个顶点都会改变三角形的大小、形状，但是不会改变三个角的平分线交于一点的事实。根据试验，可以有效培养学生的思维能力、观察能力，让学生自己动手操作，从而提高学生学习数学的兴趣。
（二）辅助教学，易学易用
数学主要来源于现实生活，是对现实生活中的数量关系、物质形态等进行的总结。在初中数学教学中，需要通过实物方式、物质的形态等进行表达。例如“事物的中点”如果离开了图形的操作，就无法揭示出该事物的本质，在“几何”中就很难形成抽象化，从而使得数学更难学。在几何教学中，教师应正确指导学生学习几何图形，通过一些简单的图形教会学生识别，通过活学活用的方式，突破数学的难点。在入门教学中，教师可以利用几何图形进行识图、作图等的教学，从而培养学生的解图、识图等能力，使学生更好地掌握基础知识，养成活学活用的习惯。
二、几何画板在初中数学教学中的实践和探索
在数学教学中，几何图形的学习较抽象，传统的教学模式无法满足教学要求，从而导致许多学生对“几何画板”的认识只停留在表面，以下通过几个例子充分表明几何在数学领域的实用性，通过生动形象地用几何抽象化进行表达，帮助学生进一步探索与观察，从而有效地进行归纳[1]。
（一）案例1：对有理数的认识与探索
通过利用几何画板进行有理数的讲解，例如：在初一年级中，根据“几何画板”内容中的度量横坐标帮助学生更好地认识数轴，通过数轴上的点，从数学知识基础上进行有理数与数轴之间的对应关系等方面进行讲解，从而提升学生的认识水平[2]。
（二）案例2：对三角形中位线的认识
近年来，在初中数学教学中，在讨论问题前通常会提出相关概念或者含义，从而导致学生在对数学含义的感性认识不足，学生在接受与认同方面容易产生困惑。但是，通过“几何画板”就不会出现这种情况。例如：在“三角形中位线”这节的学习中，为了使学生可以更深入地了解，如图1所述，当D在BC上移动时，就可以看出AD上的点M在直线EF上进行移动。通过图形就可以更直观地认识这些中点形成的三角形及变化。事实证明，在感性认识后，学生不但可以掌握基础知识，还可以更好地灵活运用。
（三）案例3：动态几何中的探究
例如：四边形的中点四边形，请举例说明。
分析：首先要知道什么是中点四边形？中点四边形就是指把两边相邻的两条直线进行连接所形成的四边形。
解：如图2所述，画出任意一个ABCD四边形通过两条相邻直线得出EFGH，任意改变四边形的形状，而EFGH四边形是一个平行四边形，最终得出EFGH是一个平行四边形。
[关键词] 初中数学;概念教学;质量提升;案例分析
万丈高楼平地起，以沙丘为地基的宏伟建筑的倒塌也只是片刻. 作为基本的数学体系元素，数学概念以抽象思维性反映了现实中的数量关系、空间形式与其本质特性，支撑着数学体系. 做好初中数学概念教学实践，是素质教育中“全方位发展”的要求，也是学科兴趣的需要.
数学概念浅谈
数学概念可以说是现实数学世界的一种理论、思维的升华，最终得到数量关系与空间关系. 数学概念是基本的数学内容，是定理、公式与法则的逻辑推导的起点，学生认知数学必须从数学概念开始. 奥苏泊尔认为，学习者“熟知数学概念”以“共同数学学习特性”的掌握与认知为标志，概念的同化与形成帮助学习者掌握概念. 以建构主义为基础的APOS教学理论由杜宾斯提出，该模型提倡概念建立要依靠学生的主动行为，在反复、多次的综合与抽象后，方可实现概念构建目标. 学生在数学活动中，经过行为、过程、对象与图象公式四个阶段，寓教于乐学习概念.
考虑初中数学概念繁多，难以一一列举，可将其做属性划分. 首先，具体与抽象概念. 摸得着、看得见的直观概念，如三角形、等式、实数、圆、方程、有理数、四边形、代数式、四边形等具体概念;抽象概念分为数学过程与关系概念，数学过程概念如解不等式（组）、开方、变形、乘方、解直角三角形、解方程（组）、公式恒等变形、因式分解多项式等;数学关系概念如相离、相交、全等、不等、相反、重合、成比例、相似、垂直、相等、相切、相似、平等. 其次，根据数学概念外延对象，分为单独概念与普遍概念. 如四边形ABCD、90°角的余弦值、二次函数y=2x2-3、自然数2等单独概念;比值、四边形、二次函数、自然数等则为普遍概念. 此外，还有种概念与属概念. 设A、B两普遍概念相异，A外延从属于B，那么B为属，A是种. 如矩形与正方形、四边形与平行四边形分别是属种关系. 属种间应当具备相似的内涵，如方程与四边形、方程与圆就不是属种关系.
