时间：2024-04-22 15:23:38
关键词：概念；本质属性；教学策略
一、小学数学概念研究现状
对小学数学概念教学的研究主要包括以下几个方面：（1）小学数学概念教学定义的了解、掌握和应用；（2）小学数学教学概念的方法和策略；（3）从小学生的思维发展水平为出发点研究小学数学概念的教学原则和要求、小学生能力培养方法；（4）研究小学数学概念教学的选材和教学模式；（5）研究小学数学教学概念和现实原型的关系。
二、小学数学概念教学存在的问题
1.忽视概念的形成过程
一个数学概念形成的过程通常是艰难并漫长的，需要经历直观感知、反复抽象、循序渐进，才能够被真正地理解。例如，第一次学习解方程时，教师应该先让学生充分地经历探索等式性质这个过程，然后才能自然地去发现解决方程的方法。但有些老师却忽视了这个过程，只为了追求所谓的“效率”，一切“从简”，便直接让学生背过等式的性质，然后就让学生大量地练习怎么解方程，只教学生“做什么”“怎么做”，却忽略了“为什么”的问题。这是一种机械的不科学的学习过程。
2.忽视概念的基础过渡
数学教材中，存在很多概念的理解是建立在前面概念的理解基础之上的。前一个基本的概念是基础，是桥梁，而教材中却往往缺少对这个基础概念的教学。那么，首先教师要准确地把握教材，找到概念的切入口。例如，在认识除法之前，学生必须充分懂得“什么是平均分”，在认识多边形之前，学生需要先认识“边”，数学上所说的“边”应该具有哪些特点。而对于一些个新的教师而言，由于缺乏经验，对教材的理解不是那么透彻，经常会忽视对这些基础概念的教学。
3.忽视概念的灵活应用
数学概念的巩固主要是通过实际应用来实现的。通过应用，不仅可以使学生加深对概念的理解，促进对概念的巩固，还有利于开发学生的思维，培养和提高学生的数学能力。许多老师上课练习就仅仅是照搬教材，照本宣科，没有任何的拓展、对比和变式，使学生对概念的理解只停留在表面，似懂非懂，一旦遇到综合性比较强的实际问题，就不知道从何下手。
三、小学数学概念教学的对策
1.图形辅助型的教学策略
语言是师生之间表达沟通的工具，语言在数学教学过程中发挥着特别重要的作用，它能够加深学生对概念的理解，在教学过程中，教师应该让学生用自己的理解表达出图示所代表的含义，从而提高学生的语言表达能力，还应引导学生把握图示所表达出的共同特征，与生活概念严格区分开，培育学生的数学感，以概念教学为主，通过认知心理来获得数学概念，形成新的认知结构，揭示概念所反映的事物的本质特征，通过概念的运用来得到强化和巩固，逐渐提高学生的思维水平。
2.字形结合型的教学策略
在该形式呈现的概念中，“形”的意义深刻，因此，教师要抓住事物的本质属性，引导学生正确理解“形”。帮助学生综合字形的含义，将概念内化，使之与非本质属性区别开，把表达概念的“字”与“形”结合起来。
3.定义式的教学策略
通过多层次的分析，抓住概念中的关键性词汇，将抽象概念具体化。合理应用变化的形式，说明概念的本质。
4.阶段性的教学策略
灵活运用多种引入方法，创设数学情境，提供感性的材料，帮助学生建立清晰的表象。引入概念是第一步，最重要的是讲解概念的阶段，教学策略要解释清楚内涵和外延，让学生全面理解，注重前后衔接；发展所教的概念，注重直观的情境，将概念具体化；注意它们之间的联系和区别，将概念系统化，促进记忆，学以致用。
5.全程教学策略
构建学生多问、老师少讲的学习框架，促进学生开动脑筋思考问题，然后老师选择最恰当的时机给学生答疑解惑，以旧导新，引导学生消化吸收新的知识，并增加学生的实践机会，提高学生的动手能力。
参考文献：
[1]蒋文.小学数学活动经验积累策略分析[J].考试周刊，2015（12）.
【关键词】合理的概念教学程序；接受式概念；选择性概念
一、问题的提出
在中学化学中，化学概念一直是化学教学中最关键、最中心的内容。这是因为：化学概念不仅是学生学习基本理论、定律、公式的前提和基础，也是发展智力，特别是培养科学思维能力的必要条件。不少学生反映化学知识繁琐零碎，易学难记，感到枯燥乏味，没有兴趣等，究其原因，很大程度上在于学生不能清楚地、准确地理解化学概念，以至随着知识的扩展深化不能作出正确的判断和合理的推理，难以形成全面正确的化学知识。因此，教师如何根据概念的不同特征，暴露不同类别概念的形成过程和形成方法，通过设计合理的概念教学程序，传授方法的思考与过程，组织课堂教学，无疑是化学教学中最具教育意义的成分之一。
二、理论依据
布鲁纳对概念获得教学模式的研究表明：概念获得教学除了应使学生通过分类、抽象的过程形成并掌握概念外，还应包括对学生概念化过程本身加以研究的任务。教师不仅要注意学生最终的答案是否正确，还要帮助他们了解自己是如何思考的，哪种思维策略最有效。根据学习者学习条件的差异，概念获得教学有三种不同变式：接受式概念获得模式、选择性概念获得模式和无序概念获得模式。
在学校教学环境中，大多数学习属于接受式学习。接受式概念获得模式共分为三个阶：
⑴呈现资料。教师通过向学生呈现一个个彼此独立的正例或反例，要求学生对这些不同范例的特点进行比较、区分，得出规律性，直至能够命名概念。
⑵检验。通过呈示没有标记的范例和由学生提出的一些范例，对概念进行检验。
⑶概念获得策略的分析。在概念获得练习中，学生采用的思维策略不会人人一样，通过对所用策略的回忆、分析、比较，帮助学生找到一种最佳的思维策略。
根据上述理论的指导，化学概念的教学程序可设计如下：
呈现资料 检验 概念获得
策略的分析
发现或明确要 收集资料或 分析、研究资 归纳 概念内涵和 概念形成的
解决的问题 实验数据 料或实验数据 概念 外延的剖析 方法思考
盐类的水解概念是中学化学中的重要概念。针对此概念的特征，编制合理的概念形成过程和形成方法的教学程序，不仅能巩固化学平衡、强弱电解质等已有概念，更能培养学生用自然科学方法论为指导分析、解决问题的能力。
三、实施策略
教学程序的设计是实施教学策略的重要组成部分。多年的实践与尝试证明，遵循学生的心理活动特点和认知规律，体现化学学科以实验为基础的特征，合理构建教师教的策略和学生学的策略，是确保概念教学程序能否顺利进行的基本保障。
⒈教师教的策略 现行教材所陈列的概念，大多不符合教育心理学指出的学生习得概念的规律，因此，老师在概念教学活动展开之前，选择合适的概念、制作概念呈现的范例（正例和反例），安排范例呈现的次序，是帮助学生形成概念，展开方法的思考过程，直至掌握概念的重要环节；在概念的应用性练习过程中，创设一种对话式的教学环境，对学生提出的各种假设持积极支持的态度，特别是在教学的后阶段，把学生的注意力从具体的概念引向对概念获得策略的分析，鼓励学生说出自己的思维方法并让全体学生共同评判每种思维策略的长处，以求最佳思维策略的开发。
⒉学生学的策略 化学概念的学习离不开学生的实践活动，充分利用实验、模型、图表等直观手段引出概念，指导学生学会观察、分类、概括、综合等思维方式，有利于学生形成概念；创设良好的教学环境，挖掘兴趣、情感、意志等非智力因素在学习过程中的作用，引导学生主动参与学习，发挥非智力因素，有利于学生巩固概念，领会概念的内涵和外延；诊断各类学生的概念结构状况和学习障碍，加强指导学生自我评价、自我反省、自我提高的意识，促进旧知识、旧概念的正迁移 ，有利于学生获得概念的最佳思维策略。
四、实践后记
化学概念教学的程序设计方案为化学课堂教学提供了理想化的教学模型和教学最优化的“蓝图”，然而它仅是为达到课时教学目标和取得最佳教学效果提供了条件，奠定了基础，方案的合理性、科学性、可行性都必须在课堂教学中才能得到体现和检验。笔者在多年的概念程序设计与实践中，立足“教师为主导，学生为主体”的教学观，重视师生双边活动策略的设计，构建新旧知识衍接框架和能力培养体系，大大激发了学生的学习兴趣和求知欲，课堂气氛融洽，作业与形成性测验表明，基本达到了教学目标，远期追踪调查结果显示，实验班对概念的巩固率明显高于其它班级。
一、注重化学概念的教学，加强化学用语的训练，为化学计算夯实基础
首先涉及初中化学计算的一些重要概念，在形成时应尽可能通过实验或其他具体事物分析、概括导出；其次，注重概念同化，进行新旧概念对比，弄清相近概念间的本质区别与内在联系，然后加强运用概念的训练，加深对基本概念的理解，提高运用基本概念的能力；最后还要加强与基本概念相关的化学用语的训练，掌握化学学科独特的学习语言。
