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关键词：线性代数；启发式教学法；概念引入
中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）52-0065-02
《线性代数》是高等院校工科学生的三门数学公共基础课之一，与其他两门数学课程（高等数学和概率论与数理统计）不同的是，这门课程的概念多、定理多、运算规律多，并且基本概念、理论和方法具有较强的逻辑性、抽象性和实用性。通过多年的教学工作，我们发现相当多的学生觉得课程内容过于枯燥、抽象，不理解其中概念及相关理论的来龙去脉，概念与概念之间的联系与区别，只会简单记忆概念、性质和公式，进行行列式、矩阵等的运算，而不知道如何运用《线性代数》的知识将各种实际问题抽象为一个线性代数问题并进行求解。如何将课程中抽象枯燥的概念生动形象地表达出来，产生相关理论的思想、方法和过程深入浅出地展现出来，让学生易于理解和接受，并有意识地引导他们自己去发现概念与概念之间的联系与区别，是《线性代数》课堂教学急需解决的问题。所谓启发式教学法[1，2]，就是教师在教学过程中，能够使学生通过自己的能动的思考活动，领会和理解教学内容，提高和发展其自立性和创造性，同时积极促进学生的思维活动，使他们对事物现象的本质能够自主地、容易地把握和领会的教学方法。下面我们以戴斌祥老师主编的《线性代数》教材中第二章第三节矩阵的逆一节内容为教学实例，说明如何从教材内容、教学要求和学生的实际出发，在课堂教学中运用启发式教学法引入新的概念及相关理论。
一、深挖教材内容，创设富有启发性的数学问题情境
能否在学生的“最近发展区”内创设富有启发性的数学问题情境，使问题情境与学生认知结构中的适当知识建立自然的、内在的逻辑联系，从而激活学生的数学思维，最终生成有效的教学探索活动是数学课程开展启发式教学成败的关键。《线性代数》课程主要研究对象是线性方程组，主要研究内容是线性方程组解的存在性、解的个数和解的结构问题，研究工具包括行列式、矩阵和向量组。由于《线性代数》的概念、定理及性质较多，零散且繁杂，这就要求教师必须钻研教材，立足于教学要求，以课程的主攻课题为研究主线，加强即将新学习内容与学生已有的认知结构之间的联系，让学生不断地建立和改进课程知识结构网络，促进学生对新学习内容本质的理解。教材第一章引入了行列式的定义，讨论了行列式的性质和计算方法，并介绍了行列式的一个直接应用：克拉默法则。通过第一章的学习，学生明白了行列式起源于解线性方程组，应用行列式解线性方程组必须满足克拉默法则的两个前提：一是线性方程组的方程个数与未知数的个数要相等，二是线性方程组的系数行列式不等于零。同时，学生体会到由于计算行列式的方法比较灵活，计算工作量大，当系数行列式的阶数较大时用克拉默法则解线性方程组是不适用的。教材第二章第一节从所要研究的一般的线性方程组（m个方程n个未知量）引入了矩阵的定义，第二节介绍了矩阵的五类运算：矩阵的加法、数与矩阵的乘法、矩阵与矩阵相乘、矩阵的转置和方阵的行列式。到此为止，学生已经掌握了线性方程组的矩阵形式，明白了引入矩阵实际上是希望通过研究矩阵的相关理论进一步地讨论线性方程组解的理论和方法。根据以上学生认知结构中已有的课程知识，为了在矩阵的逆这一节的课堂教学中开展启发式教学，我们创设了如下数学问题情境：数的运算定义有加法、减法、乘法、除法，有了数的除法，一元一次方程ax=b，当a≠0时，方程的解可表示为x=b÷a，而矩阵的运算也定义有加法、减法、乘法，那么矩阵是否也可以定义一个除法，当矩阵方程AX=B满足一定的条件时，方程的解可表示为X=B÷A。
二、精心设计教学过程，开展富有启发性的课堂讲授
启发教学法倡导教师开展启发式的讲授，而不是教师简单告诉、学生被动接受的灌输式的讲授。也就是说，在课堂讲授中，要学习的主要数学内容虽然是以定论的形式呈现给学生，但教师不能径直地告诉学生有待掌握的数学知识和解决问题的过程，然后学生消极旁观地倾听并进行简单的记忆和模仿，而要引导学生使新学习的内容与已有认知结构中的适当知识建立内在的逻辑联系，并对教师的讲授做出自己的解释，构建新知识的意义，以此加以内化，从而使新旧知识融为一体。这就要求教师以数学知识为载体，精心设计教学过程，使启发指向数学思考过程和数学思维方法，并从中把握数学知识的本质。矩阵的逆这一节的主要数学内容教材是按如下顺序安排的。
为了充分暴露数学思维过程，形成启发态势，我们以创设的数学问题情境为起点，对教材内容按照知识的发生发展及数学家的思维过程和思维方法进行教学法加工，引入教学内容中矩阵的逆矩阵及矩阵的伴随矩阵这两个重要概念。
1.矩阵的逆矩阵定义的引入。首先，回顾数的乘法与矩阵的乘法的异同，说明由于数的乘法满换律，为此一元一次方程ax=b与xa=b同解，当a≠0时，方程的解可表示为x=b÷a，而矩阵的乘法不满换律，矩阵方程AX=B与XA=B（假设AX和XA都满足乘法定义）不一定同解，故无法找到直接定义矩阵除法的方法。另一方面，类比于数的除法是数的乘法的逆运算，b÷a=b×■=b×a-1，启发学生通过定义矩阵的逆，并结合矩阵的乘法间接实现矩阵的除法去求解相应的矩阵方程，即当矩阵A满足一定的条件时，矩阵方程AX=B与XA=B的解可分别表示为X=A-1×B和X=B×A-1。通过这样的讨论，学生很容易就明白了为什么要定义矩阵的逆，而没有定义矩阵的除法。与此同时，原来创设的如何定义矩阵除法的数学问题情境也顺利转化为如何定义矩阵的逆。然后，类比于数的逆运算，当a≠0时，数a的逆a-1存在，且满足aa-1=a-1a=1，并联想到矩阵运算中单位矩阵的作用类似于数的运算中1的作用，结合正反两方面的实例，启发学生发现不是所有的矩阵都存在逆矩阵，只有矩阵是方阵时才可能存在逆矩阵，方阵A的逆矩阵A-1存在时满足方程AA-1=A-1A=E。最后，给出方阵的逆矩阵的存在性定义，并把如何定义矩阵的逆的数学问题情境进一步转化为方阵满足什么样的条件才存在逆矩阵，存在时又如何求它。
2.矩阵的伴随矩阵定义的引入。首先，由数a的逆a-1存在的充分必要条件是a≠0和任何一个方阵A可通过行列式运算对应到一个数|A|上，启发学生产生方阵A的逆矩阵A-1存在的充分必要条件是|A|≠0的猜想。然后，引导学生证明该猜想。必要性的证明由逆矩阵A-1存在时满足的方程AA-1=A-1A=E两边同时取行列式运算即能得到。充分性的证明，可引导学生依据方阵的逆矩阵的存在性定义和矩阵的乘法定义具体化为：在方阵A=（aij）n的行列式|A|≠0的条件下，一定能够找到一个方阵B=（bij）n，使得■a■b■=1，i=j0，i≠j。接着，回顾行列式|A|的代数余子式Aij的性质■a■A■=|A|，i=j0，i≠j，并将其与■a■b■=1，i=j0，i≠j进行比较，启发学生发现当|A|≠0时，方阵B一定存在且B=（bij）n=■■=■=■。此时，猜想得到证实，并进一步得到方阵A的逆矩阵A-1存在时A-1=■。最后，引入方阵A=（aij）n的伴随矩阵A*=[（A■）n]'的概念，并给出伴随矩阵的重要性质A*A=AA*=|A|E和伴随矩阵描述下的矩阵可逆的充分必要条件及其证明过程。
参考文献：
[1]鲍培文.线性代数启发式教学改革的新思路[J].湘潭师范学院学报（自然科学版），2009，（31）.
[2]韩龙淑.数学启发式教学研究[D].南京师范大学，2007：8-17.