有效提升初中数学概念教学质
量的实践分析
（一）概念图的构建让学生对数学概念一目了然
参考奥苏泊尔学习理论，创建的数学概念图让学生对数学概念有了框架式的全新认识. 课程之前，教师可编写下节课数学知识的概念图，以图架形式帮助学生分辨知识点的关联. 概念图可省去文字的繁杂，形式简单、逻辑合理、轻重分明、知识全面、理解容易.
例如，“变量与函数”课程，可设计出如图1所示的概念图.
在实数概念课程，构建概念图也可如图2.
利用概念图，教师备课实现了整体化，其以“居高临下”式的观察概念谱系，不仅可观察数学概念全景（big picture），其细节也十分清楚. 当然，对于学生来说亦是如此.
（二）变错误为宝，升华概念认识
钱学森说过，正确的结果，是从大量的错误中得出来的. 初中数学概念上百，学生难以掌握完全，解题错误时常发生. 但是，若将眼光“先前看”，而忽视了回头分析、改正错误，错误将会接二连三重复. 错误是正确的先导，发掘、正视并珍视概念，利用错误，变错误为宝，可防止下一次错误的发生.
例：设b<a，c是有理数，则下列不等式的正确个数为多少？
①bc>ac;②bc<ac;③<;④bc2≤ac2;⑤bc2<ac2.
本题中，因a>b，讨论所选不等式的正确性，只需要考虑c、c2. 因c是有理数，那么①②③肯定存在变形错误. 这时，学生误以为c2>0，则得出④⑤的正确性. 其实，0≤c2，那么，仅有④是正确的.
在学习数学性质与概念时，需要纵横结合、前后联系，探究本质，并联想、比较记忆，以更好认识数学概念.
再如，x1、x2为方程x2+kx+4k2=3的实数根，且有等式xx=x+x，试求k值.
错误解法：因方程实数根为x1、x2，且满足xx=x+x，为此，4k2-3=-k，即4k2+k-3=0，解方程得：k=-1或.
此题难度虽小，但学生依然经常犯错，原因在于忽略了Δ=b2-4ac≥0.
正确解法：依照上面得到k=-1或，在分别将k=-1与k=代入题干方程得到一元二次方程式后，以Δ=b2-4ac≥0判断k的解值，满足条件的只有k=.
其实，概念理解的偏失、浅显、错误是不可避免的，学生要勇于挑战解题错误，寻找盲点，以错误为基石，不断走向成功.
（三）数形结合，突出概念直观性
数学数量关系与图形间的相互转换应用即为数形结合. 数学是生活的逻辑与抽象性升华，将模糊的数学概念，通过图形方式展现，符合初中生学习与思维能力. 数形结合可在实数、不等式、函数、三角函数以及几何等知识点中凸显. 例如，实数大小的比较，可通过数轴点的前后位置来判断.
例：假设0>a，b>0，a>b，试比较a、b、-a、-b间以及0与a-b、0与-ab、与间的大小.
该题涉及数学关系概念、有理数概念，简单考虑有理数性质，会出现思维无序状态. 若以数轴为帮手，便能轻松解答概念间的相互关系.
依据数轴，直观得到：-a>b>-b>a;0>a-b、0<-ab、>.
例：几何内容“圆”主要教授圆与直线、圆与点、圆和圆间的相互位置关系. 以口头、文字空洞表达外切、相交、内切等关系，必然因对比关系的复杂而一头雾水. 为此，可以图示其间的关联. 如圆和圆的位置关系，可画出下图.
圆外离：d>R+r
圆内切：d=R-r或d<R+r
圆相交：R+r>d>R-r
圆外切：d=R+r
数形结合即数量关系与几何图形间的结合，考虑数学知识间的共通性，有效契合数与形，严密推导，是理解数学概念、扩大数学概念认知的有效方式.