实践证明，当学生理解了化学式、相对原子质量、相对分子质量等基本概念，化学式含义及化学式前系数的含义等内容后，有关化学式的基本计算就可以说是“轻而易举”了；当学生理解了质量守恒定律、化学方程式能够表示反应物及生成物各物质间质量比的含义等内容后，学生基本都能够进行化学方程式的简单计算了；当学生理解了溶液、溶液的组成（溶质、溶剂）、溶质的质量分数等基本概念后，溶质质量分数的计算也就不再难倒学生了。
二、初中化学计算是化学“量”的思想与数学计算方法的结合，化学计算的关键是化学“量”的思想
各种计算类型在教材上都出示了相应的例题，它们以清晰的解题步骤阐述了运用化学概念进行化学计算的思想，以简明的解题格式规范正确运用化学概念进行化学计算、表述逻辑思维过程的方式，故而要特别注重发挥教材上例题的作用。从接受式和探究式两种学习方法来形成两种策略，即传授性和探究性教学策略。
传授性教学策略主要是指通过教师讲授或师生共同谈论或学生直接自学教材上例题的方式，学习化学基本计算的方法，然后再进行训练，并通过师生评价或学生相互评价等矫正，让学生掌握化学计算方法，逐步提高化学计算能力。这种方法多数学生能够较快接受，并迅速掌握基本方法，效率较高。但少数学生容易因“不理解而掉队”，从此对计算失去信心。
探究性教学策略主要是指教师创设真实情境，提出有意义的实际问题，组织学生合作探究，力图运用基本化学概念完成基本化学计算问题，通过评价矫正不足。在探究性学习过程中，可引导学生运用化学概念或原理自己寻找解决问题的方法，也可以引导学生从例题中获取方法（不仅限于模仿），把获取的方法运用于问题中并解决问题，促使学生进行迁移。在探究的过程中，学生充分感悟或体验运用化学概念进行化学计算的方法，自然形成化学计算能力，并巩固学习兴趣。短时间来看，这种策略似乎更费时间，但学生真正运用化学思想和化学概念进行化学计算时，既形成了能力，又保持了兴趣，应该是更有效率的学习方式。当然这种策略要求学生的化学概念必须牢固，基本学习方法必须到位，化学学习兴趣必须浓厚，否则课堂教学中容易“冷场”，收不到预想的效果。因而两种教学策略都要根据学生特点而确定，力争取得更有效的教学效果。
三、化学的总复习策略
初中化学的复习阶段，当然主要是针对选拔功能来说的，在复习迎考中有这样几点需要大家加以关注：
（一）复习措施
1.以大部分同学现状为基础，分析教材、学生，研究对策，提高复习的针对性。
2.认真研读中考精神和中考说明，把握走向，提高复习的有效性。
3.分轮次复习，使用盐城中考说明、盐城零距离、中考十三地市试卷，提高学生的应试能力。按单元顺序复习，加强学科知识的联系，使基础知识系统化、网络化。加强对学生“三基的考查及时查漏补缺。
4.注意对学生思想的教育，要进行人生理想、情感态度价值观的教育，使学生明确目的，增强信心，提高复习的自我意识。
5.积极搞好教研沙龙，通力合作，集大家智慧，提高复习的质量。
（二）化学复习计划
1.指导思想。以教材、科学课标、考试说明为依据，以“三基”为主线，以培养学生的科学能力为重点；以完成学校的教育教学目标为方向
2.复习目标。扎实地掌握三基；形成熟练的科学（化学和生物）思想方法；培养学生较强的化学和生物能力和运用有关知识分析解决问题的能力。
3.复习思路方法。
（1）加强集体备课，备课标、备教材、备教法、备学法；完成说课――讨论――导学反馈案。
（2）落实复习环节：读、讲、练、测、评、补（六环节复习法）
读：预习、练习，发现问题；
讲：按知识体系，梳理知识，形成结构，提炼学科思想方法，理清基本题型，掌握基本解题方法；
练：精选习题，学生训练，掌握知识，形成技能，发展能力；
测：进行单元测试、定时练习查漏补缺，训练应试能力；
【关键词】小学数学 教学策略 研究 概念教学 思维 兴趣
一、小学数学教学中有效应用教学策略的意义
小学数学是奠定小学生数学基础和训练小学生数学思维以及计算能力的主要时期。小学数学教学中的有效教学策略区别于一般的教学方法，它立足于更高的教学制高点，囊括了小学数学教学中各项有效的教学方式和手段。教学策略主要是从一个具有策略性和主导型的大方向出发，确定教学过程中的主要目标和教学方向。它包括教师根据班级学生的具体学习水平和学习态度制定的主要教学方针，涉及到教师与学生之间“教与学”二者的关系，即研究教师如何更好地“教”，也探究让学生如何更好地“学”。教学策略是凌驾于一般性的教学方式之上的，它以统领性的教学纲领和教学目标，使得教师能够有针对性的选择具体的、适宜的教学方式，帮助拓展学生的数学思维，提升班级学生的整体数学水平。
二、小学数学的主要教学策略
小学数学教学中，根据教师的具体教学需要，分为以下几种主要的教学策略：一是针对于理论知识教学的小学数学概念教学策略；二是与数学教学思维相关的思维启发式教学策略；三是针对于小学数学的计算和解题部分，教师可以采取的探究式教学策略。下面笔者将结合实际案例，分别讲述这几种教学策略的应用性。
首先，数学概念教学策略遵循“言之有物、述之有理”的原则，必须加强实证和案例的作用，来增强数学概念的说理性，确保学生了解到数学概念的本质含义。数学概念是数学理论知识的基础，也是所有数学解题方式的本源依据，重视数学概念教学才能扎实小学生的数学理论基础，为更长远的数学学习奠定扎实知识基础。这就要求教师必须让学生们吃透数学概念，透过各种实证和案例的探究和认识，深刻理解到概念的本质。比如说，教师在讲到分数这个概念的时候，不能仅仅用文字描述来解释分数的意义，而是要在小学生们熟悉的生活案例中举出一些具有代表意义的实证，用事实来告诉他们什么是“分数”、“分子”、“分母”。教师可以引导学生们思考生活情境，如平时家里的水果是如何分的。教师可以从“切西瓜”的歌谣中让学生们明白分数的含义。比如说，“一个西瓜圆又圆，一半给你，一半给我”。那么，每个人都得到了两份之中的一份，即我们都得到了二分之一，两个二分之一相加起来，又得到了一个完整的西瓜。正如将被切成两半的西瓜合起来，又得到了一个完整的西瓜一样。那么，以此类推，西瓜可以被切成四份、八份，每个人可能得到四分之一、八分之一或者是八分之二，而八分之二又等同于四分之一，因为它等同于两个八分之一的西瓜合并起来。这个过程中，小学生们可以了解到分数是一个神奇而美妙的数字，同时又与我们的生活息息相关。教师还可以运用一些相关的教学工具帮助小学生了解分数的概念。比如说，教师可以用PPT演示“切西瓜”的动态或者静态演变过程，每一刀都可以改变分子和分母，或者让小学生们用撕纸片、切苹果、分橘子等方式感受分数的数学概念和生活意义，让小学生们可以在游戏中掌握这个即简单、又有趣的数学概念。
其次，小学数学教学中运用启发式教学策略，启发小学生的数学思维。小学数学知识体系中有非常多的数学知识和规律，这些数学规律的教学一般都采取启发式的探究教学策略，在教师和学生的互动探究环节中，教会学生们了解和掌握数学知识重点和客观的数学规律。比如说，图形教学中，我们知道数学的三角形具有很多性质，如“三角形是最稳定的图形”、“两条直角边的边长平方和等于斜边边长的平方”，即“勾股定理”。另外，三角形的内角和为180度等性质也是重要的 图形性质和特点。教师要让学生们更好地掌握这些性质，并且启发学生对数学知识的探究兴趣，就要运用启发式的教学策略，遵循相关的教学要求，以一种探究式的互动教学模式，将学生们带入到奇妙的数学世界中。以三角形的性质教学为例，教师先要明确教学探究的“点”，即三角形的各个性质，然后以案例引入的方式设置教学情境，接着让学生们在教学探究中体会三角形的性质，不断启发学生的数学思维，最终总结探究结果，鼓励学生继续努力。比如说，教师先让学生们对比平行四边形和三角形的木架结构，试着移动平行四边形和三角形的几条边，就会发现平行四边形容易在外力情况下改变原有形状，而三角形则会保持稳定的形状，说明了三角形的稳定性。接着教师可以让学生们用量角器测量三角形的各个角，对比不同形状的三角形是否拥有相同的内角和，验证结论。“勾股定理”的验证也是如此。最后教师应用课本知识，带领学生们走入课堂知识探究环节，共同证明“勾股定理”，并且对于学生们在探究过程中遇到的问题和提出的想法都作出一定的解读和评析，激励小学生们对数学探究式学习保持浓厚的学习兴趣和探究热情，鼓励他们努力开创新思维，学习新知识。
最后，教师可以采取的探究式教学策略增强小学生的计算和解题能力。计算和解题能力是小学数学中非常重要的一部分，在探究式教学策略的指引下，通过有效的训练方式，提高学生的计算能力和解题能力，是数学教学的中心之一。教师采取探究式教学策略，主要是引导学生们在探究具体的教学情境过程中，掌握笔算、口算和心算等计算能力，并且将计算能力运用到具体的题目情境和生活情景中，做到学以致用。
参考文献：
[1]张洪霞. 小学数学计算教学策略研究[D].东北师范大学，2012.