基金项目：石河子大学教育教学改革项目（项目编号：JG-2012-163）
关键词：热工系列课程；启发式教学；联想式教学
中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）52-0160-02
一、引言
热工系列课程包括工程热力学与传热学。工程热力学是热力学最先发展的一个分支，它主要研究热能与机械能和其他能量之间相互转换的规律及其应用；传热学是研究热量传递规律的一门学科，传热学的作用是利用可以预测能量传递速率的一些定律去补充热力学分析[1，2]。热工系列课程内涵丰富、概念抽象、公式数量多、联系工程实际范围广，是本校油气储运、石油工程、机械工程等工科专业一门非常重要的专业基础课。因此，针对本课程教学过程，必须定位在要保持学科基本理论的严密性和系统性基础上，考虑高新技术的应用和新型人才培养模式的要求，突出专业特点，使学生熟练掌握专业基础知识，提高他们的理论分析和解决工程问题的应用能力，为后续专业课的学习奠定坚实的理论基础。
然而，在多年从事该课程的教学工作过程中，学生普遍反映该课程是一门非常难于学习掌握的课程。究其原因，一方面是由课程本身特点决定的，工程热力学与传热学具有理论较难，基本概念和基本方程较多，对学生用高等数学知识处理和解决实际问题能力的要求较高等特点，学生认为该课程的学习过程非常困难；另一方面和教师“填鸭式”的教学方法有关，教师往往只是把知识一味灌输给学生，使学生觉得原本就枯燥的物理概念和数学方程更加索然无味，提不起学习兴趣。结合自己的教学经验，笔者认为，要提高热工系列课程的教学质量，关键在于激发学生的学习兴趣，而最有力的途径就是采用启发联想式的教学方法。
二、关于启发联想式教学的思考
启发式教学是中国的传统教育方式，在中华民族的发展过程中发挥着巨大的作用。孔子说：“不愤不启，不悱不发，举一隅，不以三隅反，则不复也”[3]。这是孔子论述启发式教学的重要名言，对后世影响非常深远。学生如果不经过思考并有所体会，想说却说不出来时，就不去开导他；如果不是经过冥思苦想而又想不通时，就不去启发他。“不愤不启，不悱不发”经常用来说明对学生要严格要求，先让学生积极思考，再进行适时启发。所谓“教”是为了“不教”，就是要学生提高创新能力，掌握适合自己的学习方法。只有这样，他们才离得开教师，甚至可以超越教师，最终成为适应经济高速发展现状的人才。这种教育方式对目前的高等教育有着巨大的指导意义。
联想教学法是启发式教学方法的一种有效手段。所谓联想教学法，就是把首次接触的知识，通过连接点，将新颖的、有价值的东西与我们过去的见识、思考、观念，尽可能多地予以联系，被充分吸收后成为自己的思考、认识、判断与熟知的知识[4]。我们在教授一门新课程时，总是从基本的概念说起。要让学生学习、理解这些基本的概念，往往要通过举例来说明。举例，就是一种联想，就是将已知事物和新事物的本质特征，通过某些相同或相似之处的比较、参照，将彼此联系在一起。由此，学生就可以通过对已知事物的认识，去学习、理解未知的新事物。
三、启发联想式教学方法的实施
启发联想式教学并不是一种具体的教学方法，针对热工系列课程而言，参考和学习国内外的教学经验并总结自己的教学体会，笔者认为可以通过下面几个方面的解决措施来实施启发互动式教学方法。
1.要突出新旧知识间的联系与区别。学生在大学物理中的热学部分已经学习过本课程中的部分内容。当这些知识重新出现时，应先和学生一起复习，激发学生的回忆，然后再引出热工理论的定义，紧紧抓住新旧知识之间的联系与区别，引导学生在复习旧知识的基础上引出新知识，同时注意不是简单地重复旧知识，而是从工程应用的角度来论述并加以深化和推广。
在教学活动中，新知识的学习常常受到与其相类似的旧知识的干扰。例如，有些学生总是将工程热力学中压力的概念和单位与中学物理中压力的概念混淆起来。为克服这种干扰，需帮助学生找出二者之间的区别并划清两种类似知识的界限。例如说明工程热力学中的压力是一种应力的概念，是单位面积上的力，是气体分子撞击容器壁产生的效果，其国际单位是帕斯卡，而物理学中的压力是力的概念，其国际单位是牛顿。使学生对立地建立新知识中的概念，对新旧学习内容进行概括，找出其共同的本质。
2.通过有趣的比拟，启发学生对生僻易混概念的理解。热工系列课程的特点是概念多、逻辑性强。列宁说：自然科学的成果是概念。显然，没有力、速度、加速度等概念也就没有力学这个科学[5]。但是，热工课程中的各个概念是怎么引入的，不能只从定义出发给学生讲解。这样的教学效果往往是极差的，学生往往会对概念似是而非，无法正确把握各个概念，在该课程完成之后不久就轻而易举地忘掉了几乎所有的内容。为了避免这种教学现象的出现，对于概念的引入和讲解应符合人类的认知规律，即从具体到抽象的过程，也就是从感性认识到理性认识的过程。我们将热工现象和概念与生活中一些广为熟知的现象进行比拟，以此引入概念，学生往往能受到启发，从而从根本上掌握这些概念，并且做到学以致用。
例如在刚进入传热学的学习时，讲到热量传递规律，可将热量传递比拟为电流流动，学生们对于直流电路的欧姆定律I=■是非常熟悉的。将温差比拟为电压，将热阻比拟为电阻，由此学生们可以自然地将热流量与电流联想到一起，在这种教学方法下，学生们自然就可以很容易地记忆传热学非常重要的两组公式Q=■、Q=■。再如，在讲到对流换热系数的影响因素――流态时，针对层流和紊流，可以将流体的运动状态与学生排队郊游进行比拟。同学们行进的队伍非常整齐，每个队列的同学接踵摩肩，不同队列的同学互不影响即是“层流”的状态；而各个队列的同学打闹嬉戏，相互影响，使得行进的队列非常混乱，杂乱无章即是“紊流”的状态。这样的讲授既生动又形象，学生们容易接受，更能较好地把握这些难以理解、容易混淆的概念。
3.针对不同专业，通过热工课程在本专业的应用，激发学生的创新思维，培养有实践能力的高级专门人才。在讲授热工理论的过程中，对于涉及热工应用的部分，可以采用开放式的教学理念。在遵守课堂纪律的前提下，学生可以在课堂上随时提问题，大胆发表关于热工理论在本专业应用的见解。在教学内容的设计上，教师要注意设计符合学生实际的教学内容，符合学生的心理，以教师为主导，引领、启发和传递信息；以学生为主体，感受、感知和反馈信息；以问题为基础，设问、思考和分析探究；以能力、方法为主线，有计划培养学生的自学能力、分析能力、思维能力、观察和实践能力、应用知识解决实际问题的能力，激发学生的创新创造能力。
例如，在讲授“传热过程”一节，对于石油工程专业的学生，可以介绍热力采油的例子，让学生用热工理论描述注蒸汽采油的过程，描述每个传热环节，进而结合传热学的基本公式，提出提高热力采油效率的基本措施；在讲授“压缩机”及“换热器”一节，对于油气储运专业的学生，可以介绍天然气及石油管道输送工艺，结合管道工艺流程图，介绍泵站、加热站的作用，并对其进行讨论，由此可衍生出“蒸汽伴热”和“油气混输”等输油工艺，从而加深了对热工理论内容的理解。
4.要充分利用多媒体进行课堂教学和辅助教学。利用多媒体计算机具有的丰富的图、文、声等处理功能，使学生能在轻松的环境中达到对知识的理解、分析、记忆，掌握和运用知识，提高了教学效率，也为教学质量的稳定提供了保障。热工系列课程作为专业基础课程，与工程实践密切相连，需要很多工程问题作为背景，而课本中单调的文字叙述和简单的图形说明，往往不能准确形象地描述这些工程问题。在这种情况下，如果我们能借助多媒体手段，让学生能通过多媒体文件，让他们形象地认识知识，教学效果要好很多。例如在讲授压气机的工作过程时，用动画来表达，较之单纯用文字描述更加形象，学生也更容易接受。然而，多媒体教学容量大，画面丰富，多方位剌激学生的各种感官，容易造成学生注意力不集中，因此要根据课堂的实际和学生的接受能力，安排适当的讲解、提问、启发和点评，并留有学生思考问题的时间。对于热工系列课程的教学内容中方程和公式的讲解，其推导过程用板书的形式来讲授更加符合人们的逻辑思维习惯，更易于被学生接受，在写板书的过程中，学生会跟着教师的板书一同思考、琢磨和消化，更加有利于学生对所学理论的理解和掌握。所以教师应采用板书和多媒体相结合的教学手段，要“善用而不是滥用”多媒体教学。
总之，在热工系列课程的教学过程中实施启发联想式教学方法克服了传统教学方式的不足，调动了学生的积极性和主动参与性，通过该教学方法的实施，取得了良好的教学效果，它是大学教学改革的必然要求。
参考文献：
[1]朱明善，等.工程热力学[M].北京：清华大学出版社，1995.
[2]杨世铭，陶文铨等.传热学第四版[M].北京：高等教育出版社，2006.
[3]陈晓强，徐秀兵.《论语》“不愤不启，不悱不发”解――兼谈启发式教学思想[J].甘肃联合大学学报（社会科学版），2006，（4）：77-79.
1.启发的由来与意义
我国在很早的时候就有了启发这个词，例如：语本《论语·述而》：“子曰：‘不愤不启，不悱不发.’”汉·应劭《风俗通·正失·彭城相袁元服》：“启发和帝，诛讨窦氏.”《资治通鉴·晋孝武帝太元八年》：“麟屡进策画，启发垂意，垂更奇之，宠待与诸子均矣.”杨沫《青春之歌》第一部第七章：“老李的话，给了我启发.”“启发”着重点在“发”，是指通过一定的方式阐明事例，促使对方思考、领悟.
2.联想法、类比法与启发式教学
中职学生都有着一定的特殊性，性格中比较叛逆，对不感兴趣的东西很少会去关注，所以说，对于中职学生的数学教育就更加应该注重启发式教育，让学生能够在欢乐中掌握每一节课的知识要点.那么说到这里，如何在数学教学中帮助学生“发”呢？这是值得思考的问题.联想法与类比法在启发式教学中有不可替代的作用，这两种方法是让学生“发”的关键，其可以让学生将数学中比较抽象的概念与实际生活中存在的问题联系起来，激发学生的内在潜力.数学是一门很严谨的学科，教师在讲学时会出现大量的定义，然而定义的内容为了保证准确性，就一定会涉及大量的数学专业术语或数学专业符号，很多学生在理解这些专业术语或数学符号上都存在一定困难，鉴于这种情况，合理地利用联想法和类比法能帮助学生更好地理解数学当中比较抽象的概念，对学生理解数学中较为抽象的概念有一定的促进作用，能够帮助学生加深对数学概念的掌握.联想法和类比法关键就在于让学生从自己熟知的生活事物入手，将学生在生活中的熟悉事物与数学中抽象的概念联系起来.这两种方法可以在激发学生学习兴趣的同时让学生对概念有一个更加直观的理解，很好地帮助学生加深记忆.