（四）以范例为概念学习打下前期基础
范例，即例子. 初中数学课本的编排有很强的逻辑性，知识体系从简单到复杂，不断铺排. 掌握前一章节概念，后期概念学习当然如数家珍. 在概念学习时，教师不妨选择典型的例子，铺设探究路子，为学生提供方便. 例如，“幂的乘方”比“积的乘方”学习在前，在教授“积的乘方”时，有必要提供“幂的乘方”范例，在回忆基础上拉开“积的乘方”概念学习序幕.
例：计算①（32）3;②（x3）2;③（xa）n.
计算后，总结规律发现，如果a与n为正整数，则（xa）n =
为此，（xa）n=xan. 得出规律，幂的乘方，底数不变，指数相乘.
有了以上例子，再让学生求解以下各式：
（4×5）2与42×52;[4×（-5）]2与42×（-5）2;×与×，最后，让学生自行在探索中总结规律.
通过范例，概念的语言解释大可避免. 在“对照”基础上，学生寻找出范例与所学概念间的相似性，把思考还给学生，能培养学生独立思考能力.
（五）提升数学概念教学的其他建议
首先，加强理解阅读. 翻阅教材，发现数学概念大多精简、抽象、严谨，对于抽象概念，更是难以捉摸其内在含义，无法寻找出有效的反映实体. 因概念由语言表述，则学习、理解概念语言至关重要. 若学生阅读能力低下，在概念理解与应用上则要下苦功夫.
其次，在理解阅读基础上，教师还应要求学生由表及里，由现象到本质对概念进行理解，注意概念外延、内涵，保证质与量的双丰收. 如，“垂线”. 概念内涵――四个垂直角;概念外延――线相交下的某特殊存在状况;定义垂线，从而认知定义具有概念判定与性质区分的性能.
另外，初中数学概念的认识、理解不可停留在思维上，要真正形成概念，应用实践不可或缺. 在实际数学问题中应用概念，学生可巩固概念，加深掌握程度，当然，数学实践能力也不知不觉得到提升.
1. 学习方式
对于全等三角形的研究，实际是平面几何中对封闭的两个图形关系研究的第一步。它是两个三角形间最简单、最常见的关系。它不仅是学习后面知识的基础，并且是证明线段相等、角相等以及两线互相垂直、平行的重要依据。因此必须熟练地掌握全等三角形的判定方法，并且灵活地应用。为了使学生更好地掌握这一部分内容，遵循启发式教学原则，用设问形式创设问题情景，设计一系列实践活动，引导学生操作、观察、探索、交流、发现、思维，使学生经历从现实世界抽象出几何模型和运用所学内容，解决实际问题的过程，真正把学生放到主置。
2. 学习任务分析
充分利用教科书提供的素材和活动，鼓励学生经历观察、操作、推理、想象等活动，发展学生的空间观念，体会分析问题、解决问题的方法，积累数学活动经验。培养学生有条理地思考、表达和交流的能力，并且在以直观操作的基础上，将直观与简单推理相结合，注意学生推理意识的建立和对推理过程的理解，能运用自己的方式有条理地表达推理过程，为以后的证明打下基础。
3. 学生的认知起点分析
学生通过前面的学习已了解了图形的全等的概念及特征，掌握了全等图形的对应边、对应角的关系，这为探究三角形全等的条件做好了知识上的准备。另外，学生也具备了利用已知条件作三角形的基本作图能力，这使学生能主动参与本节课的操作、探究成为可能。
4. 教学目标
（1）学生在教师引导下，积极主动地经历探索三角形全等的条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。
（2）掌握三角形全等的“边边边”的判定方法，了解三角形的稳定性，能用三角形的全等解决一些实际问题。
（3）培养学生的空间观念，推理能力，发展有条理地表达能力，积累数学活动经验。
5. 教学的重点与难点
重点：三角形全等条件的探索过程是本节课的重点。