【关键词】核心概念 生活经验 自主建构 策略性知识
《义务教育数学课程标准（2011年版）》在第二学段中提出了“在具体情境中，了解常见的数量关系：单价×数量=总价，速度×时间=路程，并能解决简单的实际问题”。对这种常见基本数量关系的回归如果仅仅理解成“要讲了”的话，那势必走入一种简单的以框架来机械套用的局面。对数量关系的课堂教学需要我们重新思考。
为此，笔者认为对数量关系的有效教学首先应立足“核心概念”――速度意义的理解，让学生对速度的理解经历由生活化经验到数学化认知的学习过程。其次引导学生在对核心概念理解的基础上运用已有认知经验自主构建数量关系。最后鼓励学生运用策略方法解决相关的实际问题，进一步完善思维模型。从以上三个层次着手来推进学生对数量关系的学习过程。下面笔者结合“路程、时间和速度”教学实践谈谈在课堂中如何把握数量关系的教学。
一、借助生活经验，实现核心概念的数学化认知
（一）激发生活经验，引入核心概念
激发学生原有认知经验，沟通生活经验和新知识之间的联系，可以帮助学生增进对核心概念的理解，激发学生的探究兴趣。
【案例1】
情景1：小明、小红同时走100米，谁走得快？
师：你认为怎样比？
生：比时间，看谁走的时间少，谁就快。
师：如果告诉你时间，你能比出快慢吗？
生：路程相同，比时间，时间少走的就快，时间多走的就慢。
……
情景2：小明和小红同时走2分钟，谁走得快？
师：怎样比？
生：比路程，时间相同看谁走的路多，谁就快。
生：谁走的路少，谁就慢。
……
【思考】
学生对于“速度”的理解，在生活中已有一定的认知经验，会比较快慢的方法。教师创设两个问题情境，激发学生原有认知经验，能感受到快慢不仅与时间有关，还跟路程有关，是对三者数量关系的初步感知。把核心概念与学生的生活经验进行整合，找到生活与知识的契合点，并以此为切入点来进行教学，促使学生在原有知识基础和经验水平之上进行新知识的再建构。
【关键词】多元联系表示策略;价值;运用
所谓“多元联系表示”策略，就是利用数学对象表征形式的多样性，对同一或多个数学对象（数学的概念、法则、表达式、定理、定义等）逐步或同时给出多种不同的表征方式（图、表、文字或符号等），引导学生从不同的角度加以理解，沟通其联系，从而促进学生数学语言发展的策略。
一、多元联系表示，促进学生对数学概念语言的掌握
运用用概念“多元联系表示策略”可以有效地帮助学生掌握数学概念语言。概念是思维的基本单位，数学概念是人类对现实世界的空间形式和数量关系的简明、概括的反映，是具体性与抽象性的辨证统一。有大量实在属性的概念问题，比缺乏实在属性的概念问题更加容易解决。这意味着在问题情境中，为提取概念所提供的线索越多，就越容易使概念得到检索和应用。给抽象的概念建立起具体的模型，更有利于学生对概念的掌握。比如给分数概念配以不同的模型解释或实际情境解释，学生将比较容易而且牢固地掌握分数的概念。
案例：三年级上册《认识分数》
每人拿出一张长方形纸，动手折一折，再用斜线表示出这张纸的。
出示学生作品：
师：三种不同的折法，都能折出，那么为什么折法不同，却都是呢？
生：因为它们都平均分成了两份，每份就是它的。
在这样的情境中，数形结合，给抽象的概念建立起具体模型。学生可以在把握数学对象不同方面的基础上，将不同表示法中所蕴涵的信息组合在一起，相互转换，这就大大增加了建立数学对象不同方面的联系性，促进学生对数学概念语言本质的掌握。
二、多元联系表示，促进学生对数学原理语言的理解
数学命题中的定理、公式、法则等，我们将它称之为数学原理，数学原理的学习实质是数学概念之间关系的学习。数学概念之间联系的方式，主要有两种：一种是相似和差异，一种是包含。基于相似和差异的联系方式中，最重要的就是“多元联系表示”思想。数学原理是一种高度复杂性的数学语言，认识心理学认为，要理解性地学习一个数学原理，必须通过建立该原理与已有认知结构的相关知识之间的联系，将它纳入到自己已有认知结构中的恰当位置。多元联系表示策略，就是充分利用知识之间的相似性，通过多元联系表示，沟通知识间内在联系，促进知识的生长、扩张和加强，从而促进了学生对数学原理语言的理解。
案例：六年级上册《比的基本性质》
师：比、分数、除法有什么关系？
（学生语言叙述，师摘录成图表语言形式，见下表。）
师：我们以前尝过商不变的规律和分数的基本性质，联想这两个性质，想一想，比会有什么样的性质？
（引导学生由商不变的性质、分数的基本性质、比与它们的联系总结得出比的基本性质。）
三、多元联系表示，促进学生三种数学语言的发展
数学语言是一种抽象的专业语言，是一种特殊语言，可以分为文字语言、图表语言和符号语言。三种数学语言各有优势与不足：文字语言通俗、易懂，但描述起来是线性的，不易表露知识的内在结构;数学符号十分简洁，描述起来给人以结构感，便于抽象思维，但由于抽象程度高，不易理解;图表语言比文字语言和一般符号语言更具直观性，容易形成表象，便于形象思维。“多元联系表示策略”，就是基于数学语言表示的多样化，在数学思维中，发挥文字语言、图表语言和符号语言的优势互补作用，将三种数学语言有机融合，促进了学生三种数学语言的发展。
四、多元联系表示策略的运用，要遵循合理认知原则
“多元联系表示”策略的应用确实可以提高学生对数学对象的理解，数学语言的掌握，但是“多元联系表示”并不一定能带来好的学习效果，“多元联系表示”也要遵循合理认知原则，适量而恰当，以减轻认知负担，增强认知效果。
一是适量。心理学研究表明，学习者对教学内容本身所包含的信息元素的数量及其交互性进行认知加工要承受一定的认知负荷。如果教学中多元联系的元素太多，而且元素的交互性很强，就会产生冗余效应，增加学生学习的负担，引起学习困难。比如概念的教学，向学生提供数量较多的具体事例，可以便于学生对概念的各种要素进行全面鉴别，抽象出概念的本质。但是这种事例太多的话，概念的非本质属性将有可能被强化而掩盖概念的本质。在教学中如果单一或较少的信息可以呈现完整且明确的信息意义，则可以独立呈现，无需呈现多种形式。
关键词：CPFS理论；数学解题；阅读策略
数学阅读是人们对数学文本的一种认知过程，在解题活动中学生通过阅读来确定题目文本的类型、含义和考点，学生若不能通过阅读很好地认知文本，将直接影响下一步的解题活动. 在解题活动中，阅读受题目文本的影响主要有题目的复杂性、抽象性以及题目缺失量. 本文基于南京师范大学喻平教授的CPFS理论，通过一定的阅读策略改善学生的CPFS认知结构，进而提高学生阅读题目的质量，最终达到提高解题能力的目的.