3.联想法和类比法的具体应用
（1）函数中的应用
例如：函数是让很多学生都比较头疼的知识点，在函数的教学中如何能够让学生记牢是函数教学的重点.在讲解正弦函数图像的波动性时，可以让学生联想一下小时候玩蹦蹦床的场景，将函数和蹦蹦床进行对比，找到其中的共同点，这样学生就可以对函数的周期、相位等概念与蹦蹦床联系起来，可以有效地加深学生在学习过程中的记忆.通过这种方法，学生不仅能够记得住记得牢，也能够加强对概念的理解能力.
（2）三角函数中的应用
例如：三角函数也是教学过程中比较难以理解的问题.对于什么是sin90°，cos45°这些问题，很多学生都不能够很好地理解，还因为课本在对这些问题做解释的时候，会出现很多的数学专业术语，比如“无穷小”“无限逼近”等，有很多学生都不明白这些数学概念的意思：“无限逼近”是近到什么程度，是不是稍微动一下就能够碰到目标？“无穷小”又有多小，小数点后面加多少个零才能算是“无穷小”？显然，如果不能够给学生一个更加直观的解释的话，这个问题确实是很难以理解的.在这种情况出现时，教师就可以做一个比方：假设学生自己是一块磁铁，这块磁铁要到达一百米以外的另一块磁铁身边，但是这两块磁铁相对面是同一磁极的，这就导致了学生越接近终点，磁铁的排斥力就越大，于是就导致了你虽然在非常努力地向终点靠近，可是由于两块相同磁极的磁铁相互排斥的作用力，就使得你永远也到不了终点，这种趋向于零的“动态”的过程，就可以称之为无穷小.教师在这种抽象的概念下，运用这种联想与类比，不但让学生能够很容易地理解这种抽象的概念，还能使学生在以后遇到这种问题时，主动地将问题与现实实例相对比，从而达到举一反三的效果.
（3）图形方面的应用
例如：在教师讲课的过程中，要给学生尽量多的时间进行联想.比如，在进行直角三角形讲解的过程中，教师可以拿出一张正方形的纸，然后在纸上面任意剪出一些直角三角形，问：同学们这些直角三角形都相等吗？有的同学就会说不一定，这个时候，教师就可以给学生一个自己动手实践的时间.老师可以将这个问题交由学生来处理，让学生也拿出一张正方形纸，在纸上剪出一个直角三角形，要让全班学生剪下的直角三角形都全等，看看学生们能不能自己想到办法.有的学生就会总结自己的观点：“可以利用一个直角，再量好两条边长，可以有一边为4厘米，一边为6厘米.”这个时候，教师就可以让全班所有的同学都按照这种方法去做，看看这种方法是否具有正确性.让学生在游戏中找到学习过程中的错误，能够有效激发学生学习的兴趣，并且加深学生对这一问题的理解.
中职数学教学的过程中是否具有启发性，是中职数学能否讲得好、讲得成功的关键.大家都知道中职学生对数学的理解能力不是很强，对于学习数学的积极性也有很大程度上的欠缺，因此，启发式的教学方法对中职学生的数学教育有着至关重要的作用.启发式数学教学模式，在实行的过程中要做到因材施教，因知识点施教，只有这样才能够最大程度地将学生的潜能激发出来.
一、审视数学美，启迪问题解决的思路
美的观点一旦与问题相结合，人们就能凭借已知的知识与经验产生直觉，从而确定解决问题的总体思路和方向.因此，在问题解决的过程中，审视数学美能启迪思维，引导人们探索问题解决的思路.
【例1】已知x=12 ，求代数式（1+x）（1+x）2（1+x4）…（1+x64）的值.
分析：待求式子结构优美，整体和谐，变化有序.和谐、美妙的形式特征中必然包含优美的解法.联想到平方差公式，配上因式“1-x”，配对相乘，使之出现公式化的结构形式，可以获得优美的解法.
.
从数学的外在形式美的特征中得到启示，找出解题方法，这绝不是偶然的巧合，而是在美的指引下的必然结果.因此，在问题解决的过程中，应引导学生多角度、
成为新方法、新技能的探求者，从而在知识、能力、心理上得到和谐的发展.
又如，反正弦函数概念是学生学习反三角函数知识的第一个概念.如果学生掌握了这个概念的形成过程，对概念有较深刻的理解，那么对后面的三个反三角函数概念的理解就十分容易了.为此，我设计了三张投影片，帮助学生较好地理解了反正弦函数概念.
第一张投影片：
第二张投影片：
第三张投影片：
如何求y=x2（x≤0）的反函数解析式？解出x=-y，改写成y=-x，确定定义域（x≥0）
像这样通过三张投影片以旧引新，步步紧逼，设问求答，揭示概念的形成过程，学生感到自然，易理解，不仅知道概念“是什么”，而且知道概念是怎样想到的.
关键词： 启发式教学方法 钢琴基准音组调律教学 教学运用
“启发式”教学是指教师从学生的学习需要入手，根据教学要求和教与学的基本规律，有效发挥学生的主观能动性，使学生在精神兴奋、思维活跃状态下学习的一种教学理念。启发式教学反映了教与学的内在规律，是正确处理二者之间关系的有效途径和方法。
钢琴调律是一门理论性和实践性非常强的专业，学好本专业的关键在于用扎实的理论知识指导实践，通过实践找到耳、脑、手最佳的配合方法，这些方法对每一位调律师来说是存在个体差异的，造成钢琴调律技术和调律艺术的个性化体现。正是这些个体化差异的存在，为钢琴演奏家提供适合自己喜爱和风格的钢琴调律师。因而以单一的调律方法教授和要求学生是不适宜的，要让学生找到适合自己的方法和风格，就要在调律基础理论和基本调律方法深刻理解和掌握的前提下，培养独立探究调律新方法的能力，即具备自己寻找和搭配调律音程元素的能力，从而实现“一通百通”，并具有举一反三的能力，正所谓“授之以鱼，不如授之以渔”。启发式教学方法正是教师通过使用一系列启发方式启发学生思维，提高学习能力和学习兴趣的一种有效方法。我自从教以来，在启发式教学方面进行了一些研究和尝试，并运用于钢琴调律教学中，强化教学效果。
一、归纳启发式和联想启发式
归纳启发式是以归纳过程为支配地位的一种启发方式，其显著特点是从具体到概括或者是从特殊到一般。在归纳启发作用下，学习者运用直观法（和一些逻辑方法）把所观察到的一些具体事例、有关条件、技巧或者解题方法的共同性质加以概括，形成新知。
归纳启发式是一种在钢琴调律教学中经常应用的方法，许多抽象的概念和原理都可以通过教授具体的实例阐释。运用归纳启发式教学，学生需要较好地掌握钢琴构成部件的结构原理、声学特点和相互关系，产生新的认识，并根据自己的理解进行重新归纳和概括，使归纳结果更清晰，更有利于理解和掌握。
在传统的基准音组分律教学中，教师以教授四五度分律法为主。一些学生按部就班，不注意对理论的深刻理解及与其他分律方法的结合，对“数拍”不适应，结果造成分律不准，音准稳定性不高，产生畏难情绪。为了解决这个问题，我从四五度调律，三六度检验入手，引申出近十种分律方法，引导学生弄清弄懂各种音程之间的关系和在基准音组分律过程中显现的共性特点，使学生明白钢琴基准音组的调律方法虽然有很多种类，但是归根结底常用的音程只有五个：纯四度、纯五度、大三度、大六度和纯八度。教师在教授基准音组调律方法的同时就是在促进学生对五大元素的掌握，循序渐进，通过学生收集资料，归纳整理，逐步掌握分律五大元素的特点和共性，在分律的五大元素准确掌握后，不规定学生仅用这五种音程调律，引导学生发散思维，将五大元素之外的音程应用于调律，启发学生的创造性思维。学生可以在音程元素组合中研究新方法，从中找到适合自己的分律方法，这样不但能增强学生学习钢琴调律的热情，而且能灵活掌握基准音组的分律方法。
所谓联想启发式是指由某一事物而想到另一事物，或由甲观念而想乙观念的心理过程。它不仅是人们记忆、思维、想象等心理过程不可缺少的心理条件，而且是情感、意志过程不可少的心理因素。
部分学生在刚开始学习四五度循环法时可能听不出四五度音程的拍音，这时就要启发学生联想学习单音和纯八度音程听辨时所用的方法；在没加入三六度检验时学习四五度分律，难点是判断拍音的速度，因为平均律四五度变化尽管在听觉上反映是一强一弱音响过程，但强弱的快慢是不完全相同的，而分律要求就是尽量向各自的倍频差上靠拢。为了解决这个问题，我按照调律顺序绘制了十二平均律生律顺序及其拍频时值图像表，并要求学生将倍频差和时值图像记在心中，每次生律都会在心中联想起一个形象的时值图，结合对时钟上每秒的时值判断，就会逐步掌握这种分律方法。
二、演绎启发式与连续启发式
演绎启发式是以演绎过程为支配地位的一种启发方式，其特点是从概括到具体或者是从一般到特殊。在演绎启发式的作用下，学习者运用逻辑方法（和一些直观方式）构成一个以抽象概念和其他概括为基础的概括。
演绎启发式的使用是在明确所要解决问题的基础上，使学生对问题有一定程度的分析和认识，在确定学生具备进行演绎启发式教学所具备的概念、知识、技能的前提下，着手引导学生从普遍性的理论知识出发，认识个别的、特殊的现象。演绎启发的难度明显大于归纳启发，教师需要抓住时机适当给予学生引导或提示。演绎启发式比较适合于从声学原理和律学概念推导出新基准音组调律方法的证明，对学生要求比较高。