从设置情景提出问题，到动手操作、交流，直至归纳得出结论，整个过程学生不仅得到了两个三角形全等的条件，更重要得是经历了知识的形成过程，体会了一种分析问题的方法，积累了数学活动经验，这将有利于学生更好地理解数学，应用数学。
难点：三角形全等条件的探索过程，特别是创设出问题后，学生面对开放性问题，要做出全面，正确的分析，并对各种情况进行讨论，对初一学生有一定的难度。
根据初一学生年龄、生理及心理特征，还不具备独立系统地推理论证几何问题的能力，思维受到一定的局限，考虑问题不够全面，因此要充分发挥教师的主导作用，适时点拨、引导，尽可能调动所有学生的积极性、主动性参与到合作探讨中来，使学生在与他人的合作交流中获取新知，并使个性思维得以发展。
6.教学过程（表）
7.教学反思
（1）本节课的设计体现了以教师为主导、学生为主体，以知识为载体、以培养学生的思维能力为重点的教学思想。教师以探究任务引导学生自学自悟的方式，提供了学生自主合作探究的舞台，营造了思维驰骋的空间，在经历知识的发现过程中，培养了学生分类、探究、合作、归纳的能力。
一、了解案例的结构要素
1．背景。介绍一堂课，就有必要说明这堂课是在什么背景情况下上的，是一所重点学校还是普通学校，是一个重点班级还是普通班级，是有经验的优秀教师还是年青的新教师执教，是经过准备的“公开课”还是平时的“常态课”，等等。背景介绍并不需要面面俱到，重要的是说明故事的发生是否有什么特别的原因或条件。
2．主题。案例要有一个主题：写案例首先要考虑我这个案例想反映什么问题，是想说明怎样转变差生，还是强调怎样启发思维，或者是介绍如何组织小组讨论，等等。动笔前都要有一个比较明确的想法。
3．情节。有了主题，就可以对原始材料进行筛选。比如，介绍教师如何指导学生掌握学习数学的方法，就要把学生怎么从“不会”到“会”的转折过程，要把学习发生发展过程的细节写清楚。
4．结果。案例不仅要说明教学的思路、描述教学的过程，还要交代学生学习的结果。
5．反思。反思是在记叙基础上的议论，可以进一步揭示事件的意义和价值，不一定是理论阐述，可以就事论事、有感而发，引起人的共鸣，给人以启发。
二、写好案例的关键
1．选择复杂的情境。教师在教育教学活动中面临着各种各样的问题情境，需要进行判断、选择，作出决定。复杂的情境提供了更多的选择、思考和想象的余地，因而给人以更多的启迪。
2．揭示人物的心理。人物心理的重要方面是学生的心理活动。由于案例一般是教师撰写的，注意力容易偏重于教师这一方。自己怎么想的，怎么教的，主观认为教学效果如何，可以娓娓道来，自我感觉良好；但学生的心里是怎么想的，对教学效果的看法是否与教师一致，往往被忽略不计了。人们常说“备课要备两头”：备教材，备学生。真实地反映学生在学习过程中的想法、感受，是写好案例的重要一环。
3．具有独到的思考。同一件事，可以引发不同的思考。从一定意义上来说，案例的质量是由思考水平的高低所决定的，要从纷繁复杂的教学现象中发现问题、提出问题、解决问题，道出人所欲知而不能言者，这需要一双“慧眼”。
三、案例的表现形式
1.师生互动有助于学生独立思考能力的养成
在初中数学课堂的教育教学中，教师努力为学生创造宽松、相对自由的环境，让学生可以在课堂上大胆的提出问题、作出假设、举一反三，在与教师的提问应答的过程中，有效的锻炼学生的思考能力和反应能力。
2.师生互动有助于学生思维能力的发散
在以往的数学课堂教学中，教师只是一味地讲解，晦涩难懂，对于学生的理解掌握的情况缺乏了解，不能根据学生自身的掌握情况进行合理科学的安排。而在师生互动式的学习模式中，教师通过引导，学生需要自己发现问题并尝试解决问题，教师只是发挥方向性的作用，通过教学引导学生发散思维，适度放手，让学生做学习的主人。
3.师生互动有助于学生之间沟通交流