[?] CPFS理论与数学阅读
CPFS是由喻平教授提出的一种数学学习特有的认知结构，而阅读能力直接影响学生的数学认知活动，因此可以通过这种数学认知理论来分析阅读对解题活动的影响. 一个概念C的所有等价定义的图式，叫做概念C的概念域（concept field，简称C域）. 比如：直线方程的一种形式y=kx+b，而Ax+By+C=0也是直线方程的另外一种形式，很多学生刚开始学习直线的时候就未能掌握这一点，也就是说其关于直线方程的C域不完整. 为一组具有数学抽象关系的概念网络的图式叫做概念系（concept system，简称C系）. 与一个命题等价的命题集的图式叫做这个命题的命题域（proposition field，简称P域）. 在一个命题集中，任意一个命题都至少与其他某一个命题有“推出”关系，就称这个命题集为命题系（proposition system，简称P系）. 概念域、概念系、命题域、命题系形成的结构称为CPFS结构，是对数学认知结构的精确描述，是数学学习特有的认知结构. 数学概念、命题作为“存在的事实”是一种陈述性知识；作为解决数学问题的基础和依据，它们又是可操作的程序性知识，可以说CPFS结构揭示了概念、命题之间的联系. 由于CPFS侧重阅读者自身的认知结构，因此在解题活动中通过构建良好的CPFS结构可以有效进行读题，提高解题能力.
[?] 解题过程中的三种阅读策略
1. 依模画样策略
历史上数学概念和理论的发展是从非抽象到抽象长时间积淀的结果，ε-δ语言就是高度抽象性的代表，但在微积分发展史上严密化定义是在微积分发明很长时间后才出现的，而我们阅读教材直接面对的是抽象化的文本，这就可能造成学生从抽象到非抽象的转换障碍，在具体实践中笔者引导学生进行依模画样策略的阅读收到较好效果.
2. 二次重写策略
二次重写策略，就是在学生对题目和解答进行完整阅读之后进行二次书写题目的过程，该方法的本质在于通过训练不断丰富和扩展学生CPFS结构中的P系结构，不断完善CPFS认知网络. 通过让学生完整地阅读题目和证明过程，然后进行二次重写训练，可以加深学生对该类问题的理解，不断完善学生的CPFS认知结构，再遇见类似题目时能够对题目文本进行更好的理解，同时也解决了讲解过之后会遗忘的问题.
读完之后笔者向学生提出以下几何问题：
1. 该题目属于哪类型题？
学生1：证明线段相等题.
学生2：平行四边形证明题.
教师：答得不错，准确说是平行四边形中的线段相等问题.
2. 该题目的条件有什么特点？
学生3：AB+BC=CD+AD从来没见过.
教师：对，AB+BC=CD+AD是一个线段和相等的条件，并且相加的两条线段不在同一直线上.
3. 该题目证明策略是什么？
学生4：作辅助线.
学生5：好像构造了一个平行四边形.
教师：该题的策略有两个：一是将线段和相等转化为线段相等，二是通过构造平行四边形证明线段相等.贯穿整个证明过程的还有很多角.
提问完毕后马上将证明过程擦掉，要求学生在10分钟内完成证明过程（学生事先不知道有这个环节）. 结果表明，有70%的学生完成了重写过程. 结束后又出了3道类似题目进行巩固练习.
评：通过完整阅读和二次重写策略，学生再见到线段和相等的条件或者是结论的时候就知道将折线想办法转换成一条线段，这就为逻辑展开提供了一个相对固定的认知模式，通过该模式可不断加深和拓展学生CPFS认知结构中的P系结构.
3. 图象表示策略
图象远比文字好理解，将抽象的文本转换为图象表示必然会大大提高学生对文本的感知能力和理解能力. 因此，将用文字表征的C域或P域转换为图象表示的C域或P域就是一种非常好的阅读策略.
智慧技能的教学是学校教学的中心任务．著名认知心理学家加涅认为，智慧技能主要涉及概念和规则的掌握与运用，它由简单到复杂构成一个阶梯式的层级关系：概念（需要以辨别为先决条件）规则（需要以概念为先决条件）高级规则（需要以规则为先决条件）．因此，对于中学数学的每个单元，学生应该按照加涅关于智慧技能由简单到复杂构成的这个层级关系去学习，以便按照这个层级关系把所学的知识组织到大脑当中，形成具有良好层级性的认知结构．
据此，笔者在“排列、组合”单元的教学中，将教材内容的顺序进行了调整．调整后的结构如图1所示．排列、组合P概念从飞机票和飞机票价等具体问题的辨别入手，得出排列与组合的概念，进而介绍排列数概念、组合数概念及其符号表示．
排
列
、
组
合
概念
从飞机票和飞机票价等具体问题的辨别入手,得出排列与组合的要领进而介绍排列数概念、组合数概念及其符号表示.
专题一
算法
在解释P1n＝n，C1n＝n（n∈Z＋）的基础上，介绍加法原理和乘法原理（引例和例题的处理均须用由P1n或C1n组成的算式来解答）．
专题二
排列数公式与计算
专题三
组合数公式、计算与性质
应用
用直译法解决纯排列与组合问题（同时用分步法解答纯排列问题）．题型如1990年人教版高中《代数》下册（必修）（简称：高中《代数》下册．下同）第234页例3、第245页例2.