教师在教授四五度循环法分律这一章节时，应做好前期的钢琴结构原理、音乐声学和律学的知识铺垫，特别是在律学知识的讲述过程中，着重强调律学与钢琴调律之间的关系，详细讲述每一个历史阶段的主导律制和调律法，同时向学生演示对应的调律方法加深学生对五度相生律、纯律和十二平均律的理解，讲过三大律制后，可以演绎启发学生得到五度相生法与十二平均律的关系。引导学生用五度相生法，以标准音a1为标准，再以纯四度和纯五度为素材在一个八度内进行十二平均律的生律，教授学生三六度检验的原理，让学生在整个基准音组分律的过程中找到所有检验音程，经过这一过程后，便形成一种方法（在以上过程中声学和律学知识是依据，每一个具体的方法和方式是论点）。
在演绎启发式的过程中要将多个方法按照步骤，分阶段连贯地讲述，每一种方法的应用，将会促进学生对下一个方法的接受，所以在演绎启发式的每个阶段之间，要通过连续启发式的教学方法进行衔接。
连续启发式是对一个问题的连续性提问，是使学生的思维拓宽和加深的一个有效途径。通过上述学习，及时进入下一部分内容的学习：启发学生寻找各音程之间可能存在的关系，再引导学生用学过的律学知识计算每一个纯四度和纯五度音程的拍频，把众多的拍频计算出来以后，让学生自主找到其中的规律（若中间发现不了音程规律，则教师可给予暗示），之后向学生强调此规律，引导学生用找出的规律指导基准音组分律的实践。在钢琴基准音组的分律中，每一个音程都有自己的拍频，人耳无法精确地判断每一个拍频，所以对应人耳，每一个音程都有一定的范围，教师要长期训练学生找到这个范围的能力。
教师在教授过四五度循环法分律后，督促学生认真地练习，做到切实掌握，才能接受其他调律方法，更为了做到学习不同方法之间的衔接，这样有利于类比启发式与选择启发式教学的开展。
三、类比启发式与选择启发式
类比启发式是借助类比思维进行启发的一种方式。其特点是学生的认识活动是以确定各种对象或者现象之间在某些特征或关系上的相似为基础的。它既不是从概括到具体，又不是从具体到概括，而是从相似的一方到另一方，是从具体到具体，从特殊到特殊。
类比启发式是一种很重要的启发方式，它要求教师首先给学生引导出所要研究的某一具体方法的类比方法，进而创设问题情境，组织学生运用类比进行探索活动，引导他们寻找相似的现象、属性和性质，查明结构的相似性，进而进入类比推理，建立假设，并加以检验。
一直以来不少调律师对三六度调律持怀疑态度，认为三六度调律在理论上讲得通，而在实际上由于拍频太快确实难以掌握，甚至有人说没有十年以上的工夫不能用三六度调律法。在教授三六度循环法分律这一章节时，采用类比启发式教学方法，即做好四五度循环法的练习和音程特点、拍频特点的总结，在较好掌握四五度循环调律法后，参照四五度分律特点，就可以开始教授三六度调律。加上学生具有在使用四五度调律过各中使用三六度检验的经验，再通过指导学生找到音程检验的关键点，即可较快掌握三六度分律的基本方法。同样采取类比启发式教学方法，启发学生通过不同的音程组合方式，改变调律的顺序，或与部分音程替换的方式改进某一种调律方法，从而有效提高学生的成就感和学习积极性。
选择启发式比较简洁、明快，容易发现学生在学习中遇到的典型问题，及时解决，使学生更容易把握要领。它适用于分析结束时，用“是这种方法还是那种方法”的选择方式加以启发。
教师在钢琴基准音组分律的教学过程中还要讲到一些由于某些缺点而很少应用的方法，一开始单纯介绍方法，而不讲述其优缺点，通过学生的自主观察和真正上手实践操作中切实体会，自己发现问题，从而选择应当用哪一种方法。
高等数学是高等学校许多专业的一门重要的核心基础课。根据高等数学课程的特点，在教学中采取过程启发式教学方法，使学生参与到浓缩了的课程基本概念的创立过程中，改变学生被动学习的教学模式，激发学生的学习兴趣，对培养学生的创造性思维能力，提高学生的数学学习能力，掌握应用高等数学的知识解决实际问题的能力都有着积极的意义。
关键词：
高等数学；数学思维方式；过程启发式教学法
人类社会取得的任何科学成果，建立的任何学科，都离不开思维活动。高等数学的创立和发展，完美地体现了数学思维方式的重要作用。学习高等数学，必须学好数学思维方式。北京大学丘维声教授在《数学的思维方式与创新》一书中指出，数学史上每个定理的发现，公式的建立，理论的形成无不经历数学思维方式的五个重要环节，即：观察--抽象--探索--猜测--论证。也就是在现实生活中观察到具有普遍性的相关现象或问题，通过研究，揭示出问题的共同规律，把其中共性的东西抽象出来，形成初步的数学概念或规律，再经过针对这些概念和规律的探索，结合大胆而合理的猜测，给出结论（定理）。当然要建立起一个完整的理论体系，还必须对这个结论（定理）加以严格的理论证明。我们现在使用的教科书，在编排时，有严谨的逻辑结构要求，有篇幅限制，有课时约束，因而无法还原上述完美的数学思维过程，而是把这样的思维过程逆倒过来。一般而言，教科书的编排遵循的是这样的顺序：概念—定理—公式—例题—练习。如果教师按照这样的程序组织教学，教师费力地教，学生只能被动地学。还常会出现这样的场景：当教师提出一个抽象的数学概念时，学生不知出处，感觉茫然，不知怎么会有这个概念；当教师再给出一个针对性的定理，学生更加感觉突然，不知有何用处；当教师对定理进行严格的证明，虽然证明过程严谨无误，对于数学基础好的学生，尽管可以理解，但会感觉知其然而不知其所以然；对数学基础不够好的学生，就会感到枯燥无趣，难于理解和接受，学习效果一定不好。学好高等数学不仅是学习数学课程的需要，还会直接影响倒后续专业课程的学习，甚至影响到学生今后的发展。近些年，有许多高等学校的数学教师，尝试在高等数学的教学中使用过程启发式教学法，在课堂上追溯高等数学的历史，甚至要追溯到它的根，体察它的演变，引导学生亲历这个过程。作者经过多年的探索实践，深感这种教学方法改变了传统的教学模式，它强调学生对高等数学基本概念的建立过程的参与，调动了学生的学习积极性和主动性，对学生学好这门举足轻重的课程起到了重要作用。
一、过程启发式教学法的含义
过程启发式教学法并非指某一种具体教学方法，而是一种教学思想、教学理念。是将教师的主导作用和学生学习的主动性统一起来。在整个教学过程中，教师针对某个知识点，或者某一章节，或者整个学科的内容，精心准备，合理安排，精巧设计。课堂上首先通过引导、设疑和启迪，激发学生的学习兴趣和求知欲,还原这些知识点最早的观察点，鼓励学生积极主动思维,引导学生大胆合理探求，抽象出课堂教学的概念内容；其次，适时地归纳、总结和完整地展示课程的逻辑结构，使学生学会学习方法，全面掌握相关的知识；最后组织学生温课，让学生自己发现学科创始人伟大的思维过程，学习经典，体验辉煌，同时还可发现整个探索过程中自己表现出来的特长以及暴露出来的问题。学生的学习过程就是浓缩了的学科创立过程，强调了学生的过程参与，锻炼了学生的数学思维能力。过程启发式教学法是一种既能使学生更好的理解掌握相关知识，又能发展学生本身智能的教学方法。
二、过程启发式教学法的探索
（一）精心设疑，引起学生兴趣，引发学生思考
设疑是过程启发式教学的首要环节，也是整个教学过程成功与否的关键。合理的疑问能够引起学生的兴趣，因为兴趣是最好的老师。在兴趣的驱使下，学生能够兴奋起来，没有顾虑，没有畏难情绪，积极想办法利用已知的知识尝试解决老师的问题。即使解决不了（高等数学课堂上几乎所有的设疑，都是学生用已知的知识解决不了的问题，因为那是新知识的引例）,在这个过程中，学生复习了以前的知识，了解到那些知识的应用范围和局限性。而老师在这个过程中充当“益友”的角色。鼓励学生各抒己见，大胆参与，必要时指出学生的问题，使探索思维在合理的范围内。例如，在引入高等数学的定积分概念时，还原了微积分的创始人牛顿、莱布尼茨的问题设疑，其一，几何问题。计算直角曲边梯形的面积，学生可能把已知的直边图形的面积公式、圆的面积公式尝试了很多，教师只需提醒面积公式正确，但不能解决任意曲边图形的面积问题。其二，运动学问题，计算变速直线运动的路程，学生会用匀速直线运动、匀变速直线运动的路程计算方法进行尝试，教师要提醒的是，这里的运动方式是变速（不一定是匀变速）直线运动。
（二）启迪思维，揭示思维过程，指出学习方法
高等数学的教学，不仅仅是要教会学生相关的数学知识，更重要的是要启迪学生思维，提高学习能力，使学生学会学习。所谓授人以鱼，不如授之以渔，授人以鱼只救一时之及，授人以渔则可解一生之需。高等数学的经典理论，具有完美的逻辑结构、创造性的思维方式和精巧的运算方法。教师这时候担当的角色是“益友+良师”。教师依据教学内容和学生的实际反应情况，灵活运用有针对性的启发形式，启发学生思维，引导学生去分析问题并能在一定程度上解决问题。穿插介绍数学发展史上的精彩片段，介绍创始人的思维过程，使学生了解数学知识的起源，学会良好的学习方法。发现数学之美，知识之美，学会学习，爱上学习。例如，在介绍二元函数的连续性与偏导数存在性的关系时，教师可引导学生联系二元函数的几何背景进行思考：二元函数在某一点连续，是要求在该点及该点的某一邻域内要有定义，而且极限值与该点的函数值相等（二元函数的极限包括各个方向的极限，又不仅仅是各方向的极限）。几何意义上的连续，好比一个曲面在某一点及某个邻域内没有破洞；而二元函数在某一点的偏导数存在，要求该点沿着两个坐标轴方向的导数存在，即沿着两个坐标轴方向的增量比的极限存在。几何上，相当于一个曲面在某点沿某两个互相垂直的方向光滑无间断。这样学生很容易得出正确的结论，即：二元函数在某一点连续不一定有偏导数，反之，在某一点有偏导数也不一定连续。通过这样学习，学生不仅掌握了这两个重要的概念，也掌握了数形结合的学习方法。