在师生互动式的数学课堂的教学中，学生主要的学习路径就是在不断地在发现问题的过程中解决问题，在与同学进行交流与沟通的过程中，通过信息的交流与想法的碰撞发散学生思维，从而培养学生独立思考的能力。
4.师生互动有助于师生之间和谐关系的建立
课堂教学的主体是教师与学生，因此，课堂教学应该是师生间共同协作的过程，是学生自主学习的主阵地，也是师生互动的直接表现。初中数学教学课堂上，教师通过提问、解答、合作等方式，让学生在教学的过程中，对所学的知识能够进行全面系统的掌握，培养学生学习数学的能力。
二、数学课堂上师生互动的具体方式
1.课前引导
在上课之前，教师可以通过对上节课的主要内容进行回顾，并且通过模拟性的小测试来调动学生的积极性，通过趣味性的游戏开展这一堂课的学习，这样可以使学生很快的进入学习状态，调解课堂气氛，还有助于集中学生的注意力，为学生的课堂学习做好铺垫。
2.创设问题情境，激发学生兴趣
初中数学教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有的知识经验的基础上。但由于长期受应试教育的影响，课堂的气氛比较沉闷，学生在严肃的课堂氛围中听老师讲课，一节课下来，老师讲得多，而学生只是一味的被灌输，致使学生注意力分散，也没有进行良好的课堂互动，缺乏独立思考的能力，而学生的课堂学习效率也大打折扣。因此，我们必须努力激发学生学习的积极性，在课堂上创设问题情境，积极引导学生进行思考，根据自身已有的知识和经验主动的加以学习和掌握，吸引学生的注意力。在学生自身带着问题的情况下，自觉地去思考，分析问题和解决问题。
3.鼓励提出问题，发散学生思维
爱因斯坦曾经说过：“提出一个问题比解决一个问题更重要。”在一个宽松、相对自由的学习环境下，教师让学生大胆发言，踊跃提问。只有在这种学习氛围的影响下，学生才有勇气在课堂上提出质疑，大胆猜想。而学生在提出问题的同时，会带着求知的欲望自主的去寻找问题的答案。那么学生就会在探究知识的过程中，掌握分析问题和解决问题的能力。
4.组建合作小组，增进学生交流
在以后的数学课堂教学中，教师从以往的知识的传授者编程了学生学习活动的参与者、组织者、引导者，教师在课堂上主要发挥方向性的引导作用。同时，每个学生能够依据自身的刑法和特点，通过合作小组的建立，有更多的机会去表达自己，通过与学生之间的相处、交流，在小组的讨论过程中，使每一个学生的聪明才智得到充分的体现。不仅如此，他们会在注意保留自己意见的同时，虚心听取他人的意见，有利于合作意识的树立。
5.借助多媒体手段演示教学
随着科技的发展，现代信息技术的发展对于数学的价值、目标、内容以及学与教的方式产生了重大的影响。在初中数学的课堂教学中，多媒体教学将占有重要的地位。大力开发学习资源，把现代信息技术作为学习数学和解决问题的强有力的工具，运用多媒体技术将复杂繁琐的问题运用动画的方式呈现出来，生动形象的对立体几何的数学难题的解题思路形象化，构建学生的空间想象能力，充分发挥学生的想象力。
三、结语
有效的数学学习活动，不仅仅靠的是单纯的记忆与练习，更多的是靠学生自我思考与学习。因此，教师要努力营造一种轻松的学习氛围，在课前进行回顾引导，调动学生学习的积极性，通过鼓励与引导的方式，在课堂上让学生主动提出问题，积极思考，激发学生兴趣，发散学生思维，增强师生互动，让学生不断提高自主学习的能力。因为学生只有在自己不断的思考与探究中以及与他人的合作交流中获取的知识，才能不断的转化成一种学习的能力，真真正正的在数学课堂的学习中做自己的主人。
（作者单位：广西百色市田东县油城学校）
参考文献：
[1]佐彬.师生互动论课堂师生互动的心理研究[M].武汉：华东师范大学出版社，2002.