专题四
用分类法解决加法原理的简单应用题．题型如高中《代数》下册第234页例4（此例还可用分步法）、第245页例3．
专题五
用分步法、分类法和排除法解综合性排列与组合问题．题型如高中《代数》下册第235页例5、第246页例4．
专题六
图1
于是该单元的教学次序是：基本概念的形成（排列与组合的概念、排列数与组合数的概念）基本算法规则的掌握（原理与公式）概念和算法规则相结合的应用（这里是以解题规律为主线，把排列应用题和组合应用题一并按其解法由易到难分层次集中而对偶地解决的），完全符合加涅关于智慧技能的学习必须按从概念到规则，再到高级规则的层级顺序去进行的规律，理顺了学生学习排列、组合内容的认知层次，加强了该单元认知结构的层级性．
2．运用先行组织者，促成认知结构的稳定性
运用先行组织者以改进教材的组织与呈现方式，是提高教材可懂度，促进学生对教材知识的理解的重要技术之一．其目的是从外部影响学生的认知结构，促成认知结构的稳定性．
因为高中生首次面对排列、组合单元的学习任务时，其认知结构中缺乏适当的上位观念用来同化它们，因此，我们在该单元的入门课里，在没有正式学习具体内容之前，先呈现如图2所示的组织者，能起到使学生获得一个用来同化排列、组合内容的认知框架的作用．
排
列
、
组
合
概念
排列、组合的概念
算法
算法原理、计算公式
应用
解排列、组合问题
图2
值得一提的是，安排在本文的入门课——专题一中的飞机票和飞机票价等具体问题，以及安排在基本原理课题中的两个引例，它们也分别起到了学习相应内容的具体模型组织者的作用．
3．实行近距离对比，强化认知结构的可辨别性
如果排列概念和组合概念在学生头脑中的分离程度低，加法原理和乘法原理在学生头脑中的可辨别性差，则会造成学生对排列和组合的判定不清，对加法原理和乘法原理的使用不准，从而严重影响学生解排列、组合问题的正确性．因此，在教学中我们必须增强它们在学生头脑中的可辨别性，以达到促使学生形成良好的“排列、组合”认知结构之目的．
按调整后结构的顺序教学，很自然地实行了近距离对比，加大了排列与组合、加法原理和乘法原理的对比力度，从而强化了它们在学生头脑中的可辨别性．
（1）在入门课里，开篇就将排列概念和组合概念进行近距离对比，有利于引导学生得到并掌握排列和组合的判定标准：看实际效果与元素的顺序有无关系．
（2）专题二首次近距离比较加法原理和乘法原理，并运用其判定标准——是分类还是分步，去完成对实际问题的处理，以加强学生对它们的理解与辨别．
（3）专题四、五、六里，把排列、组合问题按其解法分层次对偶地解决，在没有单独占用课时的情况下，很自然地为排列和组合的近距离比较，为加法原理和乘法原理的运用对比，提供了切实而尽可能多的机会．
4．及时归纳总结，增强认知结构的整体性与概念性
我们知道，认知结构是人们头脑中的知识结构，也就是知识在人们头脑中的系统组织，它具有整体性和概括性．认知心理学认为，认知结构的整体性越强、概括水平越高，就越有利于学习的保持与迁移．因此，在每个单元的教学中，我们必须随着该单元教学进度的推进，及时归纳总结已学内容的规律，以促进学生认知结构概括水平的不断提高，最终促使学生高效高质地整体掌握该单元，从而形成整体性强、概括程度高的认知结构．
于是对于“排列、组合”单元，笔者就随着教学进度的深入，引导学生不断归纳、及时总结出以下各规律：
（1）排列与组合的判定标准（见前文）．
（2）加、乘两原理的判定标准（见前文）．
（3）排列数公式的特征（略）．
（4）组合数与排列数的关系（略）．
（5）解排列、组合问题的基本步骤与方法：
①仔细审清题意，找出符合题意的实际问题．
所有排列、组合问题，都含有一个“实际问题”，找出了这个实际问题，就找到了解题的入口．
②逐一分析题设条件，推求“问题”实际效果，采取合理处理策略．
处理排列、组合问题的常用策略有：正面入手；正难则反；调换角度；整、分结合；建立模型等．但不管采用哪个策略，我们都必须从问题的实际效果出发，都必须保证产生相同的实际效果．因此，实际问题的实际效果，就是我们解排列、组合问题的出发点和落脚点，因而也可以说是解排列、组合问题的一个关键．
③根据问题“实际效果”和所采取的“处理策略”，确定解题方法．
解排列、组合问题的方法，不同的提法很多，其实归根到底，不外乎以下五种：枚举法；直译法；分步法；分类法；排除法．如所谓插空法，推究起来也只不过是在调换角度考虑的策略下的分步法而已．
5．注意策略的教学与培养，增大认知结构的可利用性
智育的目标是：第一，通过记忆，获得语义知识，即关于世界的事实性知识，这是较简单的认知学习．第二，通过思维，获得程序性知识，即关于办事的方法与步骤的知识，这是较复杂的认知学习．第三，在上述学习的同时，获得策略知识，即控制自己的学习与认知过程的知识，学会如何学习，如何思维，这是更高级的认知学习，也是人类学习的根本目的．
所谓策略，指的就是认知策略的学习策略，认知策略是个人用以支配自己的心智加工过程的内部组织起来的技能，包括控制与调节自己的注意、记忆、思维和解决问题中的策略．学习策略是“在学习过程中用以提高学习效率的任何活动”，包括记忆术，建立新旧知识联系，建立新知识内部联系，做笔记、摘抄、写节段概括语和结构提纲，在书上评注、画线、加标题等促进学习的一切活动．
在中学生的数学学习中，如果学生的认知结构中缺乏策略或策略的水平不高，那么学生的学习效果就不好、学习效率就不高，特别是在解题过程中，就会造成不能利用已学的相关知识而找不到解题途径，或造成利用不好已学的相关知识而使解题思路受阻，或造成不能充分利用好已学的相关知识而使解题方法不佳，以致解题速度不快、解答过程繁冗、解答结果不准确等．因此，中学数学教学，必须重视策略的教学和培养，让学生学会如何学习和如何思维，以增大学生认知结构的可利用性．
为此，笔者在“排列、组合”单元的教学中，除注意一般性学习策略（如做笔记、画线、注记和写单元结构图等）的培养以外，更注重解排列、组合问题的培养和训练．
（1）在专题二、四、五、六里，对排列、组合问题解法的教学，始终按“仔细审清题意，找出符合题意的实际问题逐一分析题设条件，推求问题实际效果，采取合理处理策略根据问题实际效果和所采取的处理策略，确定解题方法”的基本步骤进行，以培养学生在解排列、组合问题时，有抓住“实际问题的实际效果”这个关键的策略意识和策略能力．
（2）重视一题多解和错解分析（多解的习题要有意讲评，例题讲解可故意设错）．
一题多解能拓宽解题思路，让学生见识各种解题方法和处理策略．另外，一题多解又能通过比较各种解法的优劣，使学生在较多的思路和方法中优选．同时，因为解排列、组合问题，其结果（数值）往往较大，不便于检验结果的正确性，而一题多解可以通过各种解法所得结果的比较，来检验我们所作的解答是否合理、是否正确，从而起到检查、评价乃至调控我们对排列、组合问题的解答的作用．
错解分析能使学生注意到解答出错的原因所在，同时使学生体验到解题策略调节的必要性和方法，防止今后犯类似的错误，增强学生解题纠错力．
故意设错如高中《代数》下册第246页例4的第（3）小题：如果100件产品中有两件次品，抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种?