（三）归纳总结，提高学习能力，完成课程内容
采用过程启发式教学方法，学生经过一个特定的思维过程，切身感受到所谓抽象的数学概念，其实是人类智慧的结晶，来源于现实中很朴素的问题（高等数学所涉及到的大多数是这样）。此阶段的教师要担当起“良师”的角色，梳理清楚大家通过观察、猜想、探讨得到的普遍性或共性东西，进而总结出高等数学层面的概念、定理或者公式。构成课堂教学的知识脉络结构（如果有可能,也可以由学生来完成）,建立起完整的知识体系。最后，在解决了最初设疑的基础上,展开更广泛的数学应用.给学生更多的知识联想，思考其延伸的作用。例如物理学上的求变速直线运动速度，几何上求光滑曲线的切线斜率，诸如此类的问题，都可以归结为求增量比的极限计算问题，抽象出来，就形成了一个崭新的数学概念-———导数。这时候，学生很容易理解，导数就是这样建立起来的。曲线的切线斜率是导数的几何意义、几何应用；直线运动的速度是导数的物理意义、物理应用。
三、过程启发式教学的收获
高等数学具有高度的抽象性，严谨的逻辑性和广泛的应用性。学习高等数学不仅仅是学习数学知识，还应该努力培养学生的创造性思维能力，运用数学的能力。大卫.吕埃勒认为，“对那些想要理解事物本性的人来说，数学至今仍然是一个重要的准备。”过程启发式教学活动使学生能够在教师的引导下，主动参与到一个严密完整的数学理论的形成过程，很好地体验了数学的思维方式在创新中的重要作用的,使学生领略数学创新的风采,受到数学思维方式与创新的熏陶和训练,提升了自己的创造性思维能力，提高了数学素质。而这种素质的提高，有利于学生再接受一个新的数学理论时（可能学习更多的数学分支），由于创造性思维能力将起到直接或潜移默化的作用，就能主动地探索这一新知识的来龙去脉和应用价值。另一方面，当你面临有待解决的问题时，能主动尝试用数学的立场、观点和方法寻求解决问题的策略，这就是运用数学的能力。对于新生，最初接触过程启发式教学法时，很好奇，有些拘谨，教学进度显得缓慢，但是教学效果好，学生的学习积极性高，对所学的知识理解得深刻，解题思路清晰，能灵活运用所学的知识。逐渐地，学生的思维能力有所提高，探讨的过程比较顺利了，学生在课堂上敢于表明自己的观点，课堂气氛活跃起来，完全可以按照正常的教学进度进行。随着课程的深入进行，这种教学方法的优势愈发明显，面对教师的设疑，学生能够自主地完成接下来的教学过程，教学进度，教学效果有了很大的提高。过程启发式教学法对教师提出了更高的要求。首先，教师对教科书的内容要有全局的把控。还要充分了解各个章节的具体内容，并能把这些内容有机地接合起来，成为有灵魂、有生命活力的生物体。再结合学生的实际情况，包括数学基础，学习习惯，学习能力，性格特点，班级学习风气等等，设计出适合课程内容和学生情况的设疑问题，把握课堂的探讨方向，及时引导，善于总结。既是课堂教学的教师，更是教学活动中的设计师。
作者：何红英 单位：西安市职工大学
参考文献
[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007.
关键词: 中职学校 数学情趣 数学课堂教学
由于当前的教育竞争,无论是生源的数量与质量,中职学校都面临着严峻的挑战。大部分的中职学生数学基础较差,对学习数学没有动力,存在“学数学是为了考试”,“毕业后很少用”和“不如专业课实用”等的观念。近几年中职学校的数学教学观有了较大的改变,很多中职学校认为数学课是文化基础课,应该开设,但内容要简化。这导致了大部分教师采用“概念+练习”,“公式+例题+练习”为主要形式的教学设计,完全忽略了中职学生的心理特点,使数学课堂教学常常被认为是单调、呆板,缺乏生机的。这些内因和外因,使学生产生了较大的厌学情绪。所以如何吸引学生,激发学生学习动机,是中职数学教师的艰巨任务和有待深入研究的课题。
毋用质疑,数学课堂教学成功,是学生克服厌学情绪的关键。在新的课标下,正确运用情趣创设原则指导教学,可以使课堂高潮迭起,妙趣横生,从而克服教学中的随意盲目和呆板机械,从根本上改善数学学科枯燥乏味的负面特点,激发学生的学习热情,和谐师生感情,为素质教育铺路搭桥。所以课堂是否有情趣,是影响教学效果的重要因素。那么,在数学课堂教学中怎样溶入数学情趣呢?
一、数学史的引入
教师都有这样的经验:学生如果能知道数学知识的来龙去脉,就能较好地掌握知识。数学知识的产生与发展必有前因后果。数学老师不仅要透彻地了解所教的那一部分内容,而且要从宏观上来认识数学知识的发生与发展,从而能够知其然也知其所以然,进而能教之所以然。事实证明,如果教师在教授一些常见的数学概念、理论和方法时,能够指出它们的来源、典故及历史演变过程,将会使学生兴趣盎然。
例如:数列对学生来讲是全然陌生的概念,若直接讲例题小结概念,学生也能听得懂,但印象不深。而通过对数学史上的名题“裴波那契的兔子繁殖问题”引入数列概念,能引发学生的学习动机,增强课堂情趣。教师在讲授对数概念前,先讲一些“对数发展简史”,能使学生对“对数”学习的难度明显降低,对学习对数的兴趣明显提高,对学习对数的目的更加明确,对对数产生的过程更加清楚。讲解复数概念若从复数发展的历程组织教学,可使学生对数的概念的认识更加充分、更加准确、更加深刻。学习立体几何时,让学生讨论欧几里得的数学观;学习解析几何时,让学生讨论笛卡儿的数学观与解析几何的诞生,有助于培养学生的创造发明观。
“数学史不愧是出色的教育指南”。为了使课堂更有情趣,结合教材内容,适当引入一些相关史实是很有必要的。学生一方面能开阔视野,知识面得到不同层次的扩展,另一方面会产生旺盛的求知欲。很多学生对数学课不感兴趣,关键是我们没有用好的方法去激发出他们求学的好奇心。要做到这一点,我们就得多读点数学史,上课时信手拈来,这样就会使学生对我们佩服有加。
二、数学学科的发展前沿知识介绍
一门学科总是在不断地发展着,对于数学这一门学科来说,现在已经越来越与其它的学科不断相互渗透。在课堂中引入数学这门学科的最新动态,特别是介绍一些与实际应用及与生活联系比较紧密的知识。例如:卫星发射与轨迹方程的关系;对数的运算法则在天文学上的使用;数学与计算机的给合(包括程序的设计、组合数学在计算机信息技术安全中的运用);用数列思想处理复利、分期付款、经济增长等问题;用线性规划解决经济活动中的最优问题。它们能使学生懂得数学并不是一些枯燥的数字,其实这些数字的背后还有更美丽的曲线和更多的精彩。我在教学的过程当中穿插了一些类似的知识。很多学生产生了浓厚的兴趣,有一些学生惊叹数学有这么多的东西能与生活联系这么密切。由此,在课堂上适当地介绍数学学科的发展前沿知识,可使学生对数学产生浓厚的兴趣和极大的热情。
三、启发式教学的运用
孔子是启发式教学的创始人,曾有“不愤不启,不悱不发”之说。“愤”是经过积极思考想,想弄明白而没有弄通的抑郁的心理状态。孔子认为在这样的条件下,教师才可去引导学生把问题弄通,即去“启”。“悱”是经过思考,想要表达又表达不出来的困难境界。孔子建议在这样的条件下教师才指导学生把想法表达出来,即去“发”。现代启发式教学是创设一种学习的环境,让学生更好地展开学习行为的过程;是教师在教学过程中依据学习过程的客观规律,通过引导、指导、开导、启示等方式激发学生的学习兴趣,使学生主动地、自觉地、积极地学习和思考,并投入实践的一种教学方法。启发式教学不仅是教学方法,而且是一种教学思想、教学原则和教学观。其特点是通过启发调动学生潜在的内因进行学习,使已形成的学习需要由潜在状态转入活跃状态,使学生产生强烈的学习意愿,成为实际学习活动的动力。
启发式教学的关键在于问题情境创设要新颖,有吸引力。教师要在深入研究教材、熟悉学生的基础上,精心设计,创设学生能够质疑的情境氛围,能激起学生对自己原先的态度、目标与知识的挑战,从而引发真正的探究兴趣。例如在教授“概率”时,可以设计“悬念情境”:一上课我就故作神秘地对学生说:“在你们中一定有同年同月同日生的同学,你信吗?”学生纷纷表示怀疑,可是通过验证,果然有。学生都很惊奇,很想知道其中的奥秘,进而产生强烈的求知欲,形成自主参与探究的欲望。又如学习等差、等比数连后,教师可提出问题:“有没有等和、等积数列呢?如果有,它们又有什么性质?”引导学生把问题的探索和发现解决的过程延续到课后,有利于培养学生求异探新的精神。