案例讲解时课堂教学的一个重要部分，是一个运动发展的前进过程。教师应将互动式教学融入案例讲解进程中，在双边互动、同心协力下，实现案例讲解的预设目标。本文作者结合自身在案例讲解中的体会认识，对互动式教学在案例讲解中应用进行简单论述。
教育发展学学者认为，教学活动是不是一个静止不变的过程，而是一个运动变化的进程。教师在数学教材知识点、数学问题案例等传授、讲解的过程中，需要结合课堂环境、学生主体等多方面的因素，进行综合考量和思虑，选择针对性、实效性的教学方式和教学手段。案例是数学学科的“代言人”，是数学学科的“灵魂”，数学学科目标要求、内涵要义等，可通过数学案例进行有效呈现。学生是数学案例教学的对象，需要学生个体身心融入案例教学进程中，与教师、与学生进行深入、深刻、细致、高效的双边互动。实践证明，学生主体参与的互动式案例教学中，其效果远远大于传统教学模式。如何在案例讲解中科学运用互动式教学方式，需要教学工作者忍者探索研究。本人现结合自身在案例讲解中的体会认识，对互动式教学在案例讲解中应用进行简单论述。
一、在师生互动中，开展案例解题思路讲解
常言道，思路清，则方向明。学生只有准确、全面地掌握解决数学问题的意图、思路，才能有的放矢，行之有效地开展案例解答活动。解题思路讲解，是数学案例教学活动的承接环节、重要部分。教师直接告知、和盘托出的教学方式，难以达到案例教学的目的，难以达到培养锻炼学生探究分析的能力目标。因此，在案例解题思路的讲解活动中，教师应将初中生“引入”其中，参与其中，与教师共同承担探寻案例解题思路的“重任”，与教师一起，共同“劳动”，完成对问题条件内涵以及解题要求的感知、分析活动，并组织学生围绕“如何根据解题要求”进行探析推导活动，使其案例解题思路讲解活动，初中生成为其中“一分子”，协作劳动，共同探讨，展现初中生的主体特性，提升初中生的探析能力。如“如图所示，在ABC中，AD平分∠BAC，DGBC且平分BC.交BC于G，DEAB 于E，DFAC交AC的延长线于F.”案例解题思路讲解环节，教者采用互动式教学方式，发挥学生主体能动特性，引导初中生参与完成该案例解题思路的探析活动。教师向学生提出：“所揭示的问题条件中，告知了哪些数学条件，这些条件隐含了哪些数学知识内容？”初中生进行问题条件探知活动，在阅读和分析问题条件中认识到：“问题条件中隐含了等腰三角形的关系，以及全等三角形的性质和判定知识点”。教师提问：“该问题是要求‘证明BE=CF’内容，能否从问题条件中找出与之相联系、密切的内容？”初中生此时将问题条件与解题要求进行综合考虑，认识到：“本题综合考查了角平分线与全等三角形的性质及判定”。教师对初中生所探析获得解题思路进行补充完善。在此过程中，初中生参与案例思路讲解活动之中，并在师生互动的交流沟通中，思考分析解题能力得以有效训练和提升。
二、在探讨交流中，开展案例解题策略讲解
让学生掌握解决问题的方法和策略，是整个数学案例讲解的根本目的和重要任务。初中生解题策略的有效掌握，能够为自主解题活动的深入、有效开展，打下坚实的能力基础和科学的方法指导。教师在问题案例教学中，对解题策略的讲授，不能“包办”，应该让初中生参与其中，配合教师的“指令”，就解题问题的方法，与其他学生进行深入的讨论、辨析、研究等合作交流活动，在深入甄别、集思广益的合作进程中，总结、推理和概括出问题解答的策略或方法，使其案例解题策略讲解活动具有显著的双边性、双向性，加深和增强初中生解题策略的认知深度和掌握程度。教师在引导学生不断探索，让初中生思维分析活动更加深入，同时，也促使初中生养成乐于合作，勤于探析的良好解题素养。
三、在多样评价中，开展案例解题活动指点
评价学生解题表现和效果，是案例解题讲解活动中的一个重要环节。由于初中生学习素养较低，解题技能较低，容易在思考、分析、推导、判断等解题进程中，出现瑕疵和不足。教师此时就要指点迷津，发挥“主导”点评指导功效，首先做好调查工作，对初中生解析案例实际由客观、全面的了解和掌握，开展教学评价活动。在此评价活动中，教师不能“一手包揽”，应创新方式，采用教师点评、师生互动、生生思辨等多样性的评价活动，让初中生进入评价活动之中“做评委”，对自己、他人的解题活动过程进行反思、评判、指点、整改等活动，以此提高初中生思维、辨析、反省的深度，提高初中数学案例讲解活动评价的效果。值得注意的是，教师在学生参与的多样互动评价教学中，要切实做好引导作用，避免“放羊式”、超过预设范围现象的发生。同时，教师评判语言应多积极鼓励。
总之，案例讲解是数学学科教学的重要活动，教师应将学生纳入其中，引导他们参与其中，实施互动式教学方式，在师生、生生共同协作、互助下，掌握有效解决问题的方法精髓，提高解决问题的能力素养。
（作者单位：江苏省滨海县蔡桥初级中学）