错解：由分步法得C12C299＝9702（种）．
略析：像该题一样的“至少”问题最好莫用分步法，这里分步出现了重复计算（以上错解是学生易犯错误，教学中必须注意）．
参考文献
1邵瑞珍主编．学与教的心理学．上海：华东师范大学出版社，1990
关键词：高中数学；概念教学；主要特点；作用；策略
许多一线教师在教学中重解题、轻概念，造成数学概念与解题脱节的现象。而近几年数学高考试题中，考查概念应用、新概念理解的试题频繁出现，学生普遍感到难度较大，甚至无从下手。 因此，如何搞好新课标下数学概念课的教学，是值得广大教师探讨的问题。
一、数学概念的主要特点和作用
数学概念是反映一类对象本质属性的思维形式，它具有相对独立性。概念反映的是一类对象的本质属性，即这类对象的内在的、固有的属性，而不是表面的属性，而这类对象是现实世界的数量关系和空间形式，它们已被舍去了具体物质属性和具体的关系，仅被抽取出量的关系和形式构造，在某种程度上表现槎栽始对象具体内容的相对独立性。
数学概念教学在中学数学中非常关键，是学好数学的重要一环，正确理解概念是学好数学的基础。有的学生数学成绩差，最直接的一个原因就是概念不清，尤其是普通中学的学生，数学素养差的关键是在对数学概念的理解、应用和转化等方面的差异。因此，要想提高中学数学教学质量，最重要的就是要抓好概念教学。教学过程中如果能够充分考虑到这一因素，抓住有限的概念教学的契机，以提高大多数学生的数学素养是完全可以做到的，同时，数学素养的提高也为学生的各项能力和素质的培养提供了有利条件以及必要保障。
从平常数学概念的教学实际来看，学生往往会出现两种倾向，其一是有的学生认为基本概念单调乏味，不去重视它，不求甚解，导致概念认识和理解模糊；其二是有的学生对基本概念虽然重视但只是死记硬背，而不去真正透彻理解，只有机械的、零碎的认识，这样久而久之，严重影响了对数学基础知识和基本技能的掌握和运用。比如有同学在解题中得到异面直线的夹角为钝角，这些错误都是由于学生对概念认识模糊造成的。只有真正掌握了数学中的基本概念，我们才能把握数学的知识系统，才能正确、合理、迅速地进行运算、论证和空间想象。从一定意义上说，数学水平的高低，取决于对数学概念掌握的程度。
二、高中数学教学中概念教学的可行性策略
1.在体验数学概念产生的过程中认识概念
数学概念的引入，应该从实际出发，通过与概念有明显联系、直观性强的例子，使学生在对具体问题的体验中感知概念，形成感性认识，再通过观察、分析，抽象出感性材料的本质属性，并推广到一切同类事物，概括形成概念。例如，在“异面直线”概念的教学中。展示长方体模型，请学生找出模型中平行及相交的直线，再提出问题：还有其他的位置关系吗？当学生找出两条既不平行又不相交的直线时，教师告诉学生像这样的两条直线就叫做异面直线。 接着提出“什么是异面直线”的问题，让学生相互讨论，尝试叙述，最后概括出定义：“我们把不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线。”在此基础上，再让学生找出生活中的异面关系的直线，最后以平面作衬托画出异面直线的图形。 学生经过以上过程对异面直线的概念有了明确的认识，同时也经历了概念发生发展过程的体验。再比如，在讲数学归纳法的概念时，为了帮助学生更好的理解“递推”的含义，可以引进“多米诺”骨牌游戏，由于骨牌之间的特殊的排列方法，只要推到了第一块骨牌，第二块骨牌就会自己倒下，接着第三块就会倒下，第四块也会倒下，……如此传递下去，所有的骨牌都会倒下，这种传递相推的方法，就是递推。
2.在挖掘新概念的内涵和外延的基础上理解概念
有些概念由于其内涵丰富、外延广泛，很难一步到位，必须循序渐进、不断加深理解。例如，关于“角”的概念的深化，首先列出“平面角”、“异面直线所成的角”、“直线与平面所成的角”、“二面角”、“二面角的平面角” 各种定义，进行对比。 进一步认识到空间 “异面直线所成的角”、“直线与平面所成的角”、“二面角”都是在“平面角”概念的基础上发展和推广的；反之，这些空间的角都又是转化为“平面角”来表示的，只有“二面角”是通过“二面角的平面角”来表示。 求角是立体几何中的重要题型，只有对各种角概念理解透彻，才能很好的应用到解题中。
3.通过练习进一步巩固概念
数学概念形成之后，引导学生利用概念解决数学问题是数学概念教学的一个重要环节。 有关数学概念运用的问题千变万化，但万变不离其宗。 在学生掌握了数学概念之后，教师精选几类题目，让学生运用概念解决问题， 然后启迪学生从中总结出解题规律，培养学生的数学思维。如用向量解决几何中有关距离的题型就是典型的例子。 在学习完“向量的坐标”这一概念之后，提出问题：已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是 A（3，5）、B（4，6）、C（2，1），试求另一个顶点的坐标。 学生展开充分的讨论，不少学生运用平面解析几何中学过的知识（如两点间的距离公式、斜率、直线方程、中点坐标公式等），结合平行四边形的性质，提出了各种不同的解法。 有的学生应用共线向量的概念给出了解法；还有一些学生运用所学过向量坐标的概念，把点的坐标和向量的坐标联系起来，巧妙地解答了这一问题。 学生通过对问题的思考，尽快地投入到新概念的探索中去，从而激发了学生的好奇，以及探索和创造的欲望，使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造。除此之外，教师通过反例、错解等进行辨析，也有利于学生巩固概念。
三、结语
数学教学是一种对话、一种沟通，是合作与共建。课堂教学中，教师分析得再透彻也代替不了学生的思考。只有通过学生参与对话和交流，才能在不知不觉中培养学生的数学思维。 高中数学新课标提出了与时俱进的认识“双基”的基本理念，概念教学是“双基”教学的重要组成部分。教学中，要根据课标对概念教学的具体要求，创造性地使用教材。优化概念教学，把握概念教学过程，真正使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造，达到认识数学思想和本质的目的。
参考文献：
[1]赵爱芳.高中数学概念教学策略[J].教育科研论坛，2012，03：54-55.
[2]杨丽.也谈高中数学概念教学的实效策略[J].读与写（教育教学刊），2011，11：119.
[3]孙殿武.对高中数学概念教学的几点思索[J].科技创新导报，2014，21：157.
盗传必究
一、填空题
1．数学学科具有抽象性、严谨性、运用的广泛性
等特征。
2．数学的严谨性特征体现在它的逻辑性
、精确性
以及系统性等方面。
3．通常认为数学的课程目标可以分为实用知识、学科知识以及文化素养等三类。
4．我国21世纪小学数学新的课程标准力图在课程目标、内容标准和实施建议等方面全面体现知识与技能、过程与方法以及情感态度与价值观三位一体的课程功能。
5.
国际上小学数学的教材在呈现方式上开始逐渐凸现出切近儿童生活
、强化过程体验
、注意探究发现等价值取向发展上的特征。
6.
我国21世纪小学数学课程内容从知识的领域切入可以分为数与代数
、空间与图形
、统计与概率以及实践活动或综合运用这四个领域。
7.
按照学习的对象的特征以及学习目标的不同，认知学习可以分为知识学习、技能学习
以及问题解决学习等三类。
8.
知识学习过程大致包含了选择阶段、领会阶段、习得阶段以及巩固阶段等这样几个阶段。
9.
发现教学模式在小学数学教学中的运用要注意教师创设的问题情境必须有效、教师要注意儿童发现知识的过程
以及教师在发现教学过程中要注意适时指导等三个问题。
10.
探究教学模式的基本流程是设置问题情境、提出假设
、获得结论
以及反思评价等。
11.
课堂教学中的学生参与主要指行为参与、情感参与、以及认知参与等。
12．儿童在课堂学习过程中的情感参与主要包括兴趣、动机
、自信心以及态度等因素。
13．小学数学的教学组织主要有接受型的教学组织、问题解决型教学组织以及
自主型的教学组织等三种不同的类型。
14．常见的小学数学教学方法包括
叙述式讲解法、启发式谈话法、演示法以及“实验法”、“练习法”等。
15．学习评价除了具有“导向”
、“反馈”等价值外，还应具有诊断、激励、研究等价值。
16.
儿童学习数学概念的过程大致可以分为感知阶段、表象阶段以及概念阶段等三个阶段。
17.
在儿童的运算规则学习的导入阶段中主要可以采用情境导入、活动导入以及问题导入等策略。
18．空间定位包括对物体的空间方位、空间距离以及空间大小等的识别。
19．数学问题解决的基本心理模式是理解问题
、设计方案、执行方案以及“评价结果”等四个心理过程。
20．小学数学统计教学的主要策略有关注儿童对现实生活的经历
、增加在数学活动中的体验以及强化将知识运用于现实情境等。
21．数学的严谨性特征体现在它的逻辑性、精确性以及系统性等方面。
22．儿童的数学问题解决能力的发展大致要经历语言表述（阶段）、理解结构（阶段）、多级推理（能力形成）以及符号运算阶段等这样一个过程。
23．儿童在课堂学习过程中的认知参与主要包含浅层次（策略）、深层次（策略）以及依赖（性策略）等几种状态。
24．在儿童的运算规则学习的巩固与运用阶段中主要可以采用过程性（策略）、表现性（策略）以及多样化（策略）等策略。
25.
教学手段的抉择与运用，主要取决于有利于学生的动机激发、有利于学生的探索与发现、有利于学生对知识的理解等这样一些变量。
26.
运算性质根据其所起作用可分为改变参算的数的位置、改变运算顺序以及参算数的改变引起运算结果的变化等几类。
27.
发展儿童数学问题解决能力的主要策略有创设自由探究的空间、发展学生问题表征的能力、大胆提出假设和积极思考等。
28.