兴趣是最好的老师,教师只有在教学的过程当中不断地培养和增强学生对数学的兴趣,才能激发学生主动参与到这门课程的学习当中来。兴趣的培养就需要教师在教学时把数学艺术化,情趣化。这就需要教师在课堂教学中适当引入一些数学史、把数学实际应用与生活紧密联系、利用启发式教学,引导学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来。教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造,把学生带进对数学的兴趣当中,由兴趣把学生带进数学,点燃思维火花。
参考文献:
摘 要：本文主要对如何提高数学课堂教学中学生的参与程度问题进行了探讨。主要从参与数学概念的建立过程，参与问题的不同解法的探索，参与问题推广的研究，参与对问题解法的评价等几个方面展开了论述。
关键词：课堂参与；思维；解法
数学教学活动中，教师主导作用的效果应以学生主体功能的发挥是否充分来衡量，离开了学生的主动积极的参与，教师的主导作用是没有意义的。教师的“导”要具有科学性、启发性和艺术性，充分激发学生的思维活动。由于数学中的重要概念的建立，公式定理的揭示及知识的应用，都贯穿着人类勇于探索，敢于创新的精神，充满着人类创造性思维的“火花”，教师要启发、引导学生亲自参与这些创造性活动的过程，以达到开发智力和能力，提高创造思维的品质，增强创造力的目的。因而教师应结合教学内容，设计出利于学生参与的教学环节，提高学生的参与程度。
1.参与数学概念的建立过程，培养学生思维的严谨性
数学概念的形成一般来自于解决实际问题或数学自身发展的需要。教材上的定义常隐去概念形成的思维过程，教师要积极引导学生参与数学概念的建立过程，使学生理解概念的来龙去脉，加深对概念的理解，必要时还可以通过举反例来准确把握概念的本质。
例1：椭圆概念的教学，可分几个步骤进行。（1）实验 获得感性认识（要求学生用事先准备的两个小图钉和一根长度为定长的细线，将细线的两端固定，用铅笔把细线拉紧，使笔尖在纸上慢慢移动，所得图形为椭圆）。（2）提出问题，思考讨论。椭圆上的点有何特征？当细线的长等于两定点之间的距离时，其轨迹是什么？当细线的长小于两定点之间的距离时，其轨迹是什么？（3）揭示本质，给出定义。学生经历了实验、讨论后，就会掌握椭圆的定义的实质。
2.参与问题的不同解法的探索，培养学生思维的广阔性
问题是数学的心脏，解决数学问题要指导学生按照数学教育家乔治·波利亚的解题表中的四个步骤（弄清问题—拟订计划—实现计划—回顾）来进行。例题教学一定要给学生思考的时间，教师应启发学生对一个数学问题从多方位、多角度去联想、思考、探索，这样既加强了知识间的横向联系，又提高了学生的发散思维能力。
例2：已知|a|
该题除课本上采用分析法来完成外，教师还要继续启发学生思考：本题还有其他方法吗？此时学生跃跃欲试，分别得出以下几种解法：
证法一：比较法 由|■|2-1=-■
继续启发：要证明|X|>1,还可转化为证什么命题？于是得出以下解法：
证法二：令t=■，只需证明-1
证法三：令t=■，则(1+ab)t-(a+b)=0，作一次函数f(x)=(1+ab)x-(a+b)，因为f(x)为增函数，且f(-1)=-(1+a)(1+b)
f(1)=(1-a)(1-b)>0，而f(t)=0，所以f(-1)
3.参与问题推广的研究，培养学生思维的深刻性
波利亚解题表的第四个步骤“回顾”,要求我们在解完一个题目后要认真反思：能否用其他方法？能否将此方法或结果用于其他问题？能否推广命题？教师在讲例题时一定不要忽略这一步骤，应启发学生“回顾”。
如例2的教学在一题多解之后，还要进一步探索其推广。引导学生思考将问题由2个字母推广到3个字母如何？此时学生经过讨论之后可得到：若|a|
4.参与对问题解法的评价，培养学生思维的灵活性
学生参与课题教学时，对同一个问题往往有不同的解法，教师要和学生一起对这些解法的优劣进行评价，使学生在鉴别中学习一些优秀的解法，提高思维的灵活性。
如解析几何题：求经过两条曲线x2+y2+3x-y=0和3x2+3y2+ 2x+y=0交点的直线方程。
一部分学生先求出两曲线的交点，再用直线的两点式方程即得所求的方程7x-4y=0。一部分学生将第一个方程乘以3与第二个方程相减即得7x-4y=0。
关键词： 越南留学生 心理词典 表征结构 汉语词汇教学策略
1.引言
对外汉语词汇教学是近年来关注的热点之一，在了解留学生学习汉语的内在机制（如双语心理词典及通达机制）的基础上来进行教学，有助于更好地指导词汇教学，并提高教学效率。目前，来华学习汉语的留学生日益增多，越南留学生也占有相当的比例，越南语―汉语双语者心理词典的表征结构很值得研究。
心理词典是心理语言学和认知科学中的一个重要概念。大多数心理语言学家认为心理词典中存在着形、音、义三个方面，它们相互之间存在联系。对于心理词典的表征模型，目前还没有比较一致的观点，主要有以下几种理论模型。
概念中介模型即L1和L2在词汇水平没有直接的联系，但是两个词汇系统都和共同的概念表征相联结，即L2词汇DC（共享的概念）DL1（词汇）。词汇连接型即L1和L2在词汇水平上有直接的联系，第二语言词汇和概念的联结则要通过第一语言词汇，即L2DL1DC。研究者们认为双语者的词汇表征方式随着外语水平的提高而有所变化，呈发展趋势:低水平双语学习者心理词汇的表征以词汇连接为主；高水平双语者心理词汇以概念中介为主；中等水平的双语者则处于两者之间，构成一个连续体。
非对称模型假设在双语者的记忆中词汇和概念联系都是动态的，但是这些联系的程度随着L2的熟练程度而变化，体现了动态发展的特性。从L2到L1方向的词汇联系比L1到L2方向的词汇联系强，而L1的词汇和概念间的联系强于L2词汇和概念间的联系。在L2学习的早期阶段，L2单词主要通过与L1的词汇联系通达概念系统。当个体的L2变得更加熟练，直接的概念联系也被获得。然而，在概念联系获得后，词汇联系并没有消失，它们仍然保留作为可行的联系。这一模型综合了单词联想模型和概念中介模型的内容，强调两种语言间词汇联系的不对称性，以及两种语言中词汇与概念联系强度的不对称性。
2.实验
2.1启动实验范式。
跨语言的启动实验是目前最为双语研究者广泛采用的一种方法。双语间的启动和激活研究是第二语言学习者双语表征和提取过程的一个重要方面。在典型的启动实验中，首先给被试短暂呈现一个词语（启动词），然后呈现另一个词语（目标词），要求被试对目标词进行认知加工。例如:先呈现“护士”再呈现“医生”，比先呈现“面包”再呈现“医生”，被试判断的反应时要短。人们把这种效应称为启动效应。在跨语言的启动实验中，启动词和目标词分别用不同的语言呈现，但两者具有语义相关性，如“nurse”启动“医生”；还可用目标词的翻译词直接启动目标词，如“nurse”启动“护士”。
2.2实验设计与被试。
本实验采用跨语言的语义启动和翻译启动的研究方法，采用2（汉语水平）×2（语言方向）×4（启动类型）的三因素混合设计，汉语水平为被试间因素，分为两个水平（高级水平和中级水平）；语言方向为被试内因素，分为两个水平（L1―L2和L2―L1）；启动类型为被试内因素，分为四个水平（翻译关系、非翻译关系、语义相关、语义无关）。
这项实验的被试为30名越南留学生，他们的母语为越南语，中级水平和高级水平各15名，均来自同一所大学。他们都是经过一年的语言学习之后进入到本科专业学习的学生。中级水平的学生为在读的大一学生，在中国学习生活时间为1年半到2年；高级水平的留学生在中国生活的时间为4―5年。所有被试均为右利手，视力或矫正视力正常。
2.3实验材料与实验步骤。
实验材料分为实验项目和填充项目两种，实验项目为144对词对，包括两个语言方向（L1―L2，L2―L1），在每个版本中，我们将看到18对有语义联系的词对，18对完全没有语义联系的词对，18对翻译关系的词对，18对非翻译关系的词对。填充材料为 90对目标刺激是假词的词对，也包括L1―L2和L2―L1语言两个方向各45对词组。词对的语义联系由来自同一所大学的中国大学生在七点量表上评定的。
实验程序使用DMDX编写。实验以个别测试的方式在一间安静的房间进行。实验开始时，在计算机屏幕中央呈现注视点“+”500ms，接着呈现刺激材料300ms，然后呈现目标刺激700ms，要求被试尽可能又准又快地判断计算机屏幕上出现的是真字还是假字，如果“是”，按“j”键；如果“不是”，按“f”键。被试反应后间隔500ms，开始下一次实验。被试必须在目标刺激出现后2000ms内作出反应，否则记为错误反应。正式开始前有十次练习。
2.4实验结果。
实验数据用统计软件SPSS.13.0进行分析。实验数据剔除了平均数三个标准差之外的数据，这样的数据不超过总数据的5%。实验结果为12名高级水平和13名中级水平被试的数据。
表1 两组被试各种启动关系条件下的平均反应时（毫秒）和正确率（%）
各组被试在各种启动条件下的平均反应时间表见表1。将两组被试正确反应的反应时数据进行2（水平）×2（语言方向）×4（启动类型）方差分析显示，方向的主效应显著，F（1，23）=12.236，p=0.002，结合表2的反应时结果，我们发现被试在L2―L1方向的反应比L1―L2语言方向的加工要快；启动类型的主效应非常显著，F（3，69）=20.021，p=0.000，表明启动词和目标词的关系会对被试反应目标词产生显著的影响。被试汉语水平的主效应不显著，F（1，23）=0.232，p=0.634；语言方向和启动关系的交互作用显著，F（3，69）=8.203，p=0.000。语言方向和被试汉语水平之间的交互作用、启动类型和被试汉语水平之间的交互作用均不显著（ps＞0.1）。语言方向、启动类型和被试汉语水平三者之间的交互作用不显著（p＞0.1）。
表2 两组被试的跨语言翻译启动效应和语义启动效应（毫秒）
注：*表示p＜0.05
为进一步检验实验结果，我们对被试在两个方向的各组启动条件下的反应时进行了事后比较（见表2）。对中级水平留学生两个方向各组关系的反应时进行配对的t检验，从被试分析看， L1―L2方向的翻译关系和非翻译关系之间的差异显著，t（12）=-3.178，p=0.008，L2―L1方向的翻译关系和非翻译关系之间的差异也显著，t（12） =-2.637， p=0.022；L1―L2方向语义相关和语义无关词对之间的差异也显著，t（12）=-3.370，p=0.006， 而L2―L1方向语义相关和语义无关词对之间的差异却不显著，t（12）=-1.217， p=0.247。总的来说，我们发现中级水平越南留学生在L1―L2和L2―L1方向都产生了显著的跨语言翻译启动效应，在L1―L2方向上也产生了显著的语义启动效应，但是在L2―L1方向上没有产生跨语言语义启动效应。该结果表明，中级水平的越南留学生第一语言和第二语言在词汇水平有联结。有跨语言的语义启动，说明第一语言和第二语言的概念是共享的。进一步比较翻译启动在两个不同方向上的效应量，以考察L1―L2和L2―L1两个方向之间联结的强弱。配对T检验发现L1―L2和L2―L1两个方向上翻译启动量之间的差异不显著，t（12）=0.07，p＞0.1，说明中级水平留学生在两个方向的联结的强度相当。
对高级水平的被试做同样的分析，从被试分析看，实验处理的主效应显著，L1―L2方向的翻译关系和非翻译关系t（11）=-3.083， p=0.010；L2―L1方向的翻译关系和非翻译关系t（11）=-2.414，p=0.034，L1―L2方向语义相关和语义无关，t（11）=-3.635，p=0.004，L2―L1方向语义相关和语义无关，t（11）=-2.227，p=0.044。结果表明，高级越南留学生在L1―L2和L2―L1两个方向都产生了显著的跨语言翻译启动效应和语义启动效应。这表明，高级水平的越南留学生第一语言和第二语言在词汇水平和概念水平都有联结。
比较翻译启动和语义启动的效应量在两个语言方向上是否存在差异，结果发现，翻译启动量在两个语言方向上的差异不显著，t（11）=0.227，p＞0.1；语义启动在两个语言方向上的差异不显著，t（11）=1.805，p=0.098。
综合以上实验结果，我们认为越南留学生双语词典表征模型符合修正层级模型，当启动刺激和目标刺激是翻译关系和语义关系时，产生了跨语言的启动效应，说明汉语和越南语共享一个概念系统。中级水平被试中，有L1―L2方向上的跨语言语义启动效应，但是相反方向的却没有，这说明第二语言词汇和概念之间是有联系的，但这种联系的强度较弱，不足以启动目标词。而高级水平被试在两个方向均有语义启动效应，说明随着汉语水平的提高，第二语言词汇和概念之间的联系已经建立起来，且已经接近于第一语言和概念之间的联系。通过对被试的调查，我们发现，本实验中高级水平的留学生在中国生活的时间都达到了四五年，他们能够熟练使用汉语进行口头交流与阅读，汉语词汇和概念之间的联结强度已经接近于越南语词汇和概念之间的联结。
3.越南留学生汉语词汇教学策略
从实验中我们得知，非熟练的越南语―汉语双语者词汇水平和概念的连接较弱，还依靠母语通达到语义，随着汉语水平的提高，才逐渐形成目的语思维的能力。
3.1重视越南语与汉语的对比研究。
在语言习得过程中，母语起着非常重要的作用。如何有效地促进“正迁移”，避免“负迁移”是外语教师长期研究的课题。通过实验我们也可以发现，初级水平的越南留学生是通过母语通达到语义的，因而在二语习得过程中不能一味地强调母语的消极作用，为有效地进行目的语阅读应建立足够的词汇量。在初级阶段的词汇教学中，要充分重视越南语和汉语的对比研究，加强对等词的研究。不同的两种语言之间，除了专有名词和单义的术语外，一般情况下都不存在简单的对应关系，而是一种复杂的交叉关系。因此在词汇教学过程中，我们首先应具有对比分析意识，对二语词汇进行适度甄别，适当地对词义从各个角度进行各个侧面的对比，以大量的事实向学生证明越汉词义不是一对一的关系；其次，应重视词汇的语境化输入以激发学习者的积极认知。
3.2建立汉语词汇网络系统，避免母语的中介作用。
通过实验，我们发现要想习得词汇，建立二语心理词汇网络，就要强化目的语与母语词汇与概念的连接，达到与母语相似的程度。教师应尽力帮助学生准确理解词义，多建立词汇的汉语联系，而不是越汉联系，以便更有效地习得汉语这种语言。马玉汴（2004）提出了放射状词汇教学法，强调建立词音、词形、词义等一环扣一环的心理词汇网络，从而提高学生的词汇量，进而牢固地掌握词义。
学习者如想真正“记住”词汇，必须对目的语进行大量的输入和激活。相关的研究表明精细加工和反复练习在词汇获得过程中的重要作用。精细加工指的是针对一个词条做最大数量的相关连接；该词汇项目应该放在不同的上下文中进行研究，而且学习者应该明确注意到与该词汇项目相关的所有特征，包括从该词的正确拼法和韵律到其句法和句意特征，与其他词汇之间的联系与区别，等等。当词库被视作一个所有词汇项目都可以在内产生相互连接的网络时，精细加工，或者说新信息与学习者已有的旧知识之间的相互连接，便能够得到最好的阐释。同时，通过反复练习会提高词汇项目的激活程度。激活程度会随着时间的推移而下降。假如一个词汇项目在其激活程度即将下降之前又被重新激活，那么这次的重新激活便显得更加有效，从而达到自动化的程度。当反复练习以逐渐增加的时间间隔发生时，人们也就获得了最理想的学习效果。
参考文献：
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课堂提问可依据所提问题的类型不同而进行分类，比如美国的贝尔在《中学数学的教与学》中按照事实、技能、概念、原理四种对象与认识、理解、应用、分析、综合、评价六种认知水平交叉结合，把问题分成24种类型（如事实理解、事实分析、技能应用、技能评价、概念认识、原理综合等）。也可根据提问的目的和作用分为引入性提问、复习性提问、启发性提问、显示性提问、表现性提问、激趣型提问、联想型提问、类比型提问、悬念型提问、迁移型提问、暗示型提问、猜想型提问、发散型提问、反馈型提问等类型。这是从教师的主观愿望的角度考虑的分类。实际上，提问是师生双方的共同活动，教师更要关注的是提问对于学生思维活动的激发和主体作用的体现问题。因此可以按问题本身进行分类，如概念性提问、定理性提问等；还可以按照学生的认知水平进行分类，有低级认知问题、高级认知问题，还可细分为记忆型问题、理解型问题、分析型问题、评价型问题等。
我在教学中习惯按问题的作用对课堂提问进行分类。
一、复述性提问
复述性提问，即要求学生复述教材的提问。
教科书里重要的概念、公理、定理、性质、法则，是数学基础知识的组成部分，也是学生数学思维的重要“元件”，许多内容学生必须首先熟记它们。
例如，立体几何中直线和平面有关的一系列判定定理和性质定理，学生如果不能熟记，这一章的证明和计算将难以掌握。教师不时在课堂上进行提问并要求学生复述，是促使学生熟记的有力手段。
要求学生复述教材的提问，往往在新教材进行后的一段时间，也可以在以后用到它们时事先提问。当然，这类机械复述要以先讲清产生这些结论的过程为前提，以这些结论的运用为目的。我们仍然不主张不求甚解的死记硬背。因此，这类提问所占比重并不高。
二、铺垫性提问
铺垫性提问，即学生学习新知识前的提问。
这种提问的目的是为学生学习新教材扫清障碍，垫铺性提问的问题所涉及的内容往往是学生已经学过，并且在讲新知识时又要用到的。
例如，在讲“对数函数”之前，教师可先提问指数函数的概念、指数函数的单调性、反函数的概念，然后在此基础上讲对数函数的概念。这样做有利于新、旧教材的相互联系，易于使学生达到有意义学习。教师所提问题的形式应更多注重灵活性，以避免学生照书直答，对于上例，可以这样来提问：
（1）函数y=7x，y=（■）x，y=nx(x∈R)中，哪些不是指数函数？
（2）描述y=7x，y=（■）x的图像的形状，并说明它们的单调性。
（3）y=7x，y=（■）x 有没有反函数？为什么？