小学数学学习中存在陈述（概念）性（知识）
、程序性（自动化技能）（知识）、策略性（知识）等三种互相渗透与相互支持的不同的知识。
29、儿童在课堂学习过程中的情感参与主要包括兴趣、动机、
自信心以及态度等因素。
30、空间定位包括对物体的（空间）方位、（空间）距离以及（空间）大小等的识别。
31、小学数学统计教学的主要策略有关注儿童对现实生活的经历、增强在数学活动中的体验以及强化将知识运用于现实情境等。
32．课程就是由教师、学生、教材以及环境等四因素之间的持续相互作用所构成的有机的“生态系统”。
33．按照学习的对象的特征以及学习目标的不同，认知学习可以分为知识学习、技能学习
以及问题解决学习等三类。
34．现代小学数学课堂学习中教学组织策略具有运用情境的方式呈现学习任务、数学活动是任务来驱动的以及探索是数学活动的重要形式
等的特点；
35.小学数学统计教学的主要策略有关注儿童队现实生活的经历、增强在数学活动中的体验以及强化将知识运用于现实情境
等。
36．小学数学课堂教学常见的教学手段有操作材料、辅助学具、电化设备以及计算机技术等。
37．范例教学模式在教学内容上要突出基本性、基础性和范例性这三个特征。
38．问题的客观状态包括起始状态、目标状态以及中间状态等三个部分。
39．儿童概率思想发展的过程具有对事件发生可能性的认识是逐步发展、对事件发生的可能性认识受到经验的制约以及对事件发生的可能性认识需要通过直观操作来支持等这样一些特征。
40．教学手段的运用与抉择主要取决的变量包括有利于学生的动机激发、有利于学生的探索与发现以及有利于学生对知识的理解等三个方面。
41．概念间的相容关系包含着同一（关系）、属种（关系）以及交叉（关系）等三类。
42．从信息论的角度看，数学问题主要由条件（信息）、目标（信息）以及运算（信息）等三个成分所组成。
43．课程就是由教师、学生、教材
以及环境等四因素之间的持续相互作用所构成的有机的“生态系统”。
44．按照学习的对象的特征以及学习目标的不同，认知学习可以分为知识学习、技能学习
以及问题解决学习等三类。
45．现代小学数学课堂学习中教学组织策略具有运用情境的方式呈现学习任务、数学活动是任务来驱动的以及探索是数学活动的重要形式等的特点；
46.
小学数学统计教学的主要策略有关注儿童队现实生活的经历
、增强在数学活动中的体验以及强化将知识运用于现实情境等。
47.
对小学数学学科性质的再认识包含着儿童数学观
、生活数学观、现实数学观等这样三个数学观。
48．影响小学数学课程目标的基本因素主要有社会的进步、数学自身的发展、儿童的发展观
等。
49．空间定位包括对物体的方位、距离以及大小等的识别。
50．常见的数学问题解决的方法主要有试误法
、逆推法以及逼近法等三种。
51．小学数学学习中存在陈述性（概念性）知识、程序性（自动化技能）知识
、策略性知识等三种互相渗透与相互支持的不同的知识。
52．小学数学课堂学习的心理特征主要包含着是建构数学认知的过程、是形成数学能力的过程以及是发展情感的过程等三个方面。
53．概念间的相容关系包括同一（关系）、属种（关系）以及交叉（关系）等三种不同的情况。
54.
发展儿童的数感包括在实际的情境中形成数的意义
、具有良好的数的位置感和关系感以及对数和数的
运算实际意义有所理解等三个方面。
55.推理通常可以分为演绎（推理）、归纳（推理）、类比（推理）等三种不同的形式。
56.
按评价的取向角度划分，学习评价主要可以分为目标取向（的评价）、过程取向（的评价）、主体取向（的评价）等三类。
57.
问题的主观方面主要由起始状态
、目标状态以及中间状态等三个成分所组成。
58.
在小学数学课程与教学中强化“概率与统计”的学习，至少含有形成合理解读数据的能力、提高科学认识客观世界的能力、发展在现实情境中解决实际问题的能力这样一些价值。
59．发现教学模式的基本流程是创设情境、提出假设
、检验假设以及总结运用等四个阶段。
60．空间定位包括对物体的空间方位、空间距离以及空间大小等的识别。
61．小学数学统计教学的主要策略有关注儿童对现实生活的经历、增强在数学活动中的体验以及强化将知识运用于现实情境等。
62．小学数学学习中存在概念性（陈述性）知识、技能（程序）性知识、策略性知识等三种互相渗透与相互支持的不同的知识。
63．现代小学数学课堂学习中教学组织策略具有运用情境的方式呈现学习任务
、数学活动是以任务来驱动的以及探索是数学活动的重要形式等的特点。
64．所谓空间观念，就是指物体的形状、大小、位置、距离、方向等形象在人头脑中的映象。）
65．常见的数学问题解决的方法主要有试误（法）
、
逆推（法）以及逼近（法）（爬山法）等三种。
66．无论哪一种程序教学模式，都具有解释、显示问题、解答
、（反应）与确认这样相同的流程。
67．培养儿童构建数学概念的能力，主要可以从重视表象过渡
、加强数学交流、促进数学思维
等三个方面入手。
68．儿童概率思想发展的过程具有对事件发生可能性的认识是逐步发展的
、对事件发生的可能性认识受到经验的制约
以及
对事件发生的可能性认识需要通过直观操作来支持等这样一些特征。
69．影响小学数学课程目标的基本因素主要有社会的进步(对数学课程目标的影响)、数学自身的发展(对数学课程目标的影响)、儿童的发展观(对数学课程目标的影响)等。
70．构建教学策略的主要依据有对小学数学教育价值追求的基本认识、对儿童学习数学过程的认识和理解以及对课堂学习过程的理解和诠释等。
71．数学客观性知识主要包括数学概念
、数学规则
、数学思想方法
等。
72．问题的主观方面主要由（问题解决的）起始状态
、（问题解决的）中间状态以及（问题解决的）目标状态等三个成分所组成。
73．发现学习的基本流程是创设情境、提出假设
、检验假设以及总结运用等。
74．儿童在课堂学习过程中的情感参与主要包括兴趣、动机
、自信心以及态度等因素。
75．运算性质根据其所起作用可分为改变参算数的位置、改变运算顺序以及参算数的改变引起的运算结果的变化等几类。
76.
构建教学策略的主要依据有对小学数学教育价值追求的基本认识、对儿童学习数学过程的认识和理解以及对课堂学习过程的理解和诠释等。
77．培养儿童构建数学概念的能力，主要可以从重视表象过渡
、
加强数学交流、促进数学
思维等三个方面入手。
x研究对象与方法
1. 对象
20xx年4月通过抽样的方法，选取高一80名学生作为研究对象，其中男生51人，女生49人. 80名学生分成三个层次，多次考试成绩基本稳定在班级前十名的作为学优生一层；多次考试成绩基本稳定在班级后十名作为学困生一层；其余作为中间一层.
2. 方法
研究主要采用问卷调查法和访谈调查法.问卷分为两个部分，第一部分包括课堂笔记的记录习惯和对课堂笔记重要性的认知；第二部分是不同课型学生课堂笔记的记录策略和课后笔记使用情况.发放问卷80份，收回有效问卷71份，其中男生35份，女生36份. 结合问卷调查结果，对其中的13名学生进行进一步的访谈调查.
3. 资料统计分析
采用SPSS19系统软件分析，对不同数学程度的学生进行各项的差异性比较.
问卷调查结果
1. 女学生更需要数学学习方法和策略上的指导
由表1可见，学优生中，男生比例占86.7%远高于女生的13.3%；反之，学困生中女生占73.3%，存在显著差异. 说明有更多比例女生在数学的学习过程中，学习方法和策略存在不足，需要教师对其在数学学习上的指导.
2. 数学概念课上，学优生和学困生在课堂笔记策略和课后笔记使用上没有显著区别
由表2可见，概念课上，学生的笔记策略基本都是采用在书中标注的方法，50%左右的学生会在课后再理解消化数学概念，这一比例学优生略高于学困生.
3. 数学命题课上，学优生更注重课后对所学的公式、定理进行再次推导
由表3可见，学优生与学困生在数学命题课上的笔记策略没有显著区别，但学优生更重视公式、定理的推导过程.在课后的笔记使用上，有更多比例的学优生课后会对所学的公式或定理进行再次推导.
4. 数学例题课上，学优生与学困生的笔记策略存在显著差异
学困生在数学例题课上，有较大比例的学生习惯于把上课老师写的全部都记下来，基本没有自己的选择和取舍；而学优生基本都是有选择地进行记录，特别是重点记录了老师总结的方法和知识.
从结果可以看出，学优生在课内更重视听讲与练习，有选择性地记录数学课堂上的内容. 而学困生在数学课堂笔记的记录过程中，缺少自主的选择，注意力主要集中在笔记的记录过程，影响了听课的效率.
5. 解题过程中，学困生更依赖数学课堂笔记
有73.3%学困生，在做数学作业过程中会经常翻看课堂笔记，这一比例要远高于学优生的20%，存在显著差异.说明学困生在做作业时非常依赖课堂笔记，课堂的有效掌握率低，若碰到笔记中没有的题目类型，学困生就很难自主解决.
6. 在复习使用课堂笔记时，学优生和学困生使用笔记的方式是不同的
大部分学困生习惯于把笔记内容进行阅读式的复习使用；而学优生，会根据自己的实际情况，对笔记中的内容进行有选择性的复习.
访谈调查结果
为了进一步研究学优生与学困生在数学课堂笔记的记录策略和使用情况的具体差异，笔者对部分学生进行访谈调查，访谈调查的结果如下.
1. 学优生与学困生对数学概念的重视程度不一样
学优生不仅在课堂内对概念的听讲较为重视，课后都会对新接触的概念进行再理解；学困生课后基本不再关注数学概念，认为数学概念对解题没有帮助.
2. 学优生与学困生选择数学命题的记忆方式不同
学优生为了达到有效理解和记忆数学公式和定理的目的，经常性地在课后把公式和定理进行重新推导，关注数学命题的前因后果；而程度差的学生，只关注公式和定理本身，课后解题过程中习惯于频繁地翻阅书本中的定理和公式，记忆效果较差，遗忘率较高.
3. 学优生在数学例题课上的笔记策略是有选择性的记录
学优生在数学例题课上，选择的笔记策略是先自己做题，对自己能够顺利解决的问题不做笔记；对解题方法比较新颖的或没有理解透彻的，自己解决比较困难的，会选择做笔记，在课后会对课堂上选择性记录的笔记进行再理解，并重新对笔记中的例题重新做一遍.
在数学例题课上，绝大部分学困生选择把课堂内所有例题的题目和解答过程都记录下来；也存在少部分学生选择自己能理解的进行记录；也存在极少部分男生基本没有课堂笔记.
4. 学优生与学困生课后对作业、试题讲评课笔记的使用上存在不同
学优生与学困生在作业、试题讲评课上的笔记策略没有显著差异. 学优生当天在课后对错题会选择重新做一遍，并整理错题，有选择的记录到错题本中.复习时特别关注错误的原因和正确的解题方法，对具体解题过程关注较少. 学困生，课后极少关注错题，基本没有重新做一做错题的习惯，对课堂笔记的利用不足.
讨论
1. 重视对数学概念、公式、定理的理解是学好数学的基础
概念理解、技能习得、问题解决是数学教学的三大基本任务，同样是学生学习数学的基本任务，理解数学概念是学好数学的起点. 学生只有正真理解了数学概念，才能提高数学能力，理解数学思想，掌握数学方法.
2. 有选择性的记录笔记是数学课堂笔记的有效策略之一
数学课堂笔记是一把双刃剑，好的课堂笔记策略能有效提高数学能力，不好的课堂笔记策略反而会影响数学的学习. 缺少自主选择的笔记策略往往是抄录教师的板书，学生的注意力主要集中在笔记的抄录过程中，思维处于停滞状态，影响对数学基本知识的理解、基本技能的掌握和数学思维能力的培养，降低了课堂效率.
数学课堂笔记不应成为数学课堂的简单重复，要利用课堂笔记促进自身数学能力的提高，笔记内容就必须要有更高的起点，包括方法知识的提炼、内容的概括和困难问题的解决等.
“空间与图形”主要是研究现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换，它是人们更好地认识和描述生活空间并进行交流的重要工具。然而长期的几何知识教学缺少与现实生活的紧密联系，过分强调演绎推理和形式化证明，使得“几何”的直观优势没有得到充分发挥，学生的空间观念没有得到真正有效的发展。
1.囫囵吞枣
某教师在教学分类时，出示了这样一题： 下面一行中与众不同的图形是（ ）。（一年级上册）
一部分学生选三角形，说三角形有三个角；一部分学生选长方形，说长方形有四个角；还有的说是圆形，因为圆形没有角；却很少有学生选圆柱。这是一道非常明显的分类题目，学生却对“体”和“形”的概念非常模糊，这说明了教师在教学中只是让学生简单地认识了这些形体，却没有让他们细细品味平面图形和立体图形的联系和区别。
2.舍本逐末
在几何图形公式的教学中，公式的推导过程应是培养学生空间观念与思维能力的一个很好机会，应是教学的重点。但教者往往将之忽略，认为只要让学生掌握其公式，并会熟练运用公式，目的就达到了；殊不知这种舍本逐末的做法严重束缚了学生的思维，影响了学生的后续发展。
3.墨守成规
在学习圆柱体的表面积时，教师对这一公式讲得很详细，而且让学生动手动脑，从具体操作中理解公式的含义，建立正确的表象，可以说是完成了书本的内容，很符合几何教学的要求。然而让我不理解的是： 教师往往到这儿就结束了。而对求表面积的另一方法“S 表面积=c×（r+h）”竟不加点拨。我想这就是一个观念的问题。现在有些教师仍局限于书本的知识与思路，局限于旧的想法与方法，不去创造性地处理教材，不能创造性地教学，不能多方面、多角度地开拓学生的思维，这种墨守成规的做法已经背离了素质教育的要求。
二、策略探究
“空间与图形”策略探究是针对上述学生学习效率低下的一种反思和回应。旨在获得基础知识和基本技能的同时，发展学生的空间观念和几何直觉，培养学生的推理能力和创新意识，促进学生全面、持续、和谐地发展。根据自己的教育教学经验，笔者初步探索出了以下几个学习策略：
1.操作感知学习策略
皮亚杰曾说：“数学的抽象乃是属于操作性质的，它的发生发展要经过连续不断的阶段。而其最初的来源又是十分具体的行动。” 因小学生的年龄特点和认知规律，决定小学生的数学学习离不开操作感知的学习策略。因此教师要根据教学内容积极创造条件，组织学生动手操作，使他们在亲身体验和合作研讨中认识和感悟数学，发展学生的思维提高实践能力。
2.实验探究学习策略
实验探究学习策略主要是指学生在实验中通过一定的操作程序，去发现隐藏在活动过程中的数学规律。教师作为学生学习的促进者，虽然不能控制学生实验探究的结果，但适时的引导、鼓励和监控也是必要的。学生在自主探索的过程中， 不仅开阔了思路，更重要的是感悟到了数学学习的思想和方法，获得了广泛的数学活动经验，从而提高了探究能力。
3.迁移类推学习策略
迁移类推策略是学生在数学学习中广泛应用的学习策略，特别是那些与旧知识联系比较紧密的新知识的学习更是离不开迁移和类推。
（1）迁移。所谓迁移，是指一种学习对后一种学习的影响。这种影响在小学数学学习中的作用尤为重要，大量的数学知识需要学生采用这种方法去加以掌握。推导平行四边形的面积计算公式时，学生通过实验，沿着平行四边形的高剪一刀，拼成一个长方形。
（2）类推。类推是指比照某些知识所具有的特点和规律去推出与它同类型的知识中也具有相同或相似的特点和规律。在学习“圆柱的体积”时，绝大多数学生就能较顺利地根据圆面积的推导方法，把圆柱拆拼成一个长方体来推出体积公式。因此类推可以引导学习者借鉴过去所得经验推出新知，它是学生获得新知识的重要途径。
4.对比变式学习策略
（1）对比区别，形成系统。几何概念的混淆是小学生普遍存在的问题。因此，为了帮助学生建立清晰的概念， 教学中要注意既要找出同类形体的基本特征，又要将相似的几何形体加以区别。让学生掌握形体间的内在联系，使知识系统化。