这样的问题，学生仅靠翻书是无法得到答案的。学生若要准确回答这些问题，就得开动脑筋思考。这显然比教师直问概念、性质，学生照书直答好一些。
三、理解性提问
理解性提问，即为加深学生对知识的理解进行的提问。
学生刚学新概念、新规律后，并不是马上就能理解。为了加深学生的理解，教师可以提出一些不太复杂的问题，促使学生对所学概念有比较清晰的理解。
例如，学生学了“任意角三角函数”，对“y=sinx的定义域是一切实数”往往理解不深，不易与角的弧度制之间建立有意义的联系。教师可以考虑提出“sin4是什么意思？‘4’这个角的终边在第几象限”或“sin（-2）是什么意思？‘-2’这个角的终边在第几象限”等问题，但此类问题不宜过多、过深。
象这样为深化概念和规律而提出问题，在高中数学教学中有广泛的运用。
四、探索性提问
探索性提问，即引导学生探索解题思路的提问。
这样的问题提问应能启发学生积极思维，帮助他们主动探索解题思路。此类问题并不需要很多，并且不能离开学生的实际水平。提问的梯度不能太大，否则启而不发；梯度也不能太小，否则学生的思维过程被教师“包办”。
例如习题：“2n-1与2n+1表示两个连续奇数，说明这两个连续奇数的平方差是8的倍数。”
教学时依题意写出（2n+1）2-（2n-1）2之后，可以考虑提出这样的问题：“将上式变形为怎样的形式，就可以说明它是8的倍数？”为的是启发学生明确变形的目标，避免盲目推导。
这样的问题，一定程度上揭示了解题的思维过程，对学生具有一定的启发性。
五、效果性提问
效果性提问，即检查学生学习效果的提问。
这类问题的目的在于了解学生的学习情况，发现问题及时补救。这类提问往往和巩固知识结合起来。
例如，学了同角三角函数的倒数关系、商数关系、平方关系之后，教师可提出“哪些关系式可以互相推导？”使学生加深对公式的理解。在学生回答的过程中，教师可以依据“反馈”回来的信息，对学生的误解和错误及时给予纠正。
六、概括性提问
概括性提问，即要求学生概括学习材料的提问。
对学习材料能够进行概括，才能提高数学教学的理论水平。教师进行概括当然是可以的，但是，有些时候概括过程让学生来做，有利于培养学生的数学能力。此类问题的提问可选择中等难度的材料。
人民教育出版社新编初二物理，是一部很好的物理启蒙教育教材。物理启蒙教育一般可由三个方面组成，即物理学知识启蒙教育、物理学方法启蒙教育、物理学思想启蒙教育。物理学启蒙教育的目的在于通过以上三个方面的教育，以培养、保持和发展学生
对物理学的浓厚兴趣，掌握正确的物理学方法，树立基本的物理学思想。
人教社初二物理新教材从整体结构上可分为两大部分。第一部分为引言和前六章各种物理现象的简介和了解；第二部分为后八章经典力学的基础知识。这种新型的知识结构，在国内的众多初二物理版本中还是少见的，这已是它的成功点之所在。
第一部分通过各种有趣味的物理现象介绍，可使学生感到物理知识的重要性和普遍的实用性。从而使学生心理上不仅感到物理知识很有趣，而且也不难学。通过这一部分教材的学习，可进一步激发学生对物理学的学习兴趣，这正是本教材所注重要解决的问题。更重要的是这部分教材的学习，可为后面学习打下一个牢固的知识基础。这点不仅符合人们认识事物的一般过程，更适应了少年儿童的学习心理。
如本书中的光学部分，总是以具体形象的光学现象和光学实验为依据来说明光的反射定律、光的折射规律、光的成像规律、光的色散规律等。书中采取的方法是列举大量光学事实、光学实验，让学生通过观察、分析、归纳、判断，来认识和发现各种光学现象中的固有规律。而不是通过什么物理概念的繁衍，或数学、逻辑的推理得出规律。
其实，前六章的知识结构都是这样的模式。即是就事论事地让学生了解各种基本现象，建立一些最基本的物理概念。如时间单位、长度单位、力的单位、平均速度、温度、熔化过程、凝固过程、液化过程、光线等等。
利用学生的形象思维，通过学生的感性认识，直观、形象地认识和发现物理知识。这种学习的模式，不仅可减轻学生的学习负担，而且可提高学生的学习兴趣。对后面的物理学习可起到重要的基础作用。
第二部分是经典力学的初步基础知识。众所周知，经典力学大厦的三大基石是质量、时间和空间三大概念。而初二学生此时从自己的生活经验中已基本具备了绝对时空观的初步概念。因而第七章开始只进行绝对质量观的教学，接着进行密度概念的教学。再后面几章即分别对力的初步概念、运动学的基本概念、压强的概念及其在流体力学中的应用进行教学。最后进行简单机械和功的知识的教学，本书的这种知识结构，层次清晰、条理分明，完全符合初中学生的认知心理结构，可使学生在经典力学知识的殿堂里，攀登初步力学知识的阶梯而不感到负担沉重。第二部分的物理知识，为何能产生这样良好的效应呢？这与前面第一部分物理知识的学习分不开。从认识论角度来说，第一部分知识的学习主要为学生奠定了感性认识的基础；第二部分的教材多从理性上展开，为理性认识阶段，众多的物理实验也是为理性认识服务的手段。从逻辑思维方式方面来说，第一部分先给学生一些形象的、具体的物理知识，而第二部分多为一些深化的、抽象的物理知识。从整体的角度出发。可见这两部分是前后呼应、相互衔接的统一体。
第一部分是第二部分的基础，第二部分是第一部分的深化和发展，二者不可分割，这种新型的知识结构，是教材改革的一大成果。转贴于
那么，怎样才能更好地处理好主体与主导的关系呢？那就是让学生积极地参与教学活动，教师大胆放手，给学生时间，让学生充分施展自己的才能。 “三步法”教学模式就能充分体现这一教学特色。
一、“三步法”教学模式结构及操作要求
1.模式主旨是让学生积极主动地参与教学活动，完全通过自己动手、动脑来获取概念，这样获得的概念是学生自己的，而不是教师强加给他们的，记忆会更深刻和牢固。
2.模式的基本结构：三步法
第一步：启发引导，揭示课题。
第二步：探讨活动，获取知识。
第三步：巩固知识，学会应用。
3.模式的操作要求
（1）启发引导，揭示课题
一节课的成功与否，良好的开端十分必要。当学生的情绪已经安定下来，注意力比较集中的时候，教师要及时导入新课。导入新课的目的是要引起学生在思想上产生学习新知识的愿望。学生有了这样的愿望，就会以浓厚的兴趣、全神贯注地投入学习。导入新课的方法多种多样，如设置悬念、开门见山、录像投影、教师演示、游戏法、直接法、讲述故事、猜谜语、观现象说明原因等，但是教师设计内容时要尽量生动有趣，富有启发性，能引起学生的新奇感和求知欲。
（2）探讨活动，获取知识
a.动手动脑，探究知识
教师在课的开始，把一些实验材料发给学生，这些实验材料是教师在课前针对儿童所处的不同思维阶段及要求他们建立的概念而精心设计和选择的，要求学生尽量动手拨弄、操作实验材料，让学生充分发挥想象力、创造力，去体会、寻找实验材料中所包含的概念。
b.各抒己见，概括结论
教师在学生探究的基础上，组织他们讨论，让他们把探索过程中发现的东西讲给大家听。经过大家畅所欲言的讨论，互相启发和补充，学生便能逐渐从具体的事物中抽象概括出要领来，从而加深了对事物本质的认识，获得科学的结论。
探究实际上是学生对事物的感性认识阶段，讨论是学生对事物的理性认识阶段，其实质是儿童对事物的感性认识上升到理性认识的过程。探究得越充分，讨论的效果会越好；讨论得越深入，建立的概念就越准确。因此，探究与讨论这两个过程紧密相连，在概念的形成过程中，具有同等的重要性。
（3）巩固知识，学会应用
巩固知识的目的在于了解学生掌握知识的情况，及时发现和弥补学生知识掌握过程中的缺陷，使学生对新知识能当堂理解，当堂巩固。教师可以采用提问、复述、练习等方法来了解学生对新知识的理解。但是巩固新知识，不应该是简单的重复，而是对已获知识的再学习，使学生应用这些已获知识去解决一些实际问题。在巩固新知识的过程中，也可以启发学生提出与新知识有关系的问题或不理解的问题，请其他学生回答或通过讨论来解决，还可以由学生用实验来解答，或是请学生根据实验的现象进行解释。
教学的根本目的在于让学生学会运用已有知识解决实际问题，通过应用，进一步巩固课堂上获取的新知识，并培养学生独立思考、独立工作的能力。
二、“三步法”教学模式的特点
1.在学生探究活动中，教师很少说话，而是细心观察学生的一举一动，注意倾听学生的对话。对于确有困难的学生，教师只提供能帮助其解决困难的材料，或给予情绪上的支持，鼓励学生建立起自信心，自己想办法解决。在这一过程中，学生须依靠自己动手去探究，从而促进了创造性的思维活动，形成了自己对客观事物的想法。
2.研讨活动过程是师生之间、生生之间的相互交流、相互启发的过程，大家想办法把各自在探究中的思维语言表达出来，并依靠集体的力量来改变某些错误的想法，逐步形成比较清晰的概念。在这一过程中，教师耐心地听取，敏锐地去判断学生在讲述某种想法时的内心活动，注意发现矛盾，揭示矛盾，并把矛盾交给学生去解决，让学生在希望解决矛盾的内心愿望的驱使下，获取继续前进的动力。
简言之，在这种教学活动中，学生是在进行独立的、有创造性的自我研究活动。
